完整版)菱形的性质和判定练习题

完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。

2.较短对角线长为10cm。

3.边长为5cm。

4.各角分别为72°和108°。

5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。

6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。

7.对角线互相垂直。

8.菱形。

9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。

10.周长为40cm。

11.互相垂直且不平分。

12.AB长为8cm。

13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。

18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。

又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。

$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。

设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。

由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。

由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。

又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。

设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。

20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。

由勾股定理可得，$x^2+(x/2)^2=3^2$，解得$x=2\sqrt{2}$，因此菱形的周长为8，选项A正确。

21.设菱形的邻角分别为$\alpha$和$2\alpha$，则菱形的周长为$4a=8$，菱形的高为$h=1$，由菱形的面积公式可得，$ah=15\sqrt{3}/4$。

由正弦定理可得，$a/\sin\alpha=2h$，代入可得$\sin\alpha=15\sqrt{3}/32$，因此$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=15\sqrt{3}/32$，即$\cos\alpha=8/17$，$\sin\alpha=15\sqrt{3}/17$。

因此，$\tan\alpha=\sqrt{3}/2$，$\tan2\alpha=3\sqrt{3}/5$，即邻角之比为3：1，选项A正确。

22.由对角线的性质可知，$\triangle ABD$和$\triangle ABC$共边且共顶点，因此它们的周长和面积相等，选项A和B都正确。

菱形的周长等于4倍的边长，也等于两条对角线的长度之和，因此选项C正确。

菱形的面积等于两条对角线长度之积的一半，因此选项D正确。

23.由对角线的性质可知，$\angle ABC=\angle ABD$，又由菱形的性质可知，$\angle ABD=\angle BDC$。

因此，$\angle ABC=\angle BDC$，且它们之和为180°，因此$\angle ABC=\angle BDC=65$°，选项C正确。

24.设菱形的较长对角线为4x，较短对角线为3x，则菱形的周长为$2(4x+3x)=14x$。

由周长公式可得，$14x=20$，因此$x=10/7$，菱形的面积为$4x\times 3x=12x^2=1200/49$，约等于24，选项B正确。

25.设AE的长度为h，则$\triangle AEC$和$\triangle AEB$都是等腰直角三角形，因此$EC=EB=h/\sqrt{2}$，$BC=h$。

由勾股定理可得，$AC^2=AB^2+BC^2$，代入可得$h=2\sqrt{2}$，因此选项A正确。

26.由菱形的对角线长度公式可得，$AC=BD=4$。

由正弦定理可得，$EF/(\sqrt{3}/2)=4$，因此$EF=2\sqrt{3}$。

$\triangle AEF$的面积为$AE\times EF/2=2\sqrt{3}$，因此选项B正确。

27.由菱形的性质可知，EF是菱形的对角线，因此$EF=\sqrt{2}\times 2=2\sqrt{2}$。

由余弦定理可得，$AD^2=2^2+2^2-2\times 2\times 2\times\cos 120^\circ=12$，因此$OD=\sqrt{3}$。

由勾股定理可得，$OE^2=DE^2-OD^2=2^2-3=1$，因此$OE=1$。

由正弦定理可得，$AE/\sin 120^\circ=2\sqrt{2}$，因此$AE=2\sqrt{6}/3$。

由勾股定理可得，$AF=\sqrt{AD^2-OD^2}=2\sqrt{2}$。

$\triangle AEF$的面积为$AE\times AF/2=4\sqrt{3}/3$，因此选项A正确。

2)求证：四边形ABEF是菱形；3)求证：四边形CEFD是菱形；4)求证：菱形ABCD和三角形CEF的面积比为4:3.28.已知菱形ABCD，AB=5，AO=4，求BD的长度。

解：根据菱形性质，AO和BO分别是BD的中线和高线，因此BO=2AO=8.又因为ABCD是菱形，所以BD=2BO=16.29.已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点，证明AE=CF。

解：连接AE和CF，由于ABCD是菱形，所以AC和BD 相交于O，且AO和BO分别是AE和CF的中线。

因此，AO=BO，即AE=CF。

30.已知菱形ABCD，E是AB的中点，DE⊥AB，AB=4，求(1)∠ABC的度数；(2)AC的长；(3)菱形ABCD的面积。

解：(1)由于DE⊥AB，所以∠BED=90°，又因为BE=ED，所以∠XXX∠EDB=45°，因此∠ABC=2∠EBD=90°。

2)由于AC是菱形的对角线，所以AC=BD=4√2.3)菱形的面积为S=AC×BD/2=16.31.已知四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，证明∠DHO=∠DCO。

解：连接AD和BC，由于ABCD是菱形，所以AC和BD相交于O，且AO和BO分别是DH和CO的中线。

因此，AO=BO，即DO=CO。

又因为DH⊥AB，所以∠DHO=90°，因此∠DCO=∠DHO。

32.在三角形ABC中，BD平分∠ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，证明四边形BEDF是菱形。

解：由于BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，又因为BE=ED，所以∠BED=∠BDE。

又因为BD的中垂线FE垂直于AB，所以∠FEB=90°，又因为BE=ED，所以∠XXX∠EDB。

因此，∠BED=∠BDE=∠XXX∠EDB，即四边形BEDF是菱形。

33.在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，求满足四边形EGFH是菱形的条件。

解：由于E和F分别是AD和BC的中点，所以EF∥AB∥CD，又因为G和H分别是BD和AC的中点，所以GH∥AB∥CD。

因此，四边形EGFH是平行四边形。

又因为EG=GF=HF=HE，所以四边形EGFH是菱形。

因此，四边形ABCD必须是平行四边形，即AB∥CD且AD∥BC。

34.在菱形ABCD中，点O是对角线AC和BD的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，证明OE=BC。

解：由于DE∥AC，所以∠XXX∠OAC，又因为CE∥BD，所以∠XXX∠XXX。

因此，∠OED+∠XXX∠OAC+∠OBD=180°。

又因为ABCD是菱形，所以AC=BD，即∠XXX∠OBD，因此∠OED=∠OCE。

因此，三角形OED和OCE相似，所以OE/OC=ED/CE=BD/BC，即OE=BC。

35.已知等边三角形CEF的边长与菱形ABCD的边长相等，证明(1)∠AEF=∠AFE；(2)四边形ABEF是菱形；(3)四边形CEFD是菱形；(4)菱形ABCD和三角形CEF的面积比为4:3.解：(1)由于CEF是等边三角形，所以∠XXX∠CFE=60°，又因为ABCD是菱形，所以AC和BD相交于O，且∠AOC=∠BOC=120°。

因此，∠AEF=180°-∠CEF-∠AOC=∠AFE。

2)由于ABCD是菱形，所以AC和BD相交于O，且AO和BO分别是AE和BF的中线。

因此，AO=BO，即AE=BF。

又因为ABCD是菱形，所以AC=BD，即CE=EF=FD。

因此，四边形ABEF是菱形。

3)由于ABCD是菱形，所以AC和BD相交于O，且AO和BO分别是CE和DF的中线。

因此，AO=BO，即CE=DF。

又因为ABCD是菱形，所以AC=BD，即CE=EF=FD。

因此，四边形CEFD是菱形。

4)菱形ABCD的面积为S1=AC×BD/2，等边三角形CEF的面积为S2=CE×EF/2.因为AC=BD，CE=EF=FD，所以S1/S2=AC×BD/CE×EF=4/3.。