经典例题二次函数根的分布

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二次函数根的分布

一、知识点

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分

布情

况

两个负根即两根都小于0

()120,0x x << 两个正根即两根都大于0

()120,0x x >>

一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<

大致图

象（0

>a ）

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

-<⎨⎪>⎪⎩ ()0

0200

b a f ∆>⎧⎪⎪

->⎨⎪>⎪⎩ ()00

大

致图

象（

得出的结论

()00200b a f ∆>⎧⎪⎪

k x k x <<21, 两根都大于k 即

k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即

20b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨

两根有且仅有一根在()n m , （图象有两种情况，只画了一种）

一根在()n m ,，另一根在()q p ,，

()()0002f m f n b m n

000f m f n f p f q ⎧>⎪

<⎪⎨<⎪⎪>⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨

()()0002f m f n b m n

m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩

或()()()()0

0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩

例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程024)12(2

=-+-+m x m x 的两个根，且

βα<<2 ，求实数m 的取值范围。

变式：关于x 的方程012)1(2

=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。

例2：（动轴定区间）函数32)(2

--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围

是？

变式2：函数32)(2

+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。

列3：（定轴动区间）求函数12)(2

--=ax x x f 在[]2,0上的值域。

变式3：已知函数2244)(2

+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取

值范围。

例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2

--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为

)(t g ，求)(t g 的表达式。

变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。

例5：（恒成立问题）已知函数1)(2

-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范

围。