等边三角形的培优

等边三角形培优讲义
1、等边三角形的性质：
（1）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;
（2）等边三角形每个角的平分线与所对的中线，高线互相垂直;
（3）等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.
2、等边三角形的判定:
（1）三条边相等的三角形是等边三角形;
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;
（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。

例题讲解：
1.下列三角形：①有两个角等于0
60的等腰三角形；•③三
60；②有一个角等于0
个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条
腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=（）
A 70
B 60
C 50 D不确定
3.如图，C为线段AB上一点，在AB的同侧作等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM，若∠MBN=40°，则∠ANB的大小是（）
A 60
B 65
C 70
D 80
4、如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE＜120°)，点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.非等腰三角形
5、如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为_________．
第二题第三题
6、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_____________．
7、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______________.
8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是
9.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有________个。

10.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…，则得到的第七个图中，共有___________个正三角形．
11、在等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方坐等边△CDE，连接BE
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长。

12、在等边△ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边△CDE，使它与
△ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，
求证：（1）△CNM为等边三角形；（2）若让△CDE绕C旋转，下列结论会发生变化吗？①AD=BE；②AD与BE交角的度数；③三角形CNM为等边三角形。

13、已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC∠AOC的角度之比为6：5：4，求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比
14.如图，在等边ABC ∆中，BE AD CD AE ,,=相交于点AD BQ P ⊥,于点Q . 求证：PQ BP 2=.
15、如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠NDM ，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN
．试探究BM 、MN 、CN 之间的数量关系，并加以证明．
16、如图，△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M 是AB
延长线上一点，N 是CA 延长线上一点，且∠MDN=60°，试探究BM 、MN 、CN 之间的数量关系，并给出证明
B
17、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度；
（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
18.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1,求六边形的周长。

19.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC 延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长
20、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.
21．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．
E D
A B
22.如图， 已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时，△DMN 也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？都请直接．．．．写出结论，不必证明或说明理由； （2）如图②，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由； （3）若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．
图① 图② 图③
A
·
B
C D
E
F
· ·
N M
F
E
D
C
B A
N
M
F
E
D
C
B
A
·
23、（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF
与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其
他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
24、阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在
一起（C与C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证
明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？
25.基本问题：已知等边△ABC ，BM=CN 。

（1）写出BN 、AM 之间数量关系；
（2）当点M 运动到BC 延长线上时，其余条件不变，则（1）的结论是否成立？
变式问题：1。

如图等边△ABC 和等边△CDE ，点P 为射线BC 一动点，∠APK=60°，PK 交直线CD 于K 。

(1)试探索AP 、PK 之间的数量关系；
(2)当点P 运动到BC 延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。

C
F
P
M
D
A
D
M A B
P
F
E
A
B
E D
M
C
26．已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1，
h 2，h 3，△ABC 的高为h ．“若点P 在一边BC 上［如图（1）］，此时h 3＝0可得结论：h 1＋h 2＋h 3＝h ．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P 在△ABC 内［如图（2）］，以及点P 在△ABC 外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h 1，h 2，h 3与h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．
（1） （2） （3）。