线性代数笔记(自写)

全笔记分为四章，

（1）矩阵(一般理论)

（2）行列式

（3）特征值与特征向量(第二第三章是引入研究矩阵更多工具)（4）特殊矩阵

前方的引言，貌似是高能部分，其实是为了帮助，亲们理解问题，故有必要读一下。

f r o m

中南大学材料院

耗时;半月

真名;略

笔名;学渣渣的基因。

引言；8

线性代数(l i n e a r a l g e b r a)是研究有限维线性空间里的代数的学科；

线性空间，又被称为向量空间，矢量空间。

（我最喜欢的称呼是不易被具体化理解的矢量空间，所以接下来，我都会把线性空间称为矢量空间）

要理解最开始一句话，我们需要定义两个东西，（1）“线性空间”（2）“代数”

先给出（2）的定义；

（2）代数；代数是研究数，数量，关系与结构的数学分支。初等代数一般在中学中教授：研究当我们对数字做加法和乘法会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字及其运算，矩阵及其运算……还包括经过将这些具体的对象及其运算抽象化而得到的各种抽象化的结构。在这里我们只关心各种运算关系及其性质，而忽略对于“具体的对象，譬如，数，矩阵，本身是什么”这样的问题。

补充；常见的代数结构有群，环，域，模，矢量空间等。（有兴趣的童鞋可以去看《抽象代数》）

要定义矢量空间，我还必须先给出“矢量”的一般空间的抽象化定义，如下（无需理解）；

映射；称为点的一个矢量（v e c t o r）,若对

有；

（a）(线性性)；

（b）(莱布尼兹律)其中代表函数在点的值，

亦可记作

显而易见，这里矢量被定义为一个映射，输入的元素取自，为流形（ma n i f o l d）上所有的光滑函数，为实数集合。

我不打算解释这个定义，一旦我解释了，又得去解释许多其它的概念，所以只会只谈谈直观上的理解，并阐述矢量与向量的关系（当然有的书是混用两个概念的）在物理里面，我们经常用矢量去定义物理量，由于牛顿力学建立的数学基础是三维欧式空间，所以我们把矢量放在三维欧式空间下，赋予坐标表示，就成为具体的向量，由此矢量在三维欧式空间里有了几何直观，我们可以用表示它。

好哒，我们已经有了矢量，现在可以来定义矢量空间（值得一提的是，很多地方直接简便的把矢量定义为矢量空间的元素，它会符合矢量空间公理化定义的七个

条件，这也是可取并相对简便的，并且两个定义之间并不矛盾）

(1)矢量空间；

实数域上的一个矢量空间（v e c t o r s p a c e）是一个集合配以两个映射，即（叫加法（a d d i t i o n））及（叫数乘（s c a l e r m u l t i p l i c a t i o n）,满足如下条件；

(a)

(b)

(c)零元，使

(d)

(e)

(f)

(g)

初看这个定义你一定看的觉得很熟悉，又很陌生。因为你感觉这些性质很是自然。感觉熟悉的原因是，你如果直接把看成三维欧式空间的向量集合，在配备普通的加法与数乘，你会发现它满足这七条。事实上，矢量空间的公理化定义就是从具体的对象，譬如向量所满足的性质中来定义的。现在你也可以把同型矩阵当做矢量空间的元素，定义合适的加法与数乘，而后构成矢量空间……

好哒，总算说完了“线性代数”是指什么

那么现在开始线性代数的学习

提前预警；线性代数研究的代数是向量，而我们将重点研究的并非向量，而是向量之间转化的变换，即矩阵，物理学上喜欢用变换来定义物理量（无论是有限维矢量空间的变换（矩阵），还是无限维矢量空间的变换（算子）），用它们来定义物理量的优点是在各种坐标系下具有形式的不变性（此即为张量的定义，矩阵是（0,2）型张量）。

那么我们也将从矩阵开始。

这里的空余部分，给出一个基本的代数结构——群的定义

定义1.0

若集合且在上的二元运算

构成的代数结构满足；

（1）封闭性；

（2）结合律；

（3）存在单位元

（4）存在逆元；，称为的逆元

练习1.1；证明构成一个群，其中单位元为0

练习1.2；证明构成一个群，其中单位元为1

（一）矩阵（m a t r i x）

本笔记非特殊说明，用到的都是实矩阵，即矩阵的元素都是实数。定义1.1；形式为叫做矩阵，简记为，被

称为矩阵的元素，若记为中列向量，（其中为t r a n s f o r m（转置）首字母）为中行向量，则,

其中，如果每个元素都为0，则称为零矩阵，

简记为0，如果，那么称为阶矩阵，此时主对角线元素之和被称为矩阵的迹（t r a c e）

定义1.2；以一个例子定义矩阵加法（仅限于同型矩阵）与数乘；

定义1.3；=右乘乘法定义如下

其中为数乘，最终结果为一个列向量，其中被称为对列向量的线性组合。

例如；

以定义1.3推广矩阵更一般的矩阵形式的乘法如下；

定义1.4；=右乘乘法如下；

结果的特点是，,在1.3中已经被定义，故能被很好的定义。

至此，矩阵的乘法已被很好的定义，但我们定义的角度显然是以为中心，中列向量的作用被看做对中列向量的线性组合。如果我们以矩阵为中心呢？这也是也是可取的，此时中的行向量被看做对中的行向量进行线性组合。我们也可以既不以为中心，又不以为中心，而单单给出中元素关于中元素的表达式，也即为中与中的内积。

现在以一例说明矩阵乘法的这三种计算方法，请认真仔细阅读，并做到熟练运用。

补充；第四种方法；

，即的列与相应的的对应的行，而后求和；

矩阵相乘亦可分块进行计算；

分块的依据在于使矩阵里分块矩阵之间的乘法合理

性质1