左维老师群论讲义 1

● 满秩(正则,非奇异)矩阵构成的群: 以矩阵的乘法作为群的乘法 满秩(正则,非奇异)矩阵构成的群
1) 一般复线性群GL(n,C): 所有n阶正则复矩阵构成一个2 可用2 n 2 个实参数标记.
n 2维连续群, 群元
一般实线性群GL(n,R): 所有n阶正则实矩阵构成一个 n 2 维连续群, 群元 2 可用 n 个实参数标记.
φ ( g i g i 1 ) = φ ( g i 1 g i ) = φ ( g 0 ) = φ ( g i )φ ( g i 1 ) = φ ( g i 1 )φ ( g i )
对于同构映射Φ, 存在一个逆映射Φ–1, 逆映射Φ–1将F中的元素一一映射 到G的元素. 例: 1) 所有的二阶群同构. 2) 绕z轴转过2πn/N角度的所有转动变换与N阶级教育循环群同构.
等于Hg的陪集串中陪集的个数。
综上， Hg的陪集串中每一个陪集对应于g类的一个元素，即g类中的元素的个数
例：1）群G中的单位元素自成一类。 2） 阿贝尔群的每个元素自成一类。 3）平面正三角形对称群D3 可以分割为三个类：{ e }, { d,f } , { a,b,c}. ◆ 不变子群: 设H是群G的子群，h是H中任意元素, 若H包含所有与h同类的元素， 即 不变子群 对于群G中任意一个元素g，有gHg1=H. 则称H是群G的不变子群. 等价定义: 等价定义: 设H是群G的子群, 如果H的任意一个左陪集与相应的右陪集相等, 即 gH=Hg, 则H是群G的不变子群. 定理: 设H是G的不变子群, 对于G中的任意一个固定元素f, 当H中的元素h取变整个 定理: H时, fhf1一次并仅仅一次给出H的所有元素. 例: 1) 阿贝尔群的任意一个子群都是不变子群. 2)平面正三角形对称群D3 中绕z轴转动的元素构成的子群{ e , d,f } 是一个不变子 群. 它的任意一个左陪集与相应的右陪集重合, a{e,d,f} = {e,d,f}a = {a,b,c}. ◆ 商群 设群G的不变子群H生成的陪集串为H, g1H, g2H, …. , giH, …., 将其中每一个 商群: 陪集作为一个元素 Fi 可构成一个集合. 定义两个陪集的乘法运算为: 由这两个陪集 中的所有元素相乘得到另一个陪集. 即 giH→ Fi , gjH→ Fj , gkH→ Fk giHgjH=gigjHgj－1gjH=gigjH=gkH → Fi Fj =Fk 这样得到的群{…, Fi …} 称为G的不变子群H的商群, 记作G/H. 例:平面正三角形对称群D3 的不变子群 H= {e,d,f} 的商群为二阶群{{e,d,f} , {a,b,c}}
e a a2
4
e a
a a
2
a
n 1
n 1
n2
例: 2) 平面正三角形对称群的乘法表 { e, d, f } 构成三阶循环群 { e, a }, { e, b }和{ e, c }均构成二阶循环群.
g1 g 2 g 2 g1
e e d f a b c
d d f e b c a
f f e d c a b
2) 特殊复线性群SL(n,C): 所有行列式为 +1 的n阶正则复矩阵构成的
2(n 2 1) 维连续群, 群元由 2(n 2 1) 个实参数标记.
特殊实线性群SL(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶正则实矩阵构成的
(n 2 1) 维连续群, 群元由 (n 2 1) 个实参数标记.
3) 酉群U(n): 所有n阶酉矩阵 (u + u = uu + = E ) 构成的 n 2 维连续群, u 群元由 n 2个实参数标记. 特殊酉群SU(n): 所有行列式为 +1 的n阶酉矩阵构成的 ( n 2 1) 维 连续群, 群元由 ( n 2 1) 个实参数标记. 4) 正交群O(n,C): 所有n阶复正交矩阵 o (oT o = ooT = E ) 构成的 ( n n) 维连续群, 群元由 ( n 2 1) 个实参数标记.
a a c b e f d
b b a c d e f
c c b a f d e
e d f a b c
● 无限群: 由无限个元素构成的群. 无限群:
例子: 1) 由所有整数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个分立无 限群, 单位元素为0. 分立无限群: 群元无限可数. 分立无限群: 2) 空间平移群: 三维实空间中的所有平移变换 T ( a ) r 法构成一个连续无限群.
f , g ∈ G fg = h ∈ G
f , g , h ∈ G ( fg )h = f ( gh) ef = fe = f 1 f ∈ G , 存在逆元素 f ∈ G , 使 f 1 f = ff 1 = e
f ∈G
,有
c) 单位元素. 集合G中存在一个单位元素e, 对任意元素 d) 可逆性. 对任意元素
根据共轭关系的性质, 群G的一个类中的元素可由该类中任一元素生成, 即
f类={ f’|f’ = sfs-1, s ∈G}, s取遍群G所有元素, 重复元素sfs-1只取一次.
根据共轭的传递性可证: 两个不同的类没有公共元素.
定理: 定理: 有限群的阶是每一个类的元素个数的整数倍. 证明: 设G是n阶有限群, 对 G中的任一元素g, 作子
3 类和不变子群
◆ 共轭元素的定义：对于群G中的任意元素s, 元素g 和 f =sgs-1定义为互共轭元素. 记 共轭元素的定义： 为 g~f . 自轭性: 任何元素与其本身共轭, 即g~g 对称性: 若g~f , 则f ~ g. 传递性: 若g~f1, g~f2 , 则f1~f2 ◆ 类的定义：群G中所有相互共轭的元素构成的集合称为群G的一个类. 类的定义：
n
Cn = {e, a, a 2 , …, a n 1} 构成一个群, 称为n阶循环群. 空间反演群是一个2阶循环群.
4) 平面正三角形对称群D3 . 保持平面正三角形空间 3 位置不变的所有转动变换
A 2
Oຫໍສະໝຸດ Baidu
e : 不转 f : 绕 z 轴转4π/3 b : 绕 2 轴转π
d : 绕 z 轴转2π/3 a : 绕 1 轴转π c : 绕 3 轴转π
4
群的同构与同态
A. 同构 ◆ 定义 设由群G到群F, 如果存在一个一一对应 定义: 一一对应的满映射φ, 且映射φ保持 一一对应 群的基本运算规律不变, 即群G中任意两个元素乘积的映射等于F中这两 个元素映射的乘积. 则称群G和群F同构, 记作GF, 映射φ称为同构映射.
g i ←φ f i → g j ←φ f j → g k = g i g j , f k = f i f j g k ←φ f k →
B
1
C
定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 构成一个群.
● 有限群的乘法表 将有限中所有元素的乘积列为一个表, 称为乘法表. 有限群的乘法表:
例: 1) n阶循环群的乘法表
e
a
a
a
2
2 3
a
3 3
a n 1
e a a2 3 a
e a
a
2 2
a
a
n 1
a 3 a a
a a a a3 a 4 a5 6 4 5 a a a
–1g –1g
=hβ hα-1 H.
H = H , 即g H = fH
拉格朗日定理: 拉格朗日定理: 有限群的阶是其子群的阶的整数倍. 证明: 设G 的一个 n 阶有限群, H 是群 G 的一个m 阶子群. 根据拉格朗日 定理, 可以构造一个包括H 在内的左陪集串, 其中每个陪集没有公共 元素且整个陪集串充满群G ,即
Hg= { h∈G|hgh1=g } 根据陪集定理, 可将群G分割成Hg的陪集串. 考察陪集串中任一陪集g1Hg . 有 g1Hg g (g1Hg )1= g1Hg g Hg 1 g11= g1g g11. 对于任何g2g g21=g1g g11，都有g21g1g（ g2 1 g1）1 =g，即g21g1∈Hg ， 从而g2∈g1Hg 。
G=H∪g1H∪g2H∪g3H∪…∪gL-1H 则有 n = Lm.
根据拉格朗日定理, 可以得到有限群的一种分割方式, 即有限群可以分割其子群的陪集串. 推论: 阶为素数的群没有非平庸子群. 例:平面正三角形对称群D3 可以按子群H1={e,a}分为陪集串H1={e,a}, bH1={b,f},
cH1={c,d}. 也可按子群H4={e,d,f}分为陪集串H4={e,d,f}, aH4=bH4=cH4={a,b,c}.
fi = φ ( gi ) f j = φ (g j ) g k = gi g j , f k = fi f j φ ( g k ) = f k
同构映射Φ将G中的单位元素映射为群F中的单位元素, 将群G中的互逆 元映射为F中的相应的互逆元. φ ( g 0 g i ) = φ ( g i g 0 ) = φ ( g i ) = φ ( g 0 )φ ( g i ) = φ ( g i )φ ( g 0 )
则称集合G为一个群.
● 有限群: 由有限个元素构成的群. 群元的个数定义为群的阶. 有限群: 例子: 1) 由 {－1,0,1} 三个数组成的集合, 定义数的加法为群的乘法运算, 构成一个三阶有限群, 单位元素为0. 2) 空间反演群: 三维实空间中的恒等变换 E ( E r = r )和反演变换 I ( I r = r ). 如果定义群的乘法为从左向右依次施行变换, 则E 和I 构 成一个二阶有限群, 称为空间反演群. 3) n阶循环群 Cn . 由一个元素 a 的幂构成的有限群. 设 a = e , 则
2
实特殊正交群SO(n,R): 所有行列式为 +1 的n阶实正交矩阵构成的
(n 2 n) / 2 维连续群, 群元由 (n 2 n) / 2 个实参数标记.
2 子群和陪集
◆ 子群的定义：假设 H 是群 G 的一个非空子集，若 子集 H 中的元素按照 子群的定义： 群G 的乘法构成一个群, 则称 H 为 G 的子群. 记为 G . H 单位元和群 G 本身都是群 G 的子群, 称为平庸子群. 如果G1 为 G 的子群, G2 为 G1 的子群, 则G2 为 G 的子群. 例: 1）平面正三角形对称群D3 . {e,d,f }, {e,a }, {e,b }, {e,c } 均为D3的子群. 2) 奇n阶循环群没有非平庸子群. 3) 从有限群中的任一元素 a 出发, 都能生成该群的一个循环子群. 4) 一般复线性群GL(n,C)特殊复线性群SL(n,C) 特殊实线性SL(n,R) 一般复线性群GL(n,C)酉群U(n) 特殊酉群SU(n) 一般复线性群GL(n,C)复正交群O(n,C) 实正交群O(n,R) 特殊实 正交群SO(n,R)
=r+a
对于变换乘
变换乘法: 连续无限群: 变换乘法: 从左向右依次施行变换. 连续无限群: 群元无限不可数, 可用一 组连续变化的参数来描述. 3) 三维转动群SO(3). 三维空间保持原点不变的所有转动变换构成一个连续 无限群. SO(3)群元可用绕通过原点的任何一个转动轴 k 转ψ 的转动Ck (ψ ) 示 ，由三个连续变化的有界参数 （θ，φ，ψ）标记.
◆ 陪集的定义：假设 H 是群 G 的一个子群， H = { hα }. 对于群 G 中任意一个不属于子 陪集的定义： 群 H 的元素 g , 可生成子群 H 的左陪集 gH和右陪集 Hg
gH = { ghα | hα ∈ H } ,
Hg = {hα g| hα ∈ H }
根据群的定义, 有 ghα H , hα g H . 陪集元素的个数等与相应子群的阶. 陪集定理: 陪集定理: 设H 是群 G 的一个子群， 则H 的两个左陪集 gH 和 fH 要么完全相等, 要 么没有任何公共元素. 证明: 假设gH 和 fH 中有一个公共元素ghα = fhβ , 则有 f 根据重排定理, 有f
群 论
参考书： 参考书：
《群论》，韩其智、孙洪州，北京大学出版社 《物理学中的群论》，马中骐，科学出版社 《典型群及其在物理学中的应用》，怀邦，冯承天 等译，科学出版社
第一章 群的基本知识
1 群 ◆ 群的定义：假设G是由一些元素组成的集合，即G={…, g, …}. 在G中各
元素间定义了一种合成规则 ( 操作，运算，群的乘法 ). 如果G对这种合 成规则满足以下四个条件： a）封闭性. G中任意两个元素的乘积仍然属于G. b) 结合律.