功率谱估计浅谈

功率谱估计浅谈

摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计

前言

功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。

周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。

下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。

经典谱估计法

经典法是基于传统的傅里叶变换。本文主要介绍一种方法：周期图法。

周期图法

由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。

连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：

()()j x x S R e d +∞

-Ω-∞Ω=⎰τττ

若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得

()()j j n x x m S e R m e ω

ω∞-=-∞=∑

即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。显然，由序列傅里叶的频谱特性可知()j x S e ω是以2π为周期的。而实际计算只能从离散随机信号序列x(n)的有限长(长度为N)的数据来对()j x S e ω与()x R m 进行估计。设有限长离散序列为x(n),则：

1()[()*()]()[()]N N N x N N j x x R m x m x m N S e DFT R m =

-=ω 由DFT 的下列卷积特性：

若()[()]j N X e DFT X m ω=，则：

*()[()]j N X e DFT X m ω=-

从而：

1[()][()][()]N x N N DTFT R m DFT x m DFT x m N

=

- 即 211()()*()()N j j j j x S e X e X e X e N N

ωωωω== 综上所述，先用FFT 求出随机离散信号N 点的DFT ，再计算幅频特性的平方，然后除以N ，即得出该随机信号的功率谱估计。由于这种估计方法在把()x R τ离散化的同时，使其功率谱周期化，故称之为“周期图法”，也称为经典谱估计法。周期图法进行谱估计，是有偏估计，由于卷积的计算过程会导致功率谱真实值的尖峰附近产生泄漏，相对地平滑了尖峰值，因此造成谱估计的失真。另外，当N →∞时，功率谱估计的方差不为零，所以不是一致性估计。并且功率谱估计在ω等于2/N π整数倍的各数字频率点互不相关。其谱估计的波动比较显著，特别是当N 越大、2/N π越小时，波动越明显。但如果N 取得太小，又会造成分辨率的下降。

图1. 原始信号1

图2 原始信号1的功率谱估计图3. 原始信号2

图4. 原始信号2的功率谱估计

图5. 平均周期图法(4*256)

图6. 平均周期图法(重叠一半)

ππ，其中，图1所示的信号为sin(2**50*)2sin(2**120*)(1,)

xn t t randn N

=++

randn是正态分布随机数组，N为256，t是从0到1，dt为1/256。图2为该信号的功率谱估计。图2所示的信号为

ππ，其中，randn是正态分布随=++

xn t t randn N

sin(2**50*)2sin(2**120*)(1,)

机数组，N为1024，t是从0到1，dt为1/1024。图4为该信号的功率谱估计。图5是将图2所示的信号分为四段，每段的范围分别为

(1,256),(257,512),(513,768),(768,1024).每一道都没有重叠。然后对分段分别作傅里叶变换，再把功率谱加起来做平均，得到图5。图6是将图2所示的信号分为六段，分别为(1:256)，(129:384)，(257:512)，(385:640)，(513:768)，(641:896)，(769:1024)。每两段之间都重合一半。

图1和图3相比，图1较为平滑，相应的，图1的功率谱也比较平滑。图5和图6比，图6较为平滑，这是因为图6的谱是六段的平均。

对信号加入窗函数的话，功率谱的变化也是很明显的。

图7. 加入矩形窗原始信号和512点、1024点功率谱

图8.Bartlett平均周期图法

现代谱估计法

现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR 模型法，Burg 谱估计法，在本文中介绍的是AR 模型法。

AR 模型法

经典谱的主要缺点是频率分辨率低。这是由于周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，这显然与事实不符。如果把已观测到的数据估计出一白噪声激励，就不必认为N 个以外的数据全为零，就有可能克服经典谱估计的缺点。

一个实际中的随机过程总是可以用以下模型很好的表示： 11()1p

i i i p k

n k b z H z a z -=-==

+∑∑

当除0b 外的所有i b 均为零时的形式称为p 阶自回归模型即AR 模型，又称为全极点

模型。

当方差为2σ的白噪声通过AR 模型时，输出的功率谱密度为：

221()1xx p j k k P a e ω

ω

σω-==+∑

若已知参数12,,......p a a a 及2ωσ,就可以得到信号的功率谱估计。它们之间是

Yule-Walker 方程。解这个方程是一个复杂的数学问题，这里不做讨论。

图9. 原始信号3

图10. 自相关函数的无偏估计