高考数学二轮复习精品教学案专题06-平面向量(教师版).

【2013考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【知识络构建】【重点知识整合】 1．平面向量的基本概念 2．共线向量定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λ·a .如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1或者x 1y 2－x 2y 1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x 2x 1＝y 2y 1，即对应坐标的比值相等．3．平面向量基本定理对于任意a ，若以不共线的向量e 1，e 2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a ＝λe 1＋μe 2.4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．5．数量积(1)已知a，b的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为a·b＝|a|·|b|cosθ，其中|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22；(4)|a|2＝a·a.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．【高频考点突破】考点一向量的有关概念和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与a同向的单位向量为a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．例1、已知关于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则下列结论正确的是()A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点C．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关概念及运算问题要注意以下几点(1)正确理解向量的基本概念；(2)正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；(3)相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在概念考查中一定要重视，如有遗漏，则会出现错误. 考点二 平面向量的数量积1． 两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a ，b 的夹角一般利用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |先求出夹角的余弦值，然后求夹角；向量a 在向量b 方向上的投影为a·b|b |.【方法技巧】(1)准确利用两向量的夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |及向量模的公式|a |＝a·a .(2)在涉及数量积时，向量运算应注意： ①a·b ＝0，未必有a ＝0，或b ＝0； ②|a·b |≤|a ||b |；③a (b·c )与(a·b )c 不一定相等.考点三 平面向量与三角函数的综合应用通过对向量的运算把问题转化为求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．[解] (1)法一：由已知得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则 |b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4，即0≤|b ＋c |≤2. 当cos β＝－1时，有|b ＋c |max ＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.法二：∵|b |＝1，|c |＝1，|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2. 当cos β＝－1时，有b ＋c ＝(－2,0)，即|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.【难点探究】难点一 平面向量的概念及线性运算例1、 (1)a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1·λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0(2) 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R)，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)(c ，d ∈R)调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a ，b 不共线，那么λ1a ＋λ2b ＝μ1a ＋μ2b 的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即如果OA →＝xOB →＋yOC →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是x ＋y ＝1.【变式探究】(1)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →(m ，n >0)，则1m ＋4n的最小值为( )A ．2B ．4 C.92D ．9(2) 设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【答案】(1)C (2)(－4，－2)【解析】 (1)MO →＝AO →－AM →＝AB →＋AC →2－1m AB →＝⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →，同理NO →＝⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →，M ，O ，N 三点共线，故⎝⎛⎭⎫12－1m AB →＋12AC →＝λ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－1n AC →＋12AB →，即⎝⎛⎭⎫12－1m －λ2AB →＋⎝⎛⎭⎫12－λ2＋λn AC →＝0.难点二 平面向量的数量积例2 如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA →＝a ，OB →＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP →＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A ．5B ．3 C.52 D.32【答案】C【解析】 设AB 中点为D ，c ＝OP →＝OD →＋DP →，所以c ·(a －b )＝(OD →＋DP →)·BA →＝OD →·BA →＋DP →·BA →＝OD →·BA →＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52.【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想．【变式探究】(1)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤2π3，π； p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎡⎭⎫0，π3； p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π. 其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4(2)在△OAB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，则OA 边上的高等于________．难点三 平面向量的共线与垂直的综合运用例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|＝2，椭圆的离心率为e ＝12.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 是椭圆上的任意一点，求PF 1→·P A →的取值范围；(3)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且AH →2＝MH →·HN →，求证：直线l 恒过定点．【解答】 (1)由已知得c ＝1，a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，又A (－2,0)，F 1(－1,0)， ∴PF 1→·P A →＝(－1－x 0)(－2－x 0)＋y 20＝14x 20＋3x 0＋5. 由于P (x 0，y 0)在椭圆上，∴－2≤x 0≤2，可知f (x 0)＝14x 20＋3x 0＋5在区间[－2,2]上单调递增，∴当x 0＝－2时，f (x 0)取最小值为0；当x 0＝2时，f (x 0)取最大值为12，∴PF 1→·P A →的取值范围是[0,12]．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ>0得4k 2＋3>m 2.【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着关键作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转化为AM →·AN →＝0，从而达到使用韦达定理建立直线中参数k ，m 的方程，确定k ，m 的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线系方程，实现了证明直线系过定点的目的．【变式探究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y ＝43x ，右焦点F (5,0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点(不同于A 1，A 2)，直线A 1P 、A 2P 分别与直线l ：x ＝95交于M 、N 两点．(1)求双曲线的方程；(2)求证：FM →·FN →为定值．【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，c ＝5，c 2＝a 2＋b2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴所求双曲线方程为x 29－y 216＝1.(2)A 1(－3,0)、A 2(3,0)、F (5,0)，设P (x ，y )，M ⎝⎛⎭⎫95，y 0，A 1P →＝(x ＋3，y )，A 1M →＝⎝⎛⎭⎫245，y 0， ∵A 1、P 、M 三点共线，∴(x ＋3)y 0－245y ＝0，∴y 0＝24y 5x ＋3，即M ⎝⎛⎭⎫95，24y 5x ＋3. 同理得N ⎝⎛⎭⎫95，－6y 5x －3.∴FM →＝⎝⎛⎭⎫－165，24y 5x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎫－165，－6y 5x －3， ∴FM →·FN →＝25625－14425·y 2x 2－9. ∵x 29－y 216＝1，∴y 2x 2－9＝169，∴FM →·FN →＝25625－14425·169＝25625－25625＝0，即FM →·FN →＝0为定值．【历届高考真题】 【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥，则b a +（A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）102.【2012高考真题浙江理5】设a ，b 是两个非零向量。