中值定理证明(word文档良心出品)
中值定理证明方法总结
设 f (x) , g(x) , h(x) 都在 (a , b) 上连续 , 且在 [a , b] 内可导, 证明至少存在一点 ξ ∈(a , b) , 使
f (a) f (b) f ′(ξ ) g(a) g(b) g′(ξ ) = 0 h(a) h(b) h′(ξ )
说明 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , f (a) = f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h(x) ≡1, g(x) = x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h(x) ≡1, g′(x) ≠ 0, 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
f (b) − f (a) F(x) − f (x) 证: 作辅助函数 ϕ(x) = F(b) − F(a) 则 (x) 在[a,b]上 续, 在(a,b)内 导, 且 ϕ 连 可 f (b)F(a) − f (a)F(b) ϕ(a) = = ϕ(b) F(b) − F(a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) − f (a) f ′(ξ ) = . F(b) − F(a) F′(ξ ) 思考: 思考 柯西定理的下述证法对吗 ? ∵ f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 两个 ξ 不 F(b) − F(a) = F′(ξ )(b − a), ξ ∈(a, b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
1 f (n) (x )(x − x )n +⋯+ 0 0 n!
f (b) − f (a) f ′(ξ ) = F(b) − F(a) F′(ξ )
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f (x) 方法1. 方法 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
中值定理
中值定理条件函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，在闭区间[a,b]上连续;在开区间(a,b)内可导的理由, 在闭区间[a,b]上连续的函数都有最大或最小值,而在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大或最小值.这是因为如果函数f(x) 在开区间(a,b)内连续在端点x=a处左连续,端点x=b处右连续不一定是在(a,b)内每一点连续,就是每一点处都连续也不代表左右极限都相等.中值定理“中值”指的是什么？指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导，那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。
事实上如果你看过罗尔定理，那么你就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。
1.罗尔中值定理如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导，在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f′(ξ)=0几何意义：在闭区间[a,b]上有一条连续曲线f(x),且除端点外每一点都可以作一条切线,当曲线两端点的纵坐标相等时候,那么曲线上至少能找到一点( ξ , f (ξ) ) ξ在(a,b)内.使得曲线在该点的切线平行于x轴.证明:1令f(a)=f(b)=K,在闭区间[a,b]上,恒有f(x)=K的情况,这时f(x)是[a,b]上的常数函数,所以f′(x)=0,因此罗尔定理对开区间(a,b)内任何点都成立.在[a,b]上有点x, 使f(x)>K的情况，因f(x)为[a,b]上的连续函数，根据连续性质得知在[a,b]上存在点( ξ1 , f (ξ1) )为f(x)在[a,b]上的最大值，即当a<=x<=b时f(x)<=f (ξ1)，（1）又因为在上[a,b]有点x，使f(x)>K，（2）由（1）（2）式得f (ξ1)>K，这说明ξ1不可能是[a,b]的端点，从而a< ξ1<b。
(完整版)三大中值定理
(完整版)三大中值定理中值定理函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征;如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。
微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。
从而能把握住函数图象的各种几何特征。
在极值问题上也有重要的实际应用。
微积分学基本定理指出,求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积］。
微积分学是微分学和积分学的总称.它是一种数学思想，‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
代数无法处理“无限"的概念.所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限"的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数—-你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。
这个概念是成功的.。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
中值定理 证明 解微分方程
中值定理证明解微分方程
中值定理是微积分中的一个重要定理，可以用来证明解微分方程的存在和唯一性。
该定理指出，对于一个在闭区间上连续的实函数，存在一个点使得该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率。
这个点就是中值定理所述的中间点。
利用中值定理证明解微分方程的存在性，通常先将微分方程化为形如dy/dx=f(x,y)的一阶常微分方程。
然后，将该方程表示为
y'=g(x,y)，其中g(x,y)=f(x,y)/√(1+f(x,y)^2)。
由于g(x,y)在整个平面上的偏导数都是连续的，因此根据偏导数的连续性定理，可以得到g(x,y)在平面上是局部利普希茨连续的。
接下来，对于给定的初始条件y(x0)=y0，可以构造一条以(x0,y0)为起点，斜率为g(x0,y0)的直线。
根据中值定理，该直线与y=f(x)在(x0,x0+1)的某一点处相切。
将该点的横纵坐标记作x1和y1，可以得到y1=y0+g(x0,y0)(x1-x0)。
然后，以(x1,y1)为起点，斜率为g(x1,y1)的直线与y=f(x)在(x1,x1+1)的某一点处相切，构造出新的点(x2,y2)。
如此重复进行下去，可以得到一条光滑的曲线y=y(x)，满足y(x0)=y0，
y'(x)=g(x,y(x))。
由于g(x,y)是局部利普希茨连续的，因此可以证明y(x)在一定范围内是存在且唯一的。
此外，由于y'(x)是连续的，因此y(x)也是连续的。
因此，该曲线就是微分方程的解。
- 1 -。
积分中值定理不变号
积分中值定理不变号一、什么是中值定理？中值定理是数学中的重要定理，即如果将一个抛物线中某点到它的焦点和顶点的距离分别作为 x 和 y 轴上对应点的坐标，那么这两个坐标之间的距离就会成为三角形的斜边。
二、中值定理的证明1.引入前提：假设有抛物线P，它的焦点为F，顶点为V，同时存在抛物线上的任意一点A。
2.证明：（1）将点A的投影在x轴和y轴上的位置分别标记为O1(x1,0)、O2(0,y1)；a×b=x1×y2,b×c=x2×y1,所以根据中值类比可以得到： c2=a2+b2,即：（x2-x1）2+(y2-y1)2=(x2-0)2+(y2-0)2+（x1-0）2+(y1-0)2,点A到焦点F和顶点V的距离成为三角形的斜边c。
因此，中值定理得证。
三、中值定理的应用1、三角测量法：由中值定理可以得出，两个直角边的乘积就等于直角边和斜边的乘积，因此可以利用三角测量的方法便可以计算出两个直角边的长度，从而得到斜边的长度，从而确定问题的准确解。
2、编码解码：利用中值定理可以实现编码解码方面的应用，因为通过它将原始信息进行变换，从而达到隐藏或加密的目的，从而实现信息的保护。
3、几何求解问题：中值定理也可以用于解决一些几何求解中的问题，如求抛物线的焦点、顶点和点到焦点与顶点的距离等问题。
四、总结以上就是关于中值定理的简单介绍，从定义和证明以及它的应用来看，中值定理是一个非常重要的数学定理，在几何学中有广泛的应用。
以下就是本文对其进行总结：1. 中值定理指定：将抛物线中某点到它的焦点和顶点的距离分别作为x轴和y轴上对应点的坐标，那么这两个坐标之间的距离就会成为三角形的斜边。
2. 中值定理的证明是利用类比来证明的：a×b=x1×y2,b×c=x2×y1,根据中值类比可以推出：c2=a2+b2.3. 中值定理在实际应用中有很多，其中最重要的应用还是用于几何计算的求解、三角测量的应用和编码解码的应用。
推广的积分中值定理公式证明
推广的积分中值定理公式证明积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是一个关于函数的定积分与函数值之间的关系的定理。
在数学的研究中，积分中值定理被广泛应用于证明其他定理以及解决各种问题。
在本文中，我们将给出积分中值定理的证明过程，并解释其应用。
首先，我们先来回顾一下积分中值定理的表述。
设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在开区间$(a,b)$内可导。
则存在一个点$c\in(a,b)$，使得$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a).$$证明过程如下：1.首先定义一个新的函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$。
根据定积分的基本性质，我们有$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).$$2. 根据洛必达法则（L'Hôpital's rule），我们知道当$x\toa^+$时，$F(x)\to F(a)$；当$x\to b^-$时，$F(x)\to F(b)$。
由于$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，$F'(x)=f(x)$在$(a,b)$内也连续。
根据介值定理，对于任意介于$F(a)$和$F(b)$之间的数$K$，都存在一个$c\in(a,b)$，使得$F(c)=K$。
3. 取$K=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$，代入上述结论，我们有$$F(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx.$$4.由于$F'(x)=f(x)$，根据导数的定义，我们知道$$\frac{d}{dx}F(c)=f(c).$$5. 最后将上述等式两边同时除以$dx$，我们得到$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx,$$即积分中值定理的结论。
通过上述证明过程，我们证明了积分中值定理的正确性。
接下来，我们将解释积分中值定理的应用。
首先，积分中值定理可以用于证明柯西中值定理。
关于高等数学常见中值定理证明及应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它包括了拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这些定理在数学中有广泛的应用，尤其在求解函数的零点、证明不等式等问题上起到了重要的作用。
下面我将详细介绍这些中值定理的证明及应用。
1. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：拉格朗日中值定理是微积分中最基本的中值定理之一、设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在xi∈(a, b)，使得f'(xi) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
换句话说，函数在开区间内其中一点的导数等于函数在闭区间两端的函数值之差与区间长度的比值。
证明：我们可以通过引入辅助函数g(x)=f(x)-kx来证明，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)。
然后根据罗尔中值定理，我们得到存在一个ξ∈(a, b)，使得g'(ξ)=0。
进而，我们得到f'(ξ)-k=0，即f'(ξ)=k。
由于k=(f(b)-f(a))/(b-a)，得到f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
应用：拉格朗日中值定理常用来证明不等式、求解方程和不定积分等问题。
例如，若函数在区间[a, b]上连续且处处大于零，则存在一个ξ∈(a, b)，使得f(ξ)>(1/(b-a))∫[a,b]f(x)dx。
这可以直接利用拉格朗日中值定理证明。
2. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它描述的是两个函数之间的关系。
设函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在xi∈(a, b)，使得(f'(xi)/g'(xi))=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。
中值定理证明方法总结
在( a, b) 内至少存在一点 ξ, 使 f′(ξ) = 0.
f(a+ ), x= a
证明提示: 设 F(x) =
f(x), f(b− ),
a< x< b x= b
证 F(x) 在 [a, b] 上满足罗尔定理 .
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二、拉格朗日中值定理
y
y= f(x)
证毕
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三、柯西(Cauchy)中值定理
f(x) 及 F(x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a, b] 上连续
(2) 在开区间 ( a, b) 内可导
(3)在开区间 ( a, b) 内F′(x) ≠ 0 至少存在一点 ξ∈(a,b) , 使
f(b) F(b)
− −
f(a) = F(a)
• g(b) − g(a)
•
原函数法
F(x) = f(x)
−
f(b)
−
f(a)
g(
x)
g(b) − g(a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
可适当减弱.
例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b− 0), 则至少存在一点 ξ∈(a,b), 使 f′(ξ) = 0 .
方程两边同时积分
f(b)))) −−−− ff((((aaaa)))) xxxx++++ CCCC ==== ff((((xxxx)))) b− a
解出积分常数 ，则
令辅助 直接积分消不去导数，故变形为 方程两边同时积分
解出积分常数 ，则 令辅助函数
拉格朗日中值定理证明导数
拉格朗日中值定理证明导数拉格朗日中值定理是微积分学最重要的定理之一，它告诉我们对于某些条件下的可导函数，存在一点使得该点处的切线与函数曲线在另外一点交于同一水平线。
下面，我们就来证明一下拉格朗日中值定理。
假设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且在(a,b)内连续，根据极值存在定理，f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
令M = max f(x)，m = minf(x)，则M、m都存在于区间[a,b]中。
然后，我们需要构造一个辅助函数G(x)。
令：G(x) = [(f(x) - M) / (x - a)] [(f(x) - m) / (x - b)]易知，G(x)在[a,b]上可导。
因为，f(x)连续，所以G(x)定义合法；而且，由于M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大和最小值，所以G(x)在[a,b]上的值都大于零。
根据拉格朗日中值定理，G(x)在[a,b]内存在一点x=c，使得G′(c) = [f(c)−M][f(c)−m](b−a)[(c−a)(c−b)]′=0很明显，(c-a)(c-b)≠0，因此有f(c) - M = [f(c) - m] * (a - b) / (c - a) / (c - b)由于M= max f(x)，m= min f(x)，所以上式左边为正或零，右边为负或零。
又因为c介于a和b之间，所以右边的分母为正，因此f(c)≤M。
同理可证f(c)≥ m。
因此，对于可导且连续的函数f(x)，在[a,b]这个区间内，存在某一点c，使得f(c)在其定义域内是最大值或最小值的值。
这就是拉格朗日中值定理的证明，它也是微积分学的基础理论之一。
利用它，我们可以推导出一些其他的重要结论，如闭区间上的连续函数一定可积等。
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中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(aPs:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。 介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多） Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。 2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0. Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0. 3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足： （1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足： （1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; 那么在(a,b)内至少有一点ξ(f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a). 5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足 （1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
)`()`()()()()(gfagbgafbf
Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。 6、 积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点],[ba使得
)()()(abfdxxfba
Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少
存在一点),(ba使得)()()(abfdxxfba 证明：设xadxxfxF)()(，],[bax 因为)(xf在闭区间上连续，则)(xF在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为)(xf）。 则对)(xF由拉格朗日中值定理有：
),(ba使得abdxxfabaFbFFba)()()()`(
而)()`(fF 所以),(ba使得)()()(abfdxxfba。 在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。 定理运用：
1、设)(xf在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且20)3()2()()0(2ffdxxff.
证明：(1))2,0(使)0()(ff (2))3,0(使0)``(f 证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。
（1）、令]2,0[),()(0xxFdttfx则由题意可知)2,0(]2,0[)(上连续，在xF内可导.
则对)(xF由拉格朗日中值定理有：
2)0()2()`()2,0(FFF使
)2,0(),0(2)()(20fdttff (2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用： 第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。 第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，
)3()2()0(2fff，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：
]3,0[)(在xf上连续，则在]3,2[上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，
分别设为M,m; 则.)3(,)2(MfmMfm
从而，Mffm2)3()2(，那么由介值定理就有： )0(2)3()2()(],3,2[fffcfc使 ]3,2[),2,0(),()()0(ccfff 则有罗尔定理可知： 0)`(),,0(11f，0)`(),,(22fc
0)``(),3,0(),(21f Ps：本题记得好像是数三一道真题，考察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。
2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明:1)()1,0()1(f使得、
1)`()`(),1,0()2(ff使得、两个不同点、 本题第一问较简单，用零点定理证明即可。 （1）、首先构造函数：]1,0[,1)()(xxxfxF
1)1()1(11)0()0(fFfF
01)1()0(FF 由零点定理知：1)(,0)()1,0(fF即使得 (2)、初看本问貌似无从下手，但是我们始终要注意，对于真题这么严谨的题目，他的设问是一问紧接一问，第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。在想想高数定理中的就这么些定理，第一问用到的零点定理，从第二问的结论来看，也更本不涉及什么积分问题，证明此问题也只可能从三大中值定理出发，具体是哪个定理，得看自己的情况，做题有时候就是慢慢试，一种方法行不通，就换令一种方法，有想法才是最重要的，对于一道题，你没想法，便无从下手。另外在说一点，在历年证明题中，柯西中值定理考的最少。 本题结论都涉及一阶倒数，乘积之后为常数，很可能是消去了变为1（你题目做多了，肯定
就知道事实就是这样）.并且第一问中0与1之间夹了个，如果我们在0与，与1上
对)(xf运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。 写一些简单步骤，具体详细步骤就不多写了：将第一问中)(f代入即可。
)1,(,11)()1()`(),0(,1)0()()`(ffffff
)1,0()1,(),1,0(),0(,1)`()`(ff Ps：本题是05年数一的一道真题，第一问是基本问题，送分的，第二问有一定区分度，对定理熟练的会容易想到拉格朗日定理，不熟练的可能难以想到方法。做任何题，最重要的不是你一下子就能把题目搞出来，而是你得有想法，有想法才是最重要的，有了想法你才能一步步的去做，如果行不通了，在改变思路，寻求新的解法，如果你没想法，你就根本无从下手。 3、设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1/3.
证明：22)`()`(),1,21(),21,0(ff使得：
对于这道题的结论比较有意思，比较对称，另外一个就是结论的条件，为何要把、放在两个范围内，不像上一题中直接来个)1,0(、，这个分界点1/2 的作用是干吗的。很可能也是把1 /2当做某一个点就像上一题中的，是否要用到拉格朗日中值定理呢，这是我们的一个想法。那具体的函数如何来构造呢，这个得从结论出发，22)`()`(ff 我们把等式变一下：0)`()`(22ff，2)`(f这个不就是331)(f关于的导数（而且题目中f(1)=1/3,貌似这样有点想法了），本题会不会也像上一题那样，运用拉格朗日中值定理后相互消掉变为0呢，有了这些 想法我们就要开始往下走了： 先来构造一个函数： )21(2211)21()1()`()21(221)0()21()`(,0)1(,0)0(,31)()(3FFFFFFFFFFxxfxF
0)`()`(FF刚好证明出来。
Ps：本题是近几年数二的一道真题，只有一问，有比较大区分度的，得从条件结论互相出发，如何构造出函数是关键。做出来之后我们反过来看这个1/2的作用就知道了，如果只给
)1,0(、，那就更难了 得自己找这个点，既然题中给了这个点，并且把两个变量分开
在两个区间内，我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。说明真题出的还是很有技巧的。一般设计难一点的中值定理证明，往往得用拉格朗日定理来证明，两个变量，都涉及到导数问题，这是因为拉格朗日中值定理条件要少些，只需连续，可导即可，不像罗尔定理得有式子相等才可进一步运用。 4.设f(x)在区间[-a,a](a>0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点使得aadxxffa)(3)``(3 第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础 （1）、22!2)``()0`(!2)``(!1)0`()0()(xfxfxfxffxf (2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来 aaaadxxfdxxf22)``()(
，)``(f此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x无
关的数。做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有： 因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间[-a,a]，
222)``(,)``(MxxfmxMxfm
3222332)``(3
2MadxxMdxxfdxxmmaaaaaaa