03屏模具补偿曲面法向矢量的计算《电子玻璃技术》

屏模具补偿曲面法向矢量的计算 柴书彦(模具厂)

摘要: 提出了一种采用三次样条插值函数来计算矩阵式离散点曲面法矢的方法，具备精度高、简易便捷、计算量小等特点。给出了方法的数学依据和计算原理并通过精度对比验

证了方法的有效性。讨论了方法的使用条件及其更深一步的应用。 关键词: 法向矢量、三次样条函数、矩阵式离散点曲面

1 引言 在电视机和显示器显像管中,决定成像质量的玻屏曲面事先由管子厂以z=f(x,y) 形式的数学公式给出其所要求的曲率,但在玻壳的生产时考虑到压制过程中的热变形影响,与玻屏内外曲面相接触的屏模具(凸模、底模)的表面通常不能采用与公式相同的曲率,需根据模具补偿原理使用(x,y,z) 形式的离散点集(不能以精确数学公式描述) 曲面。 我公司以往多使用辐射式的离散点集来加工屏模具表面,随着产品尺寸的增大和纯平玻壳的普及需要增加更多的曲率控制点以及国际上同行多使用控制点更多的矩阵式离散点集的情况,近年来我公司也越来越多的采用矩阵式离散点集来控制屏模具的表面曲率。 这里屏模具的矩阵式离散点曲面系指曲率控制点以矩阵式网格覆盖模具表面,如日立33〞屏凸模表面沿X方向有35点、沿Y方向有29点.此即为本文所讨论的计算对象. 自建厂以来我公司对屏模具(凸模、底模)表面曲率的测量有两种方式:①用专用的凸模补偿机以小测尖对每一点都以(0,0,1)方向来测量屏凸模表面曲率以回避未求解或不能求解离散点曲面法向矢量而导致的测头补偿误差问题。②用三坐标测量机也以小测尖沿(0,0,1)方向来测量或大测尖情况时先用“微平面法”(至少测3点) “测出”实际的法向矢量后再测量凸模或底模的表面曲率。这两种方法都有耗时太多的缺点或不便于实际的测量操作。 在与德国肖特公司合作后我公司开展了屏凸模、底模的矩阵式补偿技术,若沿用上述老方法进行曲率测量必将更加费时从而耽误模具对策时间,很长一段时间的生产现实证明了这一点。 为提高测量速度我公司近年来引进了具备扫描功能的ZEISS测量机,期望通过扫描测量来提高曲面的测量速度从而加快模具补偿进度,而进行曲线、曲面扫描测量的前提是最好知道矩阵式离散点曲面(也即凸模、底模补偿后得到的目标值;在凸模的日常生产中更是经常修改目标值)的每一点的法向矢量。 模具矩阵式补偿技术和扫描测量的引入对矩阵式离散点曲面法向矢量的计算求解提出了迫切的要求。以上情况是本文产生的现实基础。 2 计算原理与方法 (1) 计算原理 根据微分学原理,对于z=f(x,y) 形式的公式已知的曲面上每一点的法向矢量的计算,其公式为:

221fyfxfxi 221fyfxfyj

 2211fyfxk [1]

由此可以推出,如果知道了曲面上每一点处的fx和fy，则可以求解出法向矢量；也就是说，即使不知道曲面公式，但如果知道了fx和fy后同样可以求得法矢。 对于本文讨论的计算对象,由于离散点为矩阵式网格分布,若对网格上的每一点分别沿X和Y向构造一条z关于x、y的曲线z=f(x)和z=f(y),对该两条曲

线分别求导即可得到fx和fy,则问题得解。在此采用了化曲面问题为曲线问题的方法。 需要讨论的是,假若我们同时知道曲面的公式z=f(x,y)和曲面上每一点分别沿X和Y向所在曲线的公式z=f(x)和z=f(y),则根据z=f(x,y) 曲面求得的

xffx和yffy是否与根据两条曲线z=f(x)和z=f(y) 求得的fx和fy等价呢?

根据微分学原理,二元函数z=f(x,y)的偏导数的几何意义: )0,0(yxxf

表示平面曲线1C:

0),(yyyxfz在点),(,,0000yxfyx的切线的斜率。

)0,0(yxyf

表示平面曲线2C:

0),(xxyxfz在点),(,,0000yxfyx的切线的斜率. 注意是平面曲线1C和2C(具体图示参见文献1),而我们前面要构造的曲线z=f(x)和z=f(y)也正是平面曲线,由此本文提出的方法具备严格的数学意义。下面讨论方法的求解问题。 本文采用了三次样条函数插值曲线的方法构造沿X和Y向的曲线z=f(x)和

z=f(y),直接利用其求导公式得到fx和fy. 与①由离散点(x,y,z) 通过计算机辅助几何设计中构造NURBS曲面、Coons曲面、Bezier曲面或三角插值曲面等方法计算求解.②通过LKCAMIO、UG、MasterCAM等CAD软件做出曲面造型后再由分析功能编程计算导出结果.③由离散点通过拟合的方法(如Matlab)给出的曲面公式再求导计算.④由离散点构造双三次样条插值曲面再设法求导计算.⑤同本文思路而采用其他插值或拟合多项式得到构造曲线再设法求导计算.等方法相比,在满足精度要求前提下, 本方法具备简单易行、编程工作量小、操作便捷(可挂接到在alpha机上的补偿软件上)等特点. (2) 计算方法 针对屏模具(凸模、底模)表面的形状特点, 采用自然样条的三次样条函数插值.其方法如下:

给定n个插值节点1x<2x<„三次样条函数S（x），并根据下面的公式求插值点处的函数值和一阶导数值。 三次样条函数S（x）在每个分段（1ix，ix）上都是三次多项式，且满足以下条件： （1） 插值条件: S（ix）=iy (i=1,2, „n)

（2） 连接条件：)1,...,3,2()0()0()0()0(""''nixSxSxSxSiiii （3） 自然边界条件：)(1"xS=)("nxS=0。 在每个子区间[ix,1ix]上，有： S（x）= S（ix）+（x-ix）S（ix,1ix）+(x-ix)(x-1ix) S（x,ix,1ix）

这里，S（ix,1ix）=iiiixxxSxS11)()( S（x,ix,1ix）=61[)("xS+)("ixS+)(1"ixS] )("xS=)("ixS+(x-ix)),(1"iixxS )('xS S（ix,1ix）+（2x-ix-1ix）S（x,ix,1ix）+61(x-ix)(x-1ix)),(1"iixxS 由于本文的目的只是为了得到屏模具表面上每一离散点的一阶导数，即插值节点与插值点相同，所以又剔除了插值计算所带来的误差。

根据以上公式编程计算即可得到每一点处的fx和fy，从而由公式[1]求得其法矢（i,j,k）。 3 精度分析 （1）解析曲面情况下的数值实验 为验证上述方法的计算精度，取曲面公式为： A02=5.31975402E-4 A04=1.30653300E-10 A20=1.23255900E-4 A22=2.84344600E-9 A24=-4.41386500E-15 A40=3.93342800E-9 A42=-9.84508504E-14 A44=3.26401700E-19 z(i)=A02*y(i)**2+A04*y(i)**4+A20*x(i)**2+A22*x(i)**2*y(i)**2+A24*x(i)**2*y(i)**4+A40*x(i)**4+A42*x(i)**4*y(i)**2+A44*x(i)**4*y(i)**4 的汤姆逊29〞型号的产品分别按严格的解析法求偏导得到的法矢与本方法得到的结果进行比较如下(曲率控制点分布为：沿X向27点、沿Y向21点，共567点)： x y z i计算 i解析 i偏差 j计算 j解析 j偏差 k计算 k解析 k偏差 -266.7 -190.5 -39.17 -0.171 -0.174 0.003 -0.126 -0.128 0.002 0.977 0.977 0.000 -152.39 -190.5 -25.03 -0.076 -0.076 0.000 -0.207 -0.208 0.001 0.975 0.975 0.000 0.00 -190.5 -19.48 0.000 0.000 0.000 -0.202 -0.202 0.000 -0.979 -0.979 0.000 -127.0 -185.8 -22.25 -0.062 -0.061 -0.001 -0.204 -0.204 0.000 0.977 0.977 0.000 -244.0 -171.0 -32.46 -0.172 -0.172 0.000 -0.138 -0.138 0.000 0.976 0.975 0.001 266.7 -101.59 -31.26 0.287 0.291 -0.004 -0.052 -0.052 0.000 0.957 0.955 0.002 „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „ „

244.0 185.8 -34.66 0.155 0.155 0.000 0.155 0.153 0.002 0.976 0.976 0.000 228.0 190.5 -33.08 0.136 0.135 0.001 0.174 0.175 -0.001 0.975 0.975 0.000 所有567点的偏差不超过0.005。 （2）离散点曲面的情况 取实际生产中多种型号（如华飞29〞、日立33〞、AK29〞等）屏模具离散点曲面目标值进行法矢计算并与用UG曲面造型后的求解结果、“微平面法”的

实测结果相比较，所得偏差也约在310数量级左右（限于篇幅未列出偏差对比，读者可按所述方法进行验证）。 4 分析与讨论 从力学上讲，三次参数样条曲线就是所谓的“小挠度”曲线，对这种曲线插值来讲，要求相邻型值点的连续倾角小于45°。在曲线插值时，如果相邻测量点的连续倾角大于45°，则说明采样信息不充分。三次曲线可以用数段圆弧来逼近，

数控绘图机和数控机床大都是采用这种方式来处理三次曲线]2[。这在作者欲采用同样的方法来求解玻壳锥模具截面线的法矢时部分点与解析解有较大的偏差而得到验证，而屏模具表面由于曲率半径大和控制点分布要求较密积或是纯平产品则避免了上述情况，为本文的计算方法给出了宽裕的计算条件。 进一步推导开来，本文的计算方法可用于类似曲率半径情况下未知曲面的反求即所谓的逆向工程：三坐标测量时关闭测头半径补偿分别沿X和Y向以网格状测量得到测头中心轨迹曲面，由于被测曲面与测头中心轨迹曲面是法向等距面关系，由文中方法求出中心轨迹曲面的法矢后作一半径补偿则得到被测曲面的点云数据，可直接使用或输出到CAD软件中作进一步处理。 5 结论 （1）提出了一种基于三次样条函数来计算矩阵式离散点曲面法矢的简易、快捷的方法。 （2）论证了方法的数学严密性。 （3）给出了方法的计算原理。 （4）验证了方法的实用性──具备较高的计算精度。 （5）讨论了方法的使用条件及其更深一步的应用。 参考文献 [1] 沈永欢 等. 实用数学手册. 北京: 科学出版社, 1992 [2] 苏步青，刘鼎元. 计算几何. 上海：上海科学技术出版社，1981