概率论与数理统计的练习和(历史上最好的最全面的)学习的最好资料8485PPT课件
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概率论与数理统计复习资料共44页PPT
作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
概率论与数理统计复习资料
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
15、机会是不守纪律的。——雨果
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
概率论与数理统计复习资料
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
高教概率论与数理统计 PPT课件
则称 yˆ aˆ bˆx 为拟合直线或经验回归直线， 它可作为回归直线的估计 一元线性回归主要解决下列一些问题：
（1）利用样本对未知参数a、b、 2 进行估计；
（2）对回归模型作显著性检验； （3）当x=x0时对Y的取值作预测，即对Y作区间 估计.
第7页/共71页
二、 参数a、b、 2 的估计
对于具有相关关系的变量，虽然不能找到他们之间 的确定表达式，但是通过大量的观测数据，可以发 现他们之间存在一定的统计规律， 数理统计中研究变量之间相关关系的一种有效方法 就是回归分析。
第2页/共71页
一、 一元线性回归模型
假定我们要考虑自变量x与因变量Y之间的相关关系 假设x为可以控制或可以精确观察的变量，即x为普 通的变量。由于自变量x给定后，因变量Y并不能 确定，从而Y是一个与x有关的随机变量 我们对于可控制变量x取定一组不完全相同的值 x1，…，xn，作n次独立试验，得到n对观测结果：
可以推出:在显著性水平 下,当 | r | r时拒绝H0
其中临界值 r在附表8中给出
第19页/共71页
当假设 H0 : b 0 被拒绝时，就认为Y与x存在线 性关系，从而认为回归效果显著； 若接受H0，则认为Y与x的关系不能用一元线性回 归模型来描述，即回归效果不显著. 此时，可能有如下几种情形：
查表，得 t0.025（9）=2.26 r0.05=0.602
易见，t检验法、相关系数检验法都拒绝H0， 即回归效果显著。 于是，当x0=80时，y0的预测值为 yˆ0 31.21 y0的95%的预测区间为（24.73，35.69）
第25页/共71页
第二节 可线性化的非线性回归
在实际问题中，常常会遇到这样的情形： 散点图上的几个样本数据点明显地不在一条直线 附近，或而者在，某用曲线线性周回围归：方程描述变量间的关系计 算的结果与样本值误差较大，这表明变量之间不 存在线性相关关系，而是一种非线性的相关关系. 下面举例说明对这类问题用线性化处理的方法。
（1）利用样本对未知参数a、b、 2 进行估计；
（2）对回归模型作显著性检验； （3）当x=x0时对Y的取值作预测，即对Y作区间 估计.
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二、 参数a、b、 2 的估计
对于具有相关关系的变量，虽然不能找到他们之间 的确定表达式，但是通过大量的观测数据，可以发 现他们之间存在一定的统计规律， 数理统计中研究变量之间相关关系的一种有效方法 就是回归分析。
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一、 一元线性回归模型
假定我们要考虑自变量x与因变量Y之间的相关关系 假设x为可以控制或可以精确观察的变量，即x为普 通的变量。由于自变量x给定后，因变量Y并不能 确定，从而Y是一个与x有关的随机变量 我们对于可控制变量x取定一组不完全相同的值 x1，…，xn，作n次独立试验，得到n对观测结果：
可以推出:在显著性水平 下,当 | r | r时拒绝H0
其中临界值 r在附表8中给出
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当假设 H0 : b 0 被拒绝时，就认为Y与x存在线 性关系，从而认为回归效果显著； 若接受H0，则认为Y与x的关系不能用一元线性回 归模型来描述，即回归效果不显著. 此时，可能有如下几种情形：
查表，得 t0.025（9）=2.26 r0.05=0.602
易见，t检验法、相关系数检验法都拒绝H0， 即回归效果显著。 于是，当x0=80时，y0的预测值为 yˆ0 31.21 y0的95%的预测区间为（24.73，35.69）
第25页/共71页
第二节 可线性化的非线性回归
在实际问题中，常常会遇到这样的情形： 散点图上的几个样本数据点明显地不在一条直线 附近，或而者在，某用曲线线性周回围归：方程描述变量间的关系计 算的结果与样本值误差较大，这表明变量之间不 存在线性相关关系，而是一种非线性的相关关系. 下面举例说明对这类问题用线性化处理的方法。
概率论与数理统计课件(PPT)
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
目录
• • • • • • 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量 第三章 随机变量的数字特征 第四章 样本及抽样分布 第五章 参数估计 第六章 假设检验
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
注意到不论是对概率的直观理 解，还是频率定义方式，作为事件 的概率，都应具有前述三条基本性 质，在数学上，我们就可以从这些 性质出发，给出概率的公理化定义
1.定义(p8) 若对随机试验E所对应的样本空间中 的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数
P(A)满足条件：
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。
实验者
De Morgan Buffon K. Pearson K. Pearson
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
N ( A) P( A) N ()
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩 ={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}
1.1随机事件及其概率
《概率论与数理统计》经典课件 概率论
解： P( Ak )
C C k nk D ND
/ CNn ,
k
0,1,
,n
（注：当L>m或L<0时，记 CmL 0）
2021/8/30
17
❖ 例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒
的概率相同，且各盒可放的球数不限，
记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)．
解： ① ②……n
2021/8/30
2
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
S AB
✓
A的逆事件记为A,
A
A S,
A A
若
A A
B
B
S
,称A,
B互逆、互斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2
i 1
i 1
i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
An；
A B {甲、乙至少有一人来}
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
# 3。的推广：
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
《概率论与数理统计》课件
② 力①= ____, AC1 =__________, AA =________. _______ _____ ③ A = ____. ④ 若AuB,则力UB =_____, AHB =______, A ____B. ____ _____ ⑤ A-B = AB = A-AB, A = (AB) , A[}B = B^A万二，U8麟
出
____
XXXX大学
1.2.1事件间的关系与运算
文氏图(Venn diagram )
随机事件的关系和运算 相似集合的关系和运算
XXXX大学
关系
包含
相等 互不相容 （互斥）
符号表示
AuB/BD A
A u B且A D B
AB=0
事件间的关 系
事件发生
/发生则8发生
样本点
X的样本点都 是gj勺样本
点
ABC U ABC U
A3：“恰有两人命中目标 '
A4 :"最多有一人命中目 标
A5 :“三人均命中目标' ：
ABC
ABC U ABC U
ABC
BC U AC U AB
ABC A n B n
A6 :“三人均未命中目标
C
单选题1分
设凡B, C三个事件，则“至少有两个发生”可表示 )O
为
A. ABC^^ U ABC
3/10/2022
10
XXXX大学
1.2.2事件的运算性质
交换律A AB = BA
结合律 (A U B)U C
二」U (B U C)
(AB) C = A
3/10/2022
11
XXXX大学
1.2.2事件的运算律
分配律 An（^uc）=（^n^）u（^nc ） Ausnc）=（，ug）n（，u。
出
____
XXXX大学
1.2.1事件间的关系与运算
文氏图(Venn diagram )
随机事件的关系和运算 相似集合的关系和运算
XXXX大学
关系
包含
相等 互不相容 （互斥）
符号表示
AuB/BD A
A u B且A D B
AB=0
事件间的关 系
事件发生
/发生则8发生
样本点
X的样本点都 是gj勺样本
点
ABC U ABC U
A3：“恰有两人命中目标 '
A4 :"最多有一人命中目 标
A5 :“三人均命中目标' ：
ABC
ABC U ABC U
ABC
BC U AC U AB
ABC A n B n
A6 :“三人均未命中目标
C
单选题1分
设凡B, C三个事件，则“至少有两个发生”可表示 )O
为
A. ABC^^ U ABC
3/10/2022
10
XXXX大学
1.2.2事件的运算性质
交换律A AB = BA
结合律 (A U B)U C
二」U (B U C)
(AB) C = A
3/10/2022
11
XXXX大学
1.2.2事件的运算律
分配律 An（^uc）=（^n^）u（^nc ） Ausnc）=（，ug）n（，u。
概率论与数理统计 PPT课件
解：从A村到B村有3种不同的走法，按这3 种走法中的每一种走法到达B村后，再 从B村到C村又有2种不同的走法。因此 从A村经B村去C村共有 3*2=6 种不同的走法。
乘法原理内容
做一件事，完成它需要分成n个步
骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二
步有 m 2种不同的方法，、、、，做第n步
有
m
种不同的方法，那么完成这件事共有
1.1.1 随机试验(简称“试验”)
这里试验的含义十分广泛，它包括各 种各样的科学实验，也包括对事物的某一 特征的观察。 其典型的例子有：
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
随机现象：不确定性与统计规律性 研究对象：随机现象 研究内容：随机现象的统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的一门数学分支
概率论是如何产生的？
1、概率论的起源 2、概率论的发展历程
引言
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其 起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保 险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这 就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学， 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自 赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理 由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三 年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝16291695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论 赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们 三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念， 并由此奠定了古典概率论的基础.
乘法原理内容
做一件事，完成它需要分成n个步
骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二
步有 m 2种不同的方法，、、、，做第n步
有
m
种不同的方法，那么完成这件事共有
1.1.1 随机试验(简称“试验”)
这里试验的含义十分广泛，它包括各 种各样的科学实验，也包括对事物的某一 特征的观察。 其典型的例子有：
随机试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反 面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
随机现象：不确定性与统计规律性 研究对象：随机现象 研究内容：随机现象的统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象的统计规 律性的一门数学分支
概率论是如何产生的？
1、概率论的起源 2、概率论的发展历程
引言
概率论是一门研究随机现象规律的数学分支。其 起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保 险等范畴中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这 就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学， 但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自 赌博者的问题。数学家费尔玛和帕斯卡他们从不同的理 由出发，在1654年7月29日给出了正确的解法，而在三 年后，即1657年，荷兰的另一数学家惠根斯﹝16291695﹞亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了《论 赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的论著，他们 三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概念， 并由此奠定了古典概率论的基础.
概率论与数理统计.ppt
点”、 “出现3点” …都是基本事件；
2019-8-23
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14
1.1 样本空间和随机事件 一 基本事件与样本空间
样本空间：由全体基本事件组成的集合. 通常 用字母Ω表示.
Ω中的元素即基本事件,也称样本点，用ω表示.
简 单
E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况； Ω1={正,反}
2019-8-23
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21
1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
5.事件的差:事件A发生而B不发生，称为A与B 的差事件，记为A－B.
2019-8-23
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22
1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
6.互不相容事件:如果两个事件A,B不能同时 发生，即A,B同时发生是不可能事件，记为 A∩B= .
15
1.1 样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件：在随机试验中对某些现象或某种情况 的陈述,或简称事件.记作A、B、C等
从集合论的观点来看,任何事件均可表示为样本 空间的某个子集.
例如 对于试验E2，以下A 、B、C即为三个随机 事件 A＝“至少出一个正面”＝{HHH, HHT, HTH,
空间（全集）
不可能事件
空集
ω 基本事件，样本点
元素
A 事件
的子集
ω∈A 事件A出现（发生）
ω是集合A的元素
AB 事件A出现导致事件B出现（发生） A是B的子集
A=B 二事件A，B相等
二集合A,B相等
A∪B 事件A与B中至少有一个发生
集合A与B的并集
A∩B 事件A与B中同时发生
集合A与B的交集
A-B 事件A发生而与B不发生
2019-8-23
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14
1.1 样本空间和随机事件 一 基本事件与样本空间
样本空间：由全体基本事件组成的集合. 通常 用字母Ω表示.
Ω中的元素即基本事件,也称样本点，用ω表示.
简 单
E1 ：抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况； Ω1={正,反}
2019-8-23
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21
1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
5.事件的差:事件A发生而B不发生，称为A与B 的差事件，记为A－B.
2019-8-23
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22
1.2 事件的关系和运算
一 事件的关系
6.互不相容事件:如果两个事件A,B不能同时 发生，即A,B同时发生是不可能事件，记为 A∩B= .
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1.1 样本空间和随机事件
二 随机事件
随机事件：在随机试验中对某些现象或某种情况 的陈述,或简称事件.记作A、B、C等
从集合论的观点来看,任何事件均可表示为样本 空间的某个子集.
例如 对于试验E2，以下A 、B、C即为三个随机 事件 A＝“至少出一个正面”＝{HHH, HHT, HTH,
空间（全集）
不可能事件
空集
ω 基本事件，样本点
元素
A 事件
的子集
ω∈A 事件A出现（发生）
ω是集合A的元素
AB 事件A出现导致事件B出现（发生） A是B的子集
A=B 二事件A，B相等
二集合A,B相等
A∪B 事件A与B中至少有一个发生
集合A与B的并集
A∩B 事件A与B中同时发生
集合A与B的交集
A-B 事件A发生而与B不发生
概率论与数理统计课件
1 9 1 9 81 3 10 10 9 10 9 8 10
或拨号不超过3次而接通电话的对立事件为
__
A1
__
A2
A3
__ __
__
__
__
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
9 87 7 10 9 8 10
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四、全概率公式与贝叶斯公式
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例1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、 乙、丙 击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。
令Ai=“第i人击中目标”，i=1，2，3。 （1）求三人都击中目标的概率。 （2）求目标被击中的概率。 (1)解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
0.6 0.55 0.45 =0.1485
P(A)>0时， P(B A) 1 P(B A)
P(B C A) P(B A) P(C A) P(BC A)
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例1 6个球中有4个白球2个黑球, 无放回取2个 球, 已知第一次取到白球, 问第二次取到白球 的概率? 解 A=“第一次取到白球” , B=“第二次取到白球”
P(B A) 3 5
P(B A) 0.8, P(B A) 0.1
__
(1)P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A)
0.48 0.04 0.52
(2)P(A B) P(A)P(B A) 0.48 12 P(B) 0.52 13
例3：已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色 盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰 好是色盲，求此人是男人的概率。
（１）求收报台收到信号“＋”的概率。
概率论与数理统计(最新完整版)ppt课件
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
.
(2) 试验的所有可能结果:
正面，反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验
1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三件, 记 录出现正品与次品的件数”.
.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等 车人 数.
(3)分 配 律
A(BC)(A B)(AC)AB AC ,
A (BC)AB AC
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C ) B C ( )
(对 4律 ):偶 A B A B ,A B A B .
n
n
Ai Ai,
i1
i1
.
n
n
Ai Ai
i1
i1
三 完备事件组
4. 考察某地区 10 月 份的平均气温.
5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
.
四、概率的统计定义
１、随机事件：在试验的结果中，可能发生、也可能不发 生的事件。比如，抛硬币试验中，”徽花向上”是随机事 件；掷一枚骰子中，”出现奇数点”是一个随机事件等。
２、频率：设A为实验E中的一个随机事件，将E重复n次， A发生m次，称f(A)=m/n为事件A的频率． 随着实验次数n的增加，频率将处于稳定状态．比如投 硬币实验，频率将稳定在1/2附近．
B A
.
6. 事件的互逆（对立）
若事件 A 、B 满足 A B 且 A B .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记作 A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
概率论与数理统计 课件
05
多元统计分析
多元正态分布
01
多元正态分布的定义
多元正态分布是多个连续随机变量的 联合分布，其概率密度函数是多元高 斯函数。
02
多元正态分布的性质
多元正态分布具有旋转对称性、椭球 等高性、最大似然估计等性质。
03
多元正态分布的应用
在多元统计分析中，多元正态分布被 广泛用于描述多维数据的分布特征， 例如在回归分析、主成分分析、因子 分析等中都有应用。
正态分布与指数分布
正态分布
一种常见的连续概率分布，其概率密 度函数呈钟形曲线，对称轴为均值， 形状由标准差决定。
指数分布
描述随机事件在单位时间内发生的次 数，其概率密度函数为指数函数。
均匀分布与对数正态分布
均匀分布
在一定区间内随机变量取值的可能性相等，其概率密度函数 为常数。
对数正态分布
描述随机变量取值的对数服从正态分布的情况，其概率密度 函数在对数尺度上呈正态分布。
因子分析
因子分析的定义
因子分析是一种探索性 统计分析方法，通过寻 找隐藏在数据中的公共 因子来解释变量之间的 相关性。
因子分析的步骤
包括确定因子个数、因 子旋转、因子得分计算 等步骤。
因子分析的应用
在多元统计分析中，因 子分析被广泛应用于市 场细分、顾客满意度分 析、社会问题研究等方 面。
06
随机过程与时间序列分析
描述随机变量取离散值的概率规 律。
02
离散概率分布的特 点
随机变量取值有限或可数，概率 质量函数定义了每个可能取值的 概率。
03
离散概率分布的表 示方法
列表法、图示法、概率质量函数 。
二项分布与泊松分布
1 2
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8.4.1
8/4/2020
合金钢强度
60
50
40 0.10
0.15
0.20
碳含量
图 8.4.1 合 金 钢 强 度 及 碳 含 量 的 散 点 图
广东金融学院
第八章 方差分析与回归分析
第9页
从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明
两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以
表示为
y =0+ 1x+
y为因变量(响应变量)，在知道x取值后，y有一个
分布p(yx)，我们关心的是y的均值E(Yx)：
f(x)E(Y|x)yp(y|x)dy
(8.4.1)
这便是y关于x的理论回归函数——条件期望，也
就是我们要寻找的相关关系的表达式。
通常，相关关系可用下式表示
y =f (x)+
其中是随机误差，一般假设 ~N(0, 2)。
45.0
10 0.20
55.0
5 0.14
45.0
11 0.21
55.0
6 0.15
47.5
12 0.23
60.0
8/4/2020
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第八章 方差分析与回归分析
第8页
为找出两个量 间存在的回归 函数的形式， 可以画一张图： 把每一对数 (xi,yi)看成直角 坐标系中的一 个点，在图上 画出n个点， 称这张图为散 点图，见图
8/4/2020
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第八章 方差分析与回归分析
第12页
8.4.3 回归系数的最小二乘估计
一般采用最小二乘方法估计模型(8.4.5)中的0,
1 ：令：Q(0,1)n (yi 01xi)2 i1
ˆ 0 , ˆ1 应该满足
Q(ˆ0,ˆ1)m ,in 1Q (0,1)
称这样得到的 ˆ 0 , ˆ1 称为0, 1的最小二乘估计，
记为LSE。
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第八章 方差分析与回归分析
第13页
最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而
得到：
Q
0
n
2
i1
(yi
0
1xi )
0
Q
1
n
2
i1
(yi
0
1xi
)xi
0
(8.4.7)
这组方程称为正规方程组，经过整理，可得
nˆ0 nxˆ1 ny
nxˆ0 xi2ˆ1 xiyi
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第八章 方差分析与回归分析
基本思想 (x,Y)
回归分析 采集样本信息(xi,yi)
散点图
第4页
回归方程
线性关系的显著性检验
金融学院
第八章 方差分析与回归分析
第5页
8.4.2 一元线性回归模型
设y与x间有相关关系，称x为自变量(预报变量)，
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第八章 方差分析与回归分析
第2页
整体概况
+ 概况1
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概况2
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8/4/2020
概况3
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第八章 方差分析与回归分析
第3页
➢ 回归分析处理的是变量与变量间的关系。变量 间常见的关系有两类：确定性关系与相关关系。
➢ 变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表 示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式，寻 找这种定量关系表达式就是回归分析的主要任务。
➢ 回归分析便是研究变量间相关关系的一门学科。 它通过对客观事物中变量的大量观察或试验获得 的数据，去寻找隐藏在数据背后的相关关系，给 出它们的表达形式——回归函数的估计。
第八章 方差分析与回归分析
第1页
§8.4 一元线性回归
8.4.1 变量间的两类关系
十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究 发现： y ˆ33.730.516x 其中x表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。这表明子代 的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间 内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透 到了数理统计的其它分支中。
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第八章 方差分析与回归分析
第7页
表8.4.1 合金钢强度y与碳含量x的数据
序号 x(%) y (×107Pa) 序号 x(%) y (×107Pa)
1 0.10
42.0
7 0.16
49.0
2 0.11
43.0
8 0.17
53.0
3 0.12
45.0
9 0.18
50.0
4 0.13
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第八章 方差分析与回归分析
第6页
进行回归分析首先是回归函数形式的选择。 当只有一个自变量时，通常可采用画散点图 的方法进行选择。
例8.4.1 合金的强度y (×107Pa) 与合金中碳的 含量x (%) 有关。为研究两个变量间的关系。 首先是收集数据，我们把收集到的数据记为 (xi,yi),i=1,2,,n。本例中，我们收集到12组数 据，列于表8.4.1中
(8.4.8)
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第14页
解(8.4.8)可得
ˆ1 ˆ 0
l y
x
y
/ lxx ˆ1 x
（8.4.9）
这就是参数的最小二乘估计，其中
x
1 n
xi
,
y
1 n
yi
1
lxy (xi x)(yi y) xi yi nx y xi yi n xi yi
(8.4.2)
这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定
E() =0, Var() = 2
(8.4.3)
在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误
差服从正态分布，即
y ~N(0+ 1x, 2 )
显然，假定(8.4.4) 比 (8.4.3) 要强。
(8.4.4)
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第10页
由于 0, 1均未知，需要我们从收集到的数
据(xi,yi)，i=1,2,…,n，出发进行估计。在收 集数据时，我们一般要求观察独立地进行， 即假定y1, y2,, yn,相互独立。综合上述诸项 假定，我们可以给出最简单、常用的一元线 性回归的数学模型：
各 yi i独 立 0 同 1 分 xi布 ， i， 其 i 分 1,布 2,为 N n(0,2) (8.4.5)
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第11页
由数据(xi,yi)，i=1,2,…,n，可以获得0, 1的估
计 ˆ 0 , ˆ1 ，称
yˆ ˆ0 ˆ1x
(8.4.6)
为y关于x的经验回归函数，简称为回归方程，
其图形称为回归直线。给定x=x0后，
称 yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 为回归值（在不同场合也称其 为拟合值、预测值）。
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合金钢强度
60
50
40 0.10
0.15
0.20
碳含量
图 8.4.1 合 金 钢 强 度 及 碳 含 量 的 散 点 图
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从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近，这说明
两个变量之间有一个线性相关关系，这个相关关系可以
表示为
y =0+ 1x+
y为因变量(响应变量)，在知道x取值后，y有一个
分布p(yx)，我们关心的是y的均值E(Yx)：
f(x)E(Y|x)yp(y|x)dy
(8.4.1)
这便是y关于x的理论回归函数——条件期望，也
就是我们要寻找的相关关系的表达式。
通常，相关关系可用下式表示
y =f (x)+
其中是随机误差，一般假设 ~N(0, 2)。
45.0
10 0.20
55.0
5 0.14
45.0
11 0.21
55.0
6 0.15
47.5
12 0.23
60.0
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为找出两个量 间存在的回归 函数的形式， 可以画一张图： 把每一对数 (xi,yi)看成直角 坐标系中的一 个点，在图上 画出n个点， 称这张图为散 点图，见图
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8.4.3 回归系数的最小二乘估计
一般采用最小二乘方法估计模型(8.4.5)中的0,
1 ：令：Q(0,1)n (yi 01xi)2 i1
ˆ 0 , ˆ1 应该满足
Q(ˆ0,ˆ1)m ,in 1Q (0,1)
称这样得到的 ˆ 0 , ˆ1 称为0, 1的最小二乘估计，
记为LSE。
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最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而
得到：
Q
0
n
2
i1
(yi
0
1xi )
0
Q
1
n
2
i1
(yi
0
1xi
)xi
0
(8.4.7)
这组方程称为正规方程组，经过整理，可得
nˆ0 nxˆ1 ny
nxˆ0 xi2ˆ1 xiyi
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基本思想 (x,Y)
回归分析 采集样本信息(xi,yi)
散点图
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回归方程
线性关系的显著性检验
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8.4.2 一元线性回归模型
设y与x间有相关关系，称x为自变量(预报变量)，
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➢ 回归分析处理的是变量与变量间的关系。变量 间常见的关系有两类：确定性关系与相关关系。
➢ 变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表 示，但在平均意义下有一定的定量关系表达式，寻 找这种定量关系表达式就是回归分析的主要任务。
➢ 回归分析便是研究变量间相关关系的一门学科。 它通过对客观事物中变量的大量观察或试验获得 的数据，去寻找隐藏在数据背后的相关关系，给 出它们的表达形式——回归函数的估计。
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§8.4 一元线性回归
8.4.1 变量间的两类关系
十九世纪，英国生物学家兼统计学家高尔顿研究 发现： y ˆ33.730.516x 其中x表示父亲身高， y 表示成年儿子的身高 （单位：英寸，1英寸=2.54厘米）。这表明子代 的平均高度有向中心回归的意思，使得一段时间 内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想渗透 到了数理统计的其它分支中。
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表8.4.1 合金钢强度y与碳含量x的数据
序号 x(%) y (×107Pa) 序号 x(%) y (×107Pa)
1 0.10
42.0
7 0.16
49.0
2 0.11
43.0
8 0.17
53.0
3 0.12
45.0
9 0.18
50.0
4 0.13
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进行回归分析首先是回归函数形式的选择。 当只有一个自变量时，通常可采用画散点图 的方法进行选择。
例8.4.1 合金的强度y (×107Pa) 与合金中碳的 含量x (%) 有关。为研究两个变量间的关系。 首先是收集数据，我们把收集到的数据记为 (xi,yi),i=1,2,,n。本例中，我们收集到12组数 据，列于表8.4.1中
(8.4.8)
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解(8.4.8)可得
ˆ1 ˆ 0
l y
x
y
/ lxx ˆ1 x
（8.4.9）
这就是参数的最小二乘估计，其中
x
1 n
xi
,
y
1 n
yi
1
lxy (xi x)(yi y) xi yi nx y xi yi n xi yi
(8.4.2)
这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假定
E() =0, Var() = 2
(8.4.3)
在对未知参数作区间估计或假设检验时，还需要假定误
差服从正态分布，即
y ~N(0+ 1x, 2 )
显然，假定(8.4.4) 比 (8.4.3) 要强。
(8.4.4)
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由于 0, 1均未知，需要我们从收集到的数
据(xi,yi)，i=1,2,…,n，出发进行估计。在收 集数据时，我们一般要求观察独立地进行， 即假定y1, y2,, yn,相互独立。综合上述诸项 假定，我们可以给出最简单、常用的一元线 性回归的数学模型：
各 yi i独 立 0 同 1 分 xi布 ， i， 其 i 分 1,布 2,为 N n(0,2) (8.4.5)
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由数据(xi,yi)，i=1,2,…,n，可以获得0, 1的估
计 ˆ 0 , ˆ1 ，称
yˆ ˆ0 ˆ1x
(8.4.6)
为y关于x的经验回归函数，简称为回归方程，
其图形称为回归直线。给定x=x0后，
称 yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 为回归值（在不同场合也称其 为拟合值、预测值）。