第3课时 二次根式的混合运算.ppt
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2.7 二次根式(第3课时)北师大版数学八年级上册教学课件
（2）
12 3 1 3
1 解：(1) 10
10
4 (2) 3
3
(3) 10
1．化简：
（1） 3 3 75
（3） 2 12 48
（5）
3 2 23
随堂练习
（2） （4）
12 1 2
2 50 32 9
解：(1)-2 3
(2)2 3- 2
2
(3) 0
(4) 4 2 (5) 5 6
3
6
随堂练习
第二章实数
7.二次根式（3）
学习目标
1 ．巩固对二次根式的四则混合运算的掌握； 2 ．学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.
复习巩固
1 ．同类项定义①：所含字母相同，②相同字母次数相同
2 ．化简8： 2 =2
1；8 3 2=
；
12
32 4 2=
2； 2 =
.
探究新知
同类二次根式 一个二次根式，化简为最简二次根式后，如果被开方 数相同，称它们为同类二次根式.
（1） (2 3 2)(3 6 2)
（2） 3 2(2 12 4 1 3 48)
8
解： （1） 16 2 4 6
（2）48 6 6
随堂练习
4 ．问题解决 如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积， 你有哪些方法，与同伴交流． （1）直接求法．
（2）间接求法．
随堂练习
（1）直接求法．
探究新知
二次根式的加减运算 二次根式加减运算步骤： (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)把各个同类二次根式合并（系数相加减）.
二次根式的加减运算
计算： ①
48
3；② 5
二次根式的乘除-PPT课件模版
二次根式的除法法则是
新课引入
新课引例
例1 计算：
解:
拓展：把分母中的根号化去的 过程叫做 分母有理化.
知识讲解
1 最简二次根式
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最 简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识讲解
典型示例
B
希望对您的工作和学习有所帮助！
使用说明
为了更好地方便您的理解和使用，发挥本文档的价值，请在使用本 文档之前仔细阅读以下说明：
本资料突出重点，注重实效。贴近实战，注重品质。适合各个成绩 层次的学生查漏补缺，学习效果翻倍。本文档为PPT格式，您可以放心 修改使用。祝孩子学有所成，金榜题名。
分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.
布置作业
教科书第10页练习第2，3题，习题16.2第5－8题.
希望本文档能够对您有所帮助！！！感谢使用
知识讲解
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式.
知识讲解
2 二次根式除法的应用
例3
解:
知识讲解
练一练
解:由题意，得
知识讲解
2 二次根式乘除混合运算
二次根式的乘除混合运算按照从左到右的顺序进行计算， 如果有括号，应先算括号里面的.
第 十六章 二次根式Biblioteka 二次根式的乘除（第3课时）
精品模版-助您成长
学习目标
1 理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为 最简二次根式. （重点）
新课引入
新课引例
例1 计算：
解:
拓展：把分母中的根号化去的 过程叫做 分母有理化.
知识讲解
1 最简二次根式
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方. 注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最 简二次根式，并且分母中不含二次根式.
知识讲解
典型示例
B
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使用说明
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分母有理化：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.
布置作业
教科书第10页练习第2，3题，习题16.2第5－8题.
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知识讲解
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
对不是最简二次根式的进行化简．
解：只有(3)是最简二次根式.
知识讲解
2 二次根式除法的应用
例3
解:
知识讲解
练一练
解:由题意，得
知识讲解
2 二次根式乘除混合运算
二次根式的乘除混合运算按照从左到右的顺序进行计算， 如果有括号，应先算括号里面的.
第 十六章 二次根式Biblioteka 二次根式的乘除（第3课时）
精品模版-助您成长
学习目标
1 理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为 最简二次根式. （重点）
二次根式(第三课时)课件
(4)2 75 8 27
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
二次根式混合运算(经典)-PPT
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
18
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
可以互相讨论下，但要小声点
9
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2 - 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
a2－1 a＋1
a2－2a＋1 a2－a
a＋1a－1 a＋1 a－1 aa－1
《二次根式的混合运算》PPT课件
(2) (2 5 + 2 )2
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
(3) (2 2 −3 3 ) × (3 3 + 2 2)
(4) ( 2 − 2 ) × (3 + 2 2 )
化简求值：已知x= 3，
〖(x−2)〗^2−(x−2)(x+2)+2√3
求代数式( − 2)2 − − 2 + 2 + 2 3的值 .
= 2 −4 + 4 − 2 + 4 + 2 3
=-4x + 8+ 2 3
把x= 3代入，得
-4x + 8+ 2 3 = −4 3+8+ 2 3=8- 2 3
02
练一练
已知a=3+2 5， b=3-2 5 ，求2 − 2 的值 .
解：a2 b − ab2 = −
将a=3+2 5， b=3-2 5代入，得
− =(3+2 5)(3-2 5)(3+2 5- 3+2 5)
−
÷ ( −
−
)，其中a=2+ ，b=2- ．
【详解】
原式＝
+ −
·
− 2
+
=−，
当a=2+ 3 ，b=2- 3时，原式＝2
4
3
2 3
.
3
=
课后回顾
01
熟记二次根式混合运算的先后顺
序
02
熟练进行二次根式混合运算
03
注意运算结果一般是最简二次根
式
= 2 × 2 -5× 2+ 3× 2 -3×5
= 5 × 5 - 5 × 3+ 3 × 5 - 3× 3
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
7 二次根式第3课时 二次根式混合运算 省优获奖课件
所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)； 解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下： －3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2
二次根式的混合运算课件新湘教3
D． 5
9. 3的有理化因式是____3____，3－ 2的有理化因式是__3_＋___2__．
10．已知 x＝ 51－2，则 x－1x的值为___4_____． 【点拨】x＝ 51－2＝ 5＋2，∴x－1x＝ 5＋2－( 5－2)＝4.
11．【中考·常州】下列各数中与 2＋ 3的积是有理数的是( D ) A．2＋ 3 B．2 C． 3 D．2－ 3
A．甲正确，乙不正确
B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确
14．计算：
1 3＋
＋ 2
1 4＋
＝__2_－___2__． 3
【点拨】∵
1 3＋
＝ 2
3－
2，
1 4＋
＝ 3
4－
3，
∴
1 3＋
＋ 2
1 4＋
＝ 3
3－
2＋
4－
3＝2－
2.
15．计算： (1)( 5＋ 3)( 5－ 3)；
C．53 3
D．2 3
3
5．计算：
48＋14
12÷
27＝____2____．
6．一个三角形的一边为 6 3＋2 2，这条边上的高为 3 3－ 2，求这个三角形的面积．
解：这个三角形的面积为12(6 3＋2 2)(3 3－ 2) ＝12×2×(3 3＋ 2)(3 3－ 2)＝(3 3)2－( 2)2＝27－2＝25.
7．【易错题】化简 2－2 1时需要将分子、分母同时乘( C ) A． 2 B． 2－1 C． 2＋1 D． 2＋2
【点拨】根据( 2＋1)( 2－1)＝( 2)2－12＝2－1＝1 进行化简．要 防止出现乘( 2－1)或 2的错误．
8．与 5－2 相乘，结果是 1 的数是( B ) A． 5－2 B． 5＋2 C．2－ 5
《二次根式的乘除》PPT优质课堂课件3人教版
小数化成分数，带分数化成假分数
我们看到，这个比与地球半径无关，这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值.
”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？
情境导入，复习回顾
二次根式的乘法法则：
二次根式的除法法则：
a b = ab（a≥0，b≥0）
a a （a≥0，b>0）
1 2 x2 y 2 - 45y2
3 xy
3 5y
3
a2b 4c2
4 2xy
2x
1原式= 2 x2 y 2 x
3 xy 3
2原式=- 1 45y2 - 1 9y y
3 5y 3
3原式= a2b = a b
4c2 2c
4原式= 2xy 2x = 2xy 2x y 2x
2x 2x 2x
二次根式乘除混合运算的解题策略 例3 （课本P1 h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系 二次根式乘除混合运算
3 根号内外的因数分别相乘.
22 12 - 5 2 二次根式乘除混合运算
4 ”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是多少？ 小数化成分数，带分数化成假分数
b
b
最简二次根式:
(1) 被开方数不含分母; (2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
情境导入，复习回顾
复习：计算：2 2 3 5
解：原式=23 25
=6 10
根号内外的 因数分别相 乘.
灵活应用，能力提升
例1 计算： 2 2 3 5 5 4 1 2
解：原式=235 2 5 9
2 =30 45
3 35
解：2原式=
八年级数学上册教学课件《二次根式(第3课时)》
课堂小结
2.7 二次根式
二次根 式混合 运算
四则混合运算
化简求值
化简已知条件和所求代数式 分母有理化
课后作业
作业 内容
2.7 二次根式
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
1. 类比整式运算法则，掌握二次根式 的运算法则.
探究新知
2.7 二次根式
知识点 1 二次根式的混合运算 回顾
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式.
交流归纳
一化 二找 三合并
探究新知
2.7 二次根式
回顾 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘 法法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
拓广探索题
2.7 二次根式
2.阅读下列材料，然后回答问题：
2
在进行类似于二次根式
的运算时，通常有如下两种方
3 1
法将其进一步化简：
方法一：
2
3 1
2 3 1 2 3 1
3 1
3 1
2
3 1
3 1;
方法二：
2
31
3 1
3 1 3 1.
3 1 3 1
3 1
课堂检测
拓广探索题
(1)请用两种不同的方法化简：
巩固练习
变式训练
化简：
2.7 二次根式
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3