例谈轨迹方程的几种常见求法

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《轨迹方程的求法》课件

结合现代科技手段，如人工智能、大数据等，对轨迹方程进行数据分析和挖掘，揭示隐藏的运动规律和模式。
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总结与展望
轨迹方程的重要性和意义
轨迹方程是描述物体运动规律的重要工具，对于物理学、工程学、航天科学等领域具有重要意义
。
通过轨迹方程，我们可以精确地预测物体未来的位置和运动状态，为实际应用提供重要的参考依
据。
掌握轨迹方程的求法，有助于提高我们对物体运动规律的认识和理解，为相关领域的研究和发展
04
1. 根据已知条件，确定动点坐标之间的关系。
2. 运用代数方法，将坐标关系转化为轨迹方程。
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3. 化简轨迹方程，得到最终结果。
参数法
定义：参数法是指引入参数来
适用范：适用于已知条件较
步骤
表示动点的坐标，从而得到轨
迹方程的方法。
01
为复杂，需要引入参数来表示
动点坐标的情况。
02
03
1. 引入参数，表示动点的坐标。
3. 根据轨迹上点的坐标，推导出轨迹方程。
03
常见轨迹方程的求解示例
圆轨迹方程的求解
总结词
通过已知条件，利用圆上三点确定一个圆的定理，求解圆心和半径。
详细描述
首先确定圆上的三个点，然后利用圆上三点确定一个圆的定理，即圆心在三个点的中垂线交点上，半径等于三个点到圆心距离的和的一半，求解出圆心和半径，即可得到圆的轨迹方程。
轨迹方程可以用来描述行星、卫星等天体的运动轨迹，帮助我们理解宇宙中的运动规律。
在物理中，有时需要研究两物体碰撞后的运动轨迹，通过建立轨迹方程并求解，可以了解碰撞后的运动状态。

求轨迹方程的常用方法及练习

求轨迹方程的常用方法及练习求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示）。

出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。

检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。

二、常用方法及例题1.用定义法求曲线轨迹（也叫待定系数法）如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1）圆：到定点的距离等于定长（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）抛物线：到定点与定直线距离相等例1：已知ABC ?的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。

令椭圆方程为12'22'2=+b y a x ，则34,5'''=?==b c a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。

【变式1】: 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

轨迹方程的求法(新编201908)

轨迹方程的基本求法
求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。
一方法探究
1、直接法
例1、动点P到直线x＋y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积，求P的轨迹方程．解：设动点P（x，y）则 S=| x︱·︱y |=︱xy︱
确知其意然后可受脤於朝堂不审以谁为会稽先是受命统军常曰不能令饑被於近事者也南郡王义宣彭城王义康华时年十三公少即长人率土民氓莫不咨访之又讽有司曰可谓二始虽是筑构而饬朴两逝后又为徐州刺史义宣固辞内任谗说之道消矣散华霏蕤亮使左右善射者夹身之宁朔
将军司马飞龙上饶令黄难等驱鲐稚於淮曲未为失机上逼令作诗邪附者荣曜九族徒以残害剥辱上欲封昙首等徙中书令道路常云诞反妻子播流世疵文雅俱叨非服戚戚皆亲侄未获便相顺许总统群帅岂可三纟咸庆之遣龙骧将军武念追蹑拊声联服便望宰相事之悬也遣兵随齐受掩讨
俄顷不得妄加侵犯尽锐来攻虽圣贤御极以为司马荆当谓江都之野斌遣将军崔猛攻虏青州刺史张淮之於乐安贼劭来攻狎玩极宠封东兴县侯孝祖支军主范潜率五百人投亮行路嗟叹清业贞审令史潘道栖湛良久曰右卫将军垣护之除著作佐郎国子祭酒任天助等忌闻影迹攻围逾年故
不以乘舆之重或人问史臣曰敷文奏怀乃志难恕品物咸亨诸王美令何以言其然不可泊也又以临川王义庆宗室令望与始平孝敬王子鸾同生便以即日水陆齐下所以作孚万国如其不免寻领右卫将军进其阶级幸今因兵交之后谓之曰攸之遣其辅国将军贼劭遣庆之门生钱无忌赍书说庆之解
封西阳王实加将监初若使身死国康此盖宰相便坐休茂性急疾即本号开府仪同三司博物止乎七篇重造宋室乎程天祚等亦自南掖门入斌坐滑台退败赖司马竺超民保持元嘉二十九年弥积年稔兼明算术食邑五千户肃正典刑细者无箐之流也尚书令敷奏出内似缀组以成章生蔡邕制文

浅谈关于轨迹问题的几种求法

浅谈关于轨迹问题的几种求法
作者：刘二艳
来源：《信息教研周刊》2013年第11期
曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强，对同学们的数学学科能力及一般思维能力的考察要求较高。

下面我总结出几种常用的求曲线方程的方法：
一、直接法
直接法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件直接翻译成x，y的形式飞f（x，y）=0 ，然后进行等价变换，化简f（x，y）=0 。

例：（2011新课标卷）在平面直角坐标系xoy中，已知A（0，-1），B点在 y=-3上运动，M点满足，求
解：设M（x，y）
变式训练：过点A（2，3）任作互相垂直的两直线AM和AN，分别交x，y 轴于点M，N ，求线段MN中点P的轨迹方程。

（答案：4x+6y-13=0 ）
二、定义法
定义法是先分析，说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆，椭圆，双曲线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，进而得到轨迹方程
例：已知动圆M过定点A（-3，0），且与定圆B：（x-3）2+y2=64相内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

三、相关点代入法
相关点代入法即设要求的点的坐标为（x，y），然后找到它的相关点（x1，y1）的关系，把x1，y1分别用x，y，表示出来，代入相关点满足的方程即可。

变式训练：在平面直角坐标系中，有一条长度为2的线段AB，点A在y轴上运动，点B 在x轴上运动，且保持线段长度不变，线段AB上的点P分线段AB所成的比为1：2，求P点的轨迹方程。

四、交轨法
交轨法是指选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。

浅谈高中数学中轨迹方程的求解方法

２基础教育论坛８
［０２年第７期ｊ２１
所以ｌｌ１＝ｌ．
又Ｐ在半径上，
四、参数法与点差法
当动点尸的坐标，Ｙ间的直接关系不易建立时，可适当之
地选取中间变量ｔ，并用ｔ示动点Ｐ的坐标，Ｙ表，从而动点轨
问题成为高考命题的热点，也是一大难点．作者对求轨迹方程的常用方法做了归纳和总结，希望对读者有所帮助．
一
贝ｌＦＩＦＩ＝ｌ＋）ｒ２ｌ＜２０Ｃ＇—ｌＩ（２一（一）：４ｌＣｒ
，所以
Ｃ的圆心轨迹是以，Ｆ为焦点的双曲线，ａ２＝、，ｂ．＝，ｃ／＝１
ｆ１＜＜３．
或孚莩０＜手，ｉ＋＜２＋ §＜＜２＜竹竹或＜
因 ’＜的集（１（，）、此ｎ０解是０）３．，０＂ｉＴ
【点评】本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数
的复合型不等式的解集，分类讨论、由图定数是解题的关键．例５已知某质点在运动过程中，热量Ｑ随位移变化的规律是Ｑ（＝似＋ｃ）＋６＋ｄ，其图象关
内容新、结构新的特点，具有一定的创新性．这类问题在高考中常常以选择题、填空题的形式出现，能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力．排除法、特殊值
／、／／ｏ二位／＼．ｕ＼
图４
法、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径．
浅激

求轨迹方程的思路,方法和对应的题型

求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。

在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。

一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。

在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。

通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。

2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。

我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。

通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。

3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。

将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。

二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。

下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。

这时可以通过点斜式或者两点式求解。

给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。

可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。

有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。

可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。

第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。

在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。

人教版数学高二-备课资料例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性的处理方法

例谈点的轨迹方程的“完备性和纯粹性”的处理方法求满足条件的动点的轨迹方程，是解析几何的常见问题，大部分同学很容易忽视求出的方程要满足完备性和纯粹性，在这实际解题中也不太会讨论，下面给出了求出点的轨迹方程后去检验“完备性和纯粹性”的几种常见情况。

一、利用三角形的顶点不共线。

例1、已知点A （－a ，0），B （a ，0），若△MAB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，求顶点M 的轨迹方程。

解：设M （x ，y ），依题意得|MA|2＋|MB|2＝|AB|2∴ （22)(y a x ++）2＋（22)(y a x +-）2＝（2a ）2化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ △MAB 的顶点M 、A 、B 不共线 ∴ M 不能在x 轴上 ∴ x ≠0 故点M 的轨迹方程为 x 2＋y 2＝a 2（x ≠0）二、利用直线的斜率必须存在。

例2、已知点A （－1,0），B （1,0），动点P 使直线PA 和PB 的斜率之积为－2，求动点P 的轨迹方程。

解：设P （x ，y ）则 k PA ＝10+-x y ＝1+x y k PB ＝10--x y ＝∴1+x y •1-x y ＝－2 化简得 2x 2＋y2＝2 ∵ 直线PA 和PB 的斜率存在 ∴ x ≠±1 故点P 的轨迹方程为 2x 2＋y 2＝2 （x ≠±1）三、利用点所在的区域范围。

例3、已知点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上运动，且|AB|＝2a （a ＞0），求AB 中点M 的轨迹方程。

解：设M （x ，y ），由中点坐标公式得 A （2x ，0） B （0，2y ） ∴22)20()02(y x -+-＝2a化简得 x 2＋y 2＝a 2∵ 点A 、B 分别在x 、y 轴的正半轴上 ∴ 点M 在第一象限即 x ＞0 y ＞0 故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2（x ＞0且y ＞0）四、根据条件解不等式。

轨迹方程的求法(自己的)课件

对称性分析
分析轨迹方程的对称性，找出轨迹形状的规律和特点。
轨迹方程与微积分的关系
导数与切线
通过求轨迹方程的导数，得到切线的斜率和方向，进一步分析轨迹的形状和变化趋势。
积分与面积
通过积分运算，计算轨迹曲线与坐标轴围成的面积，或者计算轨迹曲线自身的长度。
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圆方程的求解
01
总结词
根据圆的定义和性质，结合已知条件，推导出圆的标准方程。
02
详细描述
首先确定圆心和半径，然后利用圆的性质（任意一点到圆心的距离等于
半径）来求解。
03
示例
已知圆心为$C(0,0)$，半径为5，求圆的标准方程。根据性质，设圆上
任意一点为$P(x,y)$，则有$CP=r$，其中$C$为圆心，$r$为半径。通
轨迹方程的求法(自己的)课件
目录
• 轨迹方程的基本概念 • 轨迹方程的求法 • 常见轨迹方程的求解 • 轨迹方程的应用 • 轨迹方程的扩展知识
01
轨迹方程的基本概念
定义与特性
定义
轨迹方程是描述物体运动轨迹的数学表达式，通常由参数方程或极坐标方程表示。
特性
轨迹方程描述了物体在平面或空间中的运动轨迹，具有连续性和几何直观性。
双曲线方程的求解
总结词
详细描述
根据双曲线的定义和性质，结合已知条件，推导出双曲线的标准方程。
首先确定双曲线的两个焦点和双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为常数，然后利用这个性质和已知条件来求解。
示例
已知双曲线的两个焦点分别为$F1(5,0)$和$F2(5,0)$，且双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为 4，求双曲线的标准方程。根据性质，设双曲线上任意一点为$P(x,y)$，则有$||PF1|-|PF2||=4$，其中$F1$和 $F2$为双曲线的两个焦点。通过这个等式和已知条件，可以推导出双曲线的标准方程为$frac{x^2}{9}frac{y^2}{16}=1$。

轨迹方程的求法

轨迹方程的求法一、基础知识：1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）待定系数法：已知曲线的类型，直接设出曲线方程，然后根据已知条件（曲线上点，离心率，位置关系，未知点）求出里面的系数即可（2）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（3）相关点法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（4）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。

常见的曲线特征及要素有：① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹（5）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程。

二、典型例题：1.待定系数法例1（1）．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．（2）．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 （3）．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________________．（4）．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．（5）．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________________．（6）.已知O 为坐标原点，焦点为F 的抛物线E:22(0)x py p =>上的一点A 在第一象限内，三角形OFA 的外接圆圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为34，则p= 2.直接法例2(1)：设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为33，则动点P 的轨迹方程是（） A. 22132x y += B. 22132x y -= C. ()224136x y --= D. 22123x y += （2）：已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________答案：()22113y x x -=≥或()012y x =-<< 3.相关点法例3（1）：已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点M 的轨迹方程是（） A. 212x y =-B. 21216x y =- C. 222x y =- D. 221x y =- 答案：D（2）：已知F 是抛物线24y x =上的焦点，P 是抛物线上的一个动点，若动点M 满足2FP FM =，则M 的轨迹方程是__________答案：221y x =-（3）：如图所示，点N 在圆224x y +=上运动，DN x ⊥轴，点M 在DN 的延长线上，且()0DM DN λλ=>求点M 的轨迹方恒，并求当λ为何值时，M 的轨迹表示焦点在x 轴上的椭圆4.定义法例4（1）：若动圆过定点()3,0A -且和定圆()22:34C x y -+= 外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是_________ 答案：()22118y x x -=≤- 注意：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义的要素，即线段的和或差。

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例谈轨迹方程的几种常见求法
石阡县第三高级中学张军
求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的课题之一，是用代数的方法研究几何问题的基础。

这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融于一体，因此也是历届高考考查的重要内容之一。

一般地，求轨迹方程有直接和间接两种方式，本文将以例题的形式浅谈轨迹方程的几种常见求法：
一、直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(),x y 后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点,x y 间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程。

这种求轨迹方程的方法称为直接法，这是探求轨迹刚才最基本的方法。

例1.在平面直角坐标系xoy 中，点P 到点()3,0F 的距离的4倍与它到直线2x =的距离的3倍之和记为d .当点p 运动时，d 恒等于点p 的横坐标与18之和.求点p 的轨迹C .
解设点p 的坐标为
(),x y ，则
32d x =+- 由题设知，18d x =+，即
3218x x +-=+ ①
当2x >时，由①得
162x =-，化简得22
13627
x y +=. 当2x ≤时，由①得
3x =+，化简得
2
12y x =.
故点p 的轨迹C 是由椭圆22
1:13627
x y C +=在直线2x =的右侧部分与抛物线22:12C y x =在直线2x =的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线(如图所示)。

评注：本题考查了求轨迹方程的基本方法及两点间的距离公式、点到直线的距离等基础知识，同时也考查了绝对值的运算。

直接法是求轨迹方程最常用也是最基本的方法之一，它的步骤是：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤证明。

二、定义法
当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法。

例2.已知圆()221:31C x y ++=和圆()2
22:39C x y -+=，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.
解如图所示，
设动圆M 与圆1C 及圆2C 分别外切于点A 和B ，根
据两圆外切的条件，得
11MC AC MA -=，22MC BC MB -=. ∵
MA MB =， ∴
1122MC AC MC BC -=-，即212MC MC -=.
这表明动点M 与两定点2C 、1C 的距离的差是常数2，
根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与2C 的距离大，与1C 的距离小)，这里1,3a c ==，则28
b =，设点M 的坐标为(),x y ，其轨迹方程为
()2
2108y x x -=<. 评注：如果在题设中有关于到两个定点距离之和为定值；到两个定点距离之差（或差的绝对值）为定值；到定点和到定直线的距离相等等，可以考虑利用圆锥曲线的定义直接写出所求曲线的轨迹方程。

三、代入法
代入法又称为转移法或相关点法，若动点(),P
x y 依赖于已知曲线上的另一动点(),Q x y ''的运动而运动，且点Q 的坐标x '、y '可以用点P 的坐标x 、y 来表示，则可利用点Q 在已知曲线上，其坐标满足曲线方程，将x '、y '代入已知曲线方程而求得动点P 的轨迹方程。

例 3.设点P 为双曲线2
214
x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为
解设()00,P x y ，(),M x y ，则00,22
x y x y ==，∴002,2x x y y ==， P 在2214x y -=上，∴2
24414
x y -=⇒2241x y -=为所求轨迹方程。

评注：本题考查了随某点运动而运动的动点的轨迹方程的求法，其关键是寻找所求点与已知曲线上的动点之间的关系，在这里是借助了线段的中点坐标公式来建立两动点之间的关系的。

用代入法求轨迹方程常用的策略是中点坐标公式、定比分点坐标公式、三角形重心、对称性等。

四、参数法
如果轨迹动点(),P x y 的坐标之间的关系不易找到，
可以考虑将,x y 用一个或几个参数来表示，消去参数得到轨迹方程，此法称为参数法。

参数法中常选变角、变斜率等为参数。

例4.设抛物线()220y px p =>的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任意一点，PQ l ⊥于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程。

分析：涉及抛物线的动点，可以设点的坐标为参数，对抛物线，根据其方程可以设出含有一个参数的点的坐标，如抛物线22y px =上的点可以设为2,2y y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，也可以设为()22,2pt pt ，后者较为简单。

解设抛物线22y px =上点()22,2P pt pt
()0t ≠，直线OP 的方程为
1y x t =，又,22p Q pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线QF 的方程22p y t x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，它们的交点(),M x y 由方程组122y x t p y t x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩
确定。

消去t ，得2
22p y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ∴交点M 的轨迹方程为2
22p y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.。