2.1 二次函数 公开课课件
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2-1 二次函数(课件)九年级数学下册(北师大版)
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； 解：二次函数有：(2)(5)
(6)y＝x2＋ 1 .
x2
y＝－5x2的二次项系数为5，一次项系数和常数项为0；
y＝3(x－2)(x－5)＝3x2－21x＋30
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
例题欣赏 ☞
例2. y m 3 xm27.
想一想
探索&交流
问题2：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面 积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方 体棱长x之间的关系，对于x的每一 个值，y都有唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
探索&交流
问题3：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面， 投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式 吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应 为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
探索&交流
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
详解 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c≠0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(b≠0，c=0).
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2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ B）
A.1
B.-1
C.7
D.-6
3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函数，则a的取值范 围是 a≠1 .
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18
4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的 百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降 价的百分率x的函数关系式是 y=2(1-x).2
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19
综合应用
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从 点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动 点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动， 如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与 出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围.
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
∴S = 1 2 P B • B Q = 1 2 ( 1 2 - 2 t ) • 4 t ＝ - 4 t 2 + 2 4 t . ∴ t的取值范围为0≤t≤6.
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20
拓展延伸
8 . m 为 何 值 时 ， 函 数 y ( m 4 ) x m 2 5 m 6 m x 是 关 于 x 的 二 次 函 数 .
二次项
常数项
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8
分别指出下列二次函数解析式的自变量、各项 及各项系数。
①y=6x2 ,
②m 1 n2 1 n ,
22
③ y=20x2+40x+20 .
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9
出题角度一 二次函数的识别
二次函数的课件ppt课件ppt课件
二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。
初二二次函数教学ppt课件ppt课件ppt
如何判断二次函数的单调性
单调性是函数的重要性质，对于二次函 数来说，可以通过导数来判断其单调性 。
导数等于0：如果二次函数的导数在某点 处等于0，需要结合函数在该点的左右极 限来判断单调性。
导数小于0：如果二次函数的导数在某区 间内小于0，则该函数在此区间内单调递 减。
•·
导数大于0：如果二次函数的导数在某区 间内大于0，则该函数在此区间内单调递 增。
THANK YOU
详细描述
例如，最优化问题（如最小成本、最 大利润等）可以用二次函数来解决； 物理中的自由落体、抛物线运动等也 可以用二次函数描述。
数学问题中的二次函数
总结词
在数学领域，二次函数是解决各种问 题的重要工具。
详细描述
例如，代数问题中解方程、不等式等 ；几何问题中求最值、面积等；概率 统计中求期望、方差等。
05
练习与巩固
基础练习题
总结词
帮助学生掌握二次函数的基本概念和性质。
详细描述
设计一些关于二次函数表达式、开口方向、 顶点坐标等基础知识的题目，让学生通过练 习加深对二次函数的理解。
提升练习题
总结词
提高学生的解题能力和思维灵活性。
详细描述
题目难度略高于基础练习题，可以涉及一些 稍微复杂的计算和推理，例如求二次函数的
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为 常数，且a≠0。
详细描述
这是二次函数的标准形式，其中x 是自变量，y是因变量。通过调整 a、b、c的值，可以生成各种不同 形状和性质的抛物线。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一条抛物线。
详细描述
二次函数的课件ppt课件ppt课件ppt
05
二次函数的应用场景
Chapter
生活中的二次函数应用
01
02
03
抛物线形状的物体
桥梁、隧道等，可以利用 二次函数找到最合适的弧 度，减少材料的使用和阻 力。
车辆的刹车距离
可以通过二次函数计算车 辆的刹车距离，从而更好 地掌握车辆的安全行驶速 度。
最佳投资组合
在投资中，可以利用二次 函数找到最佳的投资组合 ，从而获得最大的收益。
伸缩变换
横向伸缩
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在横向上进行伸缩变换，得到新的二次函数 $y = a(kx)^{2} + b(kx) + c$，其中$k > 1$表示横向伸长，$0 < k < 1$表示 横向缩短。
纵向伸缩
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在纵向上进行伸缩变换，得到新的二次函数$y = a(kx)^{2} + b(kx) + c \cdot k^{2}$，其中$k > 1$表示纵向伸长，$0 < k < 1$表示纵向缩短。
建议学习者按照课程安排，逐步学习，注重理解概念和 性质，多做练习题，加强实际操作能力。
学习过程中可结合多种学习方法，如小组讨论、在线互 动、做笔记等，以提高学习效率。
02
二次函数的基本概念
Chapter
什么是二次函数
二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a、b、c是常数 ，且a≠0）的函数。
下一步学习计划建议
01
建议1：加强练习题量与难度
02
通过大量练习和挑战难度更高的题目，提高解题能力和思维水平。
1二次函数公开课一等奖课件
鼓励：肯定学生的表现，鼓 励学生继续发挥优点，克服
不足
Hale Waihona Puke 点评：对学生在课堂上的表 现进行客观评价，提出优点 和不足
改进：根据学生的表现，提 出改进教学方法和内容的建
议，提高教学质量
感谢观看
汇报人：
布置课后作业和思考题
课后作业：巩固所 学知识，加深对概 念和方法的理解
思考题：拓展思维， 提高分析和解决问 题的能力
提醒学生注意事项： 认真完成作业，独 立思考，不懂就问
评价与反馈：及时 批改作业，给予指 导和建议，关注学 生的学习进度和掌 握情况
对学生的表现进行点评和指导
指导：根据学生的表现，给 予具体的指导和建议，帮助 学生提高学习水平
利润最大问题
抛物线型桥洞的设计
球体表面积的计算
车辆刹车距离的计算
拓展二次函数的应用领域和范围
金融领域：利用二次函数解决 投资、保险等问题
物理领域：研究物体的运动轨 迹、振动等问题
化学领域：利用二次函数解决 化学反应、最优化实验等问题
计算机科学：利用二次函数解 决算法、优化等问题
培养学生的数学应用意识和能力
评价本次公开课的教学效果
学生参与度：评价学生在课堂上的参与程度，是否能够积极思考和回答问题。
课堂氛围：评价课堂氛围是否活跃，是否能够激发学生的学习兴趣和好奇心。
教学内容：评价教学内容是否符合学生的认知水平和兴趣爱好，是否能够让学生受益匪浅。
教师表现：评价教师在课堂上的表现，是否能够引导学生思考和解决问题，是否能够合理安 排教学时间和节奏。
二次函数公开课一 等奖课件
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汇报人：
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添加目录项标题 二次函数概念及公式 二次函数与一元二次方程 的关系 总结与评价
二次函数ppt课件
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
根据函数的
定义判断.
(4)关系式y==-5x²+100x+60000中，y是x的函数吗？
对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.
二、自主合作，探究新知
问题2：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是
说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银
一元二次方程 ＋＋＝（ ≠ ）有什么联系和区别？
二、自主合作，探究新知
知识要点
二次函数的一般式 = ＋＋（ ≠ ）与一元二次方程
＋＋＝（ ≠ ）的联系和区别：
联系：(1)等式一边都是＋＋且 ≠ ；
(2)方程＋＋ = 可以看成是函数 = ＋＋中 = 时得到的.
又∵x+1<2x≤12，
∴1<x≤6，
即y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)，
∴y是x的二次函数.
三、即学即练，应用知识
1．下列函数中，是的二次函数的是 (
A．y＝2x＋1
C． ＝3x＋1
B
)
B． = +
D． =
+
2.函数 = ( − ) + + 是二次函数的条件是(
子的个数、橙子的质量等；
自变量：橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；
因变量：橙子的个数、橙子的质量等．
二、自主合作，探究新知
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树
结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.
2.1建立二次函数模型_课件4
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
打开你的记忆 1. 函数的定义：
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函 数．）
2. 大家还记得我们学过哪些函数吗?
(5)y= _x1_²－x
(否) (6)v= 3 r ²
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(是) (否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
以表示为 y=6x2①
问题:
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2 +1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的 条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
随堂练习
5、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加ycm²。
打开你的记忆 1. 函数的定义：
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函 数．）
2. 大家还记得我们学过哪些函数吗?
(5)y= _x1_²－x
(否) (6)v= 3 r ²
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(是) (否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
以表示为 y=6x2①
问题:
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连
接相同两顶点的对角线是同一条 M
N
对角线,所以多边形的对角线总数
d 1 nn 3
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2 +1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的 条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
随堂练习
5、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加ycm²。