1978-1982年高考数学试题全国卷

1978年试题

注意事项:

1.理工科考生要求除作（一）--（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）--（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.

2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.

2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.

（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图.

（三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN 于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.

求证:1)CD=CM=CN;

2)CD2=AM·BN.

（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.

（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成

（六）已知α、β为锐角,且

3sin2α+2sin2β=1,

3sin2α-2sin2β=0.

（七）（文科考生不要求作此题）

已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.

(1)m是什么数值时,y的极值是0?

(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.

画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.

(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等.

1978年试题答案

（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2

=(x-2y)2-(2z)2

=(x-2y-2z)(x-2y+2z).

2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.

3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.

x≥-1为所求的定义域.

（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）

（三）证明:

1)连CA、CB,则∠ACB=90°.

∠ACM=∠ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）, ∠ACD=∠ABC（同角的余角相等）,

∴∠ACM=∠ACD.

∴△ACM≌△ADC.

∴CM=CD.

同理CN=CD.∴CD=CM=CN.

2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°,

∴CD2=AD·DB（比例中项定理）.

由1),可知AM=AD,BN=BD,

∴CD2=AM·BN.

（四）解法一:∵log189=a,∴18a=9.

又18b=5,

∴45=9×5=18a·18b=18a+b,

设log3645=x,则36x=45=18a+b,

∴log1836x=log1818a+b

但36=2×18=4×9,

∴log18(2×18)=log18(22×9).

即1+log182=2log182+log189=2log182+a. ∴log182=1-a.

以下解法同解法一.

（五）解:A+B+C=180°,

又2B=A+C.

∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.

以下同证法一.

（七）解:(1)用配方法得

此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不

当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为

分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.

(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.

与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.

消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0.

∴(x+m)2=1-a.

因而当1-a≥0即a≤1时,直线l与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l与抛物线不相交.

即直线l与抛物线两交点横坐标为

因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45°.

∵直线l被抛物线截出的线段等于

而这与m无关.

因此直线l被各抛物线截出的线段都相等.

_

1979年试题

理工农医类

1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.

2.化简:

3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?

4.叙述并且证明勾股定理.

5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得

∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?

6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.

求证:△ABC是锐角三角形.

7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).

8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.

9.试问数列