实变函数习题解答(1)

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答

1、证明 A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C)

证明：设x∈A Y(B I C)，则x∈A或x∈(B I C)，若x∈A，则x∈A Y B，且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A I C)。若x∈B I C，则x∈B且x∈C，于是x∈A Y B且x∈A Y C，从而x∈(A Y B)I(A Y C)，因此

A Y(B I C) ⊂ (A Y B)I(A Y C) (1)

设x∈(A Y B) I(A Y C)，若x∈A，则x∈A Y(B I C)，若x∈A，由x∈A Y B 且x∈A Y C知x∈B且x∈C，所以x∈B I C，所以x∈A Y(B I C)，因此

(A Y B)I(A Y C) ⊂ A Y(B I C) (2)

由(1)、(2)得，A Y(B I C)＝(A Y B)I(A Y C) 。

2、证明

①A－B＝A－(A I B)＝(A Y B)－B

②A I(B－C)＝(A I B)－(A I C)

③(A－B)－C＝A－(B Y C)

④A－(B－C)＝(A－B)Y(A I C)

⑤(A－B)I(C－D)＝(A I C)－(B Y D)

⑥A－(A－B)＝A I B

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证明：①A－(A I B)＝A I C(A I B)＝A I(CA Y CB)

＝(A I CA)Y(A I CB)＝φY(A I CB)＝A－B

(A Y B)－B＝(A Y B)I CB＝(A I CB)Y(B I CB)

＝(A I CB)Yφ＝A－B

②(A I B)－(A I C)＝(A I B)I C(A I C)

＝(A I B)I(CA Y CC)＝(A I B I CA)Y(A I B I CC)＝φY[A I(B I CC)]

＝A I(B－C)

③(A－B)－C＝(A I CB)I CC＝A I C(B Y C)

＝A－(B Y C)

④A－(B－C)＝A I C(B I CC)＝A I(CB Y C)

＝(A I CB) Y(A I C)＝(A－B)Y(A I C)

⑤(A－B)I(C－D)＝(A I CB)I(C I CD)

＝(A I C)I(CB I CD)＝(A I C)I C(B Y D)

＝(A I C)－(B Y D)

⑥A －(A －B)＝A I C(A I CB)＝A I (CA Y B)

＝(A I CA) Y (A I B)＝φY (A I B)＝A I B

3、证明： (A Y B)－C ＝(A －C)Y (B －C)

A －(

B Y C)＝(A －B)I (A －C)

证明：(A Y B)－C ＝(A Y B)I CC

＝(A I CC)Y (B I CC)＝(A －C)Y (B －C)

(A －B)I (A －C)＝(A I CB)I (A I CC)

＝(A I A)I (CB I CC)＝A I C(B Y C)＝A －(B Y C)

4、证明：s C (∞=1i Y i A )＝∞=1

i I s C i A 证明：设x ∈s C (∞=1i Y i A )，则x ∈∞=1

i Y i A ，于是，i ∀、x ∈i A ，从而x ∈C i A ，所以，x ∈∞=1i I C i A ，所以，s C (∞=1i Y i A )⊂∞=1

i I s C i A 。 设x ∈∞=1i I s C i A ，则i ∀、x ∈C i A ，即x ∈i A ，于是，x ∈∞=1i Y i A ，即x ∈C (∞=1

i Y i A )，所以∞=1i I C i A ⊂ C (∞=1

i Y i A )，由以上两步得 s C (∞=1i Y i A ) = ∞=1

i I s C i A

①(N ∈αY αA )－B ＝N

∈αY (αA －B) ②(N ∈αI αA )－B ＝N

∈αI (αA －B) 证明：①(N ∈αY αA )－B ＝(N

∈αY αA )I CB ＝N ∈αY (αA I CB)＝N

∈αY (αA －B) 85 86

②(N ∈αI αA )－B ＝(N ∈αI αA )I CB

=N ∈αI (αA I CB)＝N

∈αI (αA －B) 6、设{n A }是一列集合，作1B =1A ，n B =n A -(11

-=n k Y k A )n >1。证明n B 是一列互不相交的集，而且n k 1=Y k A =n k 1

=Y k B ，n =1，2，3，…。 证明：设i ≠j ，不妨设i

-=j k Y k A )] =i A I [j A I (11

-=j k I C k A )] =i A I j A I [C i A I (11-≠=j i

k k I C k A )]=(i A I C i A )I j A I (11-≠=j i k k I C k A )=φI j A I (11-≠=j i

k k I k A )=φ ∴ i B I j B =φ，{n B }互不相交。

∵ i B ⊂i A ，∴ n k 1=Y k A =n k 1

=Y k B 。 另一方面，设x ∈n k 1=Y k A ，则存在最小的自然数i ，使x ∈i A ，x ∈11

-=i k Y k A ，∴ x ∈i A -11-=i k Y k A =i B ⊂n k 1

=Y k B ， ∴ n k 1=Y k A ⊂n k 1=Y k B ∴ n k 1=Y k A =n

k 1=Y k B 。 7、设12-n A =(0，n 1

)，n A 2=(0，n )，n =1，2，…，求出集列{n A }的上限集和下限集。

解：∀n 。∵ 12-n A =(0，n 1)，n A 2=(0，n )，

∴ 12-n A ⊂n A 2 。 87 88