有趣的数学悖论

一、悖论与数学悖论

悖论：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B 为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。

数学悖论：是指数学领域中有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的

二、数学悖论引发的三次数学危机

第一次数学危机

毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索

斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。因而推动了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。

第二次数学危机

牛顿在1671年写的《流数术和无穷级数》提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。1686年，德国的莱布尼茨创设了微积分符号，远远优于牛顿的符号，并推动微分学的发展。英国大主教贝克莱在1734年发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书, 说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”, 因为错误互相抵偿的缘故, 称之为“贝克莱悖论, 导致了数学史上的第二次危机。

第三次数学危机

经过两次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论成为整个现代数学的逻辑基础。但随后英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为理发师悖论。这在数学和逻辑学界

引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。

小结：历史上三次数学危机的爆发，都是由数学悖论而产生的，可见数学悖论在数学史上的发展与数学文化的建设方面都有着无可替代的作用，正是由于一个个无法解释的数学悖论的产生，引发了一大批数学家与哲学家的思考与奋斗，推动了数学的发展。

三、古希腊数学悖论

1.说谎者悖论

古希腊时代克利特哲学家埃庇米尼得斯曾说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”为什么说这句简单的话有名呢，是因为无法解释这句话，更确切地说无法判断这句话的真假。假设伊壁门尼德斯讲的是真话，那么他的确在撒谎，这与假设不符；假设他说的是假话，那么他没有说谎，即他讲的是真话，又与假设不符。所以这句话是没有解释的。这是不是很有趣呢？

2.芝诺悖论

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名。

二分法悖论是说运动是不可能的，因为物体在到达终点之前必须先到达路程的二分之一，而在到达二分之一之前必须到达路程的四分之一，无穷无尽，甚至运动永远无法开始。

阿基里斯追龟悖论：大家都知道龟兔赛跑的故事吧，那请问大家：

如果距离足够长，比乌龟跑得快的兔子一定能追上乌龟赢得比赛吗吗？设想一下，乌龟在兔子前方100米，兔子的速度是乌龟的10倍，一个时间t内，兔子跑了100米，则乌龟爬了10米，乌龟领先兔子10米；下一个时间t内，兔子跑了10米，而乌龟爬了1米，乌龟又领先兔子1米；依次下去，尽管兔子与乌龟的距离会不断的缩小，但始终乌龟会领先于兔子，那最后的冠军还是乌龟。是不是和大家的认知观不太一样呢，这就是著名的“阿基里斯追龟悖论”（阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄）

飞矢不动悖论：大家可能都射过箭吧，但你们想过箭永远射不到靶上是怎样的吗？箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，那么它在这个过程中有着固定的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别，你还能说它运动了吗？中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

运动场悖论：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等。亚里士多德接着指出：“这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间。事实上这两者是不相等的。”

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）裡，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

□□□□ 观众席A

■■■■ 队列B・・・向右移动（→）

▢▢▢▢ 队列C・・・向左移动（←）

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

□□□□

■■■■

▢▢▢▢

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的，这就是“运动场悖论”。

3.上帝悖论：

有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”下面我们来证明上帝不是万能的。

证明：假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾；所以原假设不成立，即上帝不是万能的。看，如此简单的一个数学悖论就推翻了“上帝是无所不能的”这个命题，让那个教徒不能自圆其说，陷入逻辑的方阵中，那我们现实生活中是不是也能类似的反驳一些不切实际的却又无法证明的命题呢？