九年级相似较难题30题(有解析)
相似三角形难题集锦(含答案)
一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。
最新初中数学图形的相似难题汇编含答案解析
最新初中数学图形的相似难题汇编含答案解析一、选择题1．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm 的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C ．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．2．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴=-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．3．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】∵AD ：AF=3：5，∴AD ：DF=3：2，∵AB∥CD∥EF，∴AD BCDF CE=，即362CE=，解得，CE=4，故选B．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．5．如图，点A在双曲线y═kx（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．3225C．43D．252【答案】B【解析】分析：如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题；详解：如图，设OA交CF于K．由作图可知，CF垂直平分线段OA，∴OC=CA=1，OK=AK，在Rt △OFC 中，∴5，∴， 由△FOC ∽△OBA ，可得OF OC CF OB AB OA==，∴21OB AB ==，∴OB=85，AB=45， ∴A （85，45）， ∴k=3225． 故选B ．点睛：本题考查作图-复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落在C ′的位置，C ′D 交AB 于点Q ，则BQ AQ的值为（ ）AB C ．2 D ．2【答案】A【解析】【分析】 根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD ＝DC ＝BD ，AC ＝AC′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C′D ，进而求出∠C 、∠B 的度数，求出其他角的度数，可得AQ ＝AC ，将BQ AQ 转化为BQ AC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠ADC ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，即AE ＝DE ＝22AD ， 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，AD 是△ABC 的中线，∴AD ＝CD ＝BD ， 由折叠得：AC ＝AC ′，∠ADC ＝∠ADC ′＝45°，CD ＝C ′D ，∴∠CDC ′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C ′AD ，∴∠B ＝90°﹣∠C ＝∠CAE ＝22.5°，∠BQD ＝90°﹣∠B ＝∠C ′QA ＝67.5°，∴AC ′＝AQ ＝AC ，由△AEC ∽△BDQ 得：BQ AC＝BD AE ， ∴BQ AQ ＝BQ AC ＝AD AE ＝2AE AE＝2． 故选：A ．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．7．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S ，若S=2，则1S +2S =（ ）.A ．4B ．6C ．8D ．不能确定 【答案】C【解析】 试题分析：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，所以△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF∥BC ，EF=12BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，所以PBC CQP QPB PDC ABP S S S S S =+=+V V V V V =1S +2S =8.故选C ．考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．8．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，问CE 为多少时A 、C 、F 在一条直线上（ ）A ．35B ．43C ．53D ．34【答案】C【解析】【分析】首先延长BC ，做FN ⊥BC ，构造直角三角形，利用三角形相似的判定，得出Rt △FNE ∽Rt △ECD ，再利用相似比得出1 2.52NE CD ==，运用正方形性质,得出△CNF 是等腰直角三角形，从而求出CE ．【详解】解：过F 作BC 的垂线，交BC 延长线于N 点，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ，∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴两三角形相似比为1：2，∴可以得到CE=2NF ，1 2.52NE CD == ∵AC 平分正方形直角，∴∠NFC=45°，∴△CNF 是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴2255.3323 CE NE==⨯=故选C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质与正方形的性质以及相似三角形的判定等知识，求线段的长度经常运用相似三角形的知识解决，同学们应学会这种方法.9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A．235B．233C．334D．435【答案】D【解析】【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．【详解】如图，在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，∴3连接DE，∵∠BDC=90°，点D是BC中点，∴DE=BE=CE=12BC=2，∵∠DCB=30°，∴∠BDE=∠DBC=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠BDE，∴DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴DF DE BF AB＝，在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=23，∴AB=3，∴23 DFBF＝，∴25 DFBD＝，∴DF=224323555 BD=⨯=，故选D．【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．10．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则较大多边形的周长为 )A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm【答案】A【解析】试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．大多边形的周长为48cm．故选A．考点：相似多边形的性质．11．把Rt ABC∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的13C．扩大为原来的9倍D．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，在ABC V 中，//,,30DE BC AF BC ADE ⊥∠=︒，2,33,DE BC BF ==则DF 的长为（）A ．4B ．23C ．33D ．3【答案】D【解析】【分析】先利用相似三角形的相似比证明点D 是AB 的中点，再解直角三角形求得AB ，最后利用直角三角形斜边中线性质求出DF ．【详解】解：∵//DE BC ，∴ADE ~ABC V V ，∵2DE BC =，∴点D 是AB 的中点，∵,30AF BC ADE ⊥∠=︒，33BF =∴∠B ＝30°，∴AB 6cos30BF ==︒， ∴DF=3，故选：D．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练掌握性质的运用是解题关键．13．如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【解析】【分析】利用对应点的连线都经过同一点进行判断．【详解】如图，位似中心为点D．故选D．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．14．如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S FCG＝3，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 利用折叠性质和HL 定理证明Rt △ABG ≌Rt △AFG ，从而判断①；设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=x+2，根据勾股定理列方程求解，从而判断②；由②求得△FGC 为等腰三角形，由此推出1802FGC FCG -∠∠=o ，由①可得1802FGC AGB -∠∠=o ,从而判断③；过点F 作FM ⊥CE ，用平行线分线段成比例定理求得FM 的长，然后求得△ECF 和△EGC 的面积，从而求出△FCG 的面积，判断④．【详解】解：在正方形ABCD 中，由折叠性质可知DE=EF=2，AF=AD=AB=BC=CD=6，∠B=∠D=∠AFG=∠BCD=90°又∵AG=AG∴Rt △ABG ≌Rt △AFG ，故①正确；由Rt △ABG ≌Rt △AFG∴设BG=FG=x ，则CG=6-x ，GE=GF+EF=x+2，CE=CD-DE=4∴在Rt △EGC 中，222(6)4(2)x x -+=+解得：x=3∴BG ＝3，CG=6-3=3∴BG ＝CG ，故②正确；又BG ＝CG ， ∴1802FGC FCG -∠∠=o 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ∴1802FGC AGB -∠∠=o ∴∠FCG=∠AGB∴AG ∥CF ，故③正确；过点F 作FM ⊥CE ，∴FM∥CG∴△EFM∽△EGC∴FM EFGC EG=即235FM=解得65 FM=∴S∆FCG＝116344 3.6225ECG ECFS S-=⨯⨯-⨯⨯=V V，故④错误正确的共3个故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．15．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)【答案】A【解析】【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是13，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是13，∴OD DC OB AB=， 又OB =6，AB =3，∴OD =2，CD =1，∴点C 的坐标为：（2，1），故选A ．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．16．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V ,∴18 EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．17．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH长为（）A．1 B．1.2 C．2 D．2.5【答案】B【解析】【分析】由AB∥GH∥CD可得：△CGH∽△CAB、△BGH∽△BDC，进而得：GH CHAB BC=、GH BHCD BC=，然后两式相加即可．【详解】解：∵AB∥GH，∴△CGH∽△CAB，∴GH CHAB BC=，即2GH CHBC=①，∵CD∥GH，∴△BGH∽△BDC，∴GH BHCD BC=，即3GH BHBC=②，①+②，得：123GH GH CH BHBC BC+=+=，解得：61.25GH==．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．18．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD AB AB AC= 【答案】C【解析】【分析】 由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A 与B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A 是公共角，∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB ∽△ABC （有两角对应相等的三角形相似），故A 与B 正确，不符合题意要求；当AB ：AD=AC ：AB 时，△ADB ∽△ABC （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D 正确，不符合题意要求；AB ：BD=CB ：AC 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故C 错误，符合题意要求，故选C ．19．如图，点D 是ABC V 的边BC 上一点，,2BAD C AC AD ∠=∠= ，如果ACD V 的面积为15，那么ABC V 的面积为（ ）A ．20B ．22.5C ．25D ．30【答案】A【解析】【分析】先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似比求出ABC V 的面积即可．【详解】∵,BAD C B B ∠=∠=∠∠∴C ABD BA ∽△△∵2AC AD =∴4S ABD S CBA =V V∴43S ACD S CBA=V V∵ACDV的面积为15∴44152033S CBA S ACD==⨯=V V故答案为：A．【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．20．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为12米，若小明的眼晴与地面的距离为1.5米，则旗杆的高度为（）A．9 B．12 C．14 D．18【答案】A【解析】【分析】如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．【详解】解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，由题意得∠ACB＝∠DCE，∵∠ABC＝∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴AB BCDE CE=，即1.5212DE=，∴DE＝9．即旗杆的高度为9m．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．。
图形的相似难题汇编附答案解析
图形的相似难题汇编附答案解析一、选择题1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG=2，则线段AE 的长度为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可得出AF AB GF GD==2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB=2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF=∠GDF ，∠BAF=∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ， ∴AF AB GF GD==2， ∴AF=2GF=4，∴AG=6． ∵CG ∥AB ，AB=2CG ，∴CG 为△EAB 的中位线，∴AE=2AG=12． 故选D ．点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，点D E F 、、分别在边AB AC BC 、、上，// ,//DE BC DF AC ，则下列结论一定正确的是( )A ．DE CE BF AE = B ．AE CE CF BF = C ．AD AB CF AC= D ．DF AD AC AB = 【答案】B【解析】【分析】 根据平行线分线段成比例定理，可得B 正确．【详解】解：//DE BC Q ，//DF AC ， ∴AE AD CE BD =，BF BD CF AD =， ∴AE CF CE BF=，故B选项正确，选项A、C、D错误，故选：B．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．4．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等．5．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边=，8CD mAC m=，则树高DE cm40=，测得边DF离地面的高度 1.5=，20EF cmAB是（）A ．4米B ．4.5米C ．5米D ．5.5米【答案】D【解析】【分析】 利用直角三角形DEF 和直角三角形BCD 相似求得BC 的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D∴△ADEF ∽△DCB ∴BC DC EF DE= ∴DE=40cm=0.4m ，EF-20cm=0.2m ，AC-1.5m ，CD=8m ∴80.20.4BC =解得：BC=4 ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。
初三数学相似试题答案及解析
初三数学相似试题答案及解析1.在等腰△ABC和等腰△DEF中，∠A与∠D是顶角，下列判断正确的个数是（）①∠A＝∠D时，两三角形相似；②∠A＝∠E时，两三角形相似；③时，两三角形相似；④∠B＝∠E时，两三角形相似．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①可以得出三个角对应相等，正确；③可以得出三边对应成比例，正确；④可以得出三个角对应相等，正确．故选C．2.（2013福建厦门）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝________．【答案】6【解析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，则，即，解得BC＝6．3. (2014四川绵阳)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，OQ⊥BC于点Q，过点B 作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】如图①，∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，∴∠ABP＝∠ACB＝90°．∵OQ⊥BC，∴∠OQB＝90°．∴∠OQB＝∠OBP＝90°．又∵∠BOQ＝∠POB，∴△OQB∽△OBP，∴．∵OA ＝OB ，∴．又∵∠AOQ ＝∠POA ，∴△OAQ ∽△OPA ，∴∠OAQ ＝∠OPA ． ∵∠OQB ＝∠ACB ＝90°，∴AC ∥OP ． ∴∠CAP ＝∠OPA ，∴∠CAP ＝∠OAQ ． ∴∠CAQ ＝∠BAP ． ∵∠ACQ ＝∠ABP ＝90°， ∴△ACQ ∽△ABP ，∴．故A 正确．如图①，∵△OBP ∽△OQB ， ∵． ∵，，∴，即．∵AQ≠OP ． ∴．故C 不正确． 如图②所示，连接OR ． ∵OQ ⊥BC ，∴BQ ＝CQ ． ∵AO ＝BO ，∴． ∵，∴，．∴，∴．故B 不正确．如图②，∵△OQB ∽△OBP ，， 又AC ＝2OQ ，AB ＝2OB ，OB ＝OR ， ∴．∵AB≠AP ，∴．故D 不正确．4. 在比例尺为1︰38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，则它的实际长度约为________． 【答案】2.66km【解析】7×38000＝266000(cm)＝2.66km ．5. (2014四川资阳)如图①，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB ＝BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2，l 1于点D ，E(点A ，E 位于点B 的两侧，满足BP ＝BE ，连接AP ，CE ． (1)求证：△ABP ≌△CBE ．(2)连接AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ，如图②． ①当时，求证：AP ⊥BD ；②当(n ＞1)时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．【答案】见解析【解析】(1)证明：BC⊥直线l1，∴∠ABP＝∠CBE．在△ABP和△CBE中，(2)①证明：如图，延长AP交CE于点H．∵△ABP≌△CBE，∴∠PAB＝∠ECB，∴∠PAB＋∠AEH＝∠ECB＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝90°，∴AP⊥CE．∵，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，∴△CPD∽△BPE，∴，∴DP＝EP．∴四边形BDCE是平行四边形，∴CE∥BD．∵AP⊥CE，∴AP⊥BD．②解：∵，∴BC＝nBP，∴CP＝(n－1)BP．∵CD∥BE，∴△CPD∽△BPE，∴．令S△BPE ＝S，则S2＝(n－1)S，S△PAB ＝S△BCE＝nS，S△PAE＝(n＋1)S．∵，∴S1＝(n＋1)(n－1)S，∴．6.（2014上海）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接AE，交BD于点G．求证：．【答案】见解析【解析】（1）∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝DC，∴∠ADC＝∠DAB．∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE．∴∠DAB＝∠DCE．在△ABD和△CDE中，∴△ABD≌△CDE，∴AD＝CE．又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．（2）∵四边形ACED是平行四边形，∴FC∥DE．∴．∵AD∥BE，∴．又∵AD＝CE，∴．7.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点P为位似中心，且，则AB︰A1B1＝________．【答案】3︰2【解析】∵五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，且，∴，即相似比为3︰2．∴AB︰A1B1＝3︰2．8.一般在室外放映的电影胶片上图片的规格是3.5cm×3.5cm，放映的银屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm，问：银屏拉在距离光源多远的地方时，放映的图象刚好布满整个银屏？【答案】m【解析】解：设银屏距光源xcm，利用位似图形的性质，可得，所以，．答：银屏拉在距离光源m处时，放映的图象刚好布满整个银屏．9.已知：如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2︰1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求，C1（2，－2）．（2）如图，△A2BC2即为所求，C2（1，0），△A2BC2的面积等于10．【解析】（1）把三角形向下平移4个单位长度，并结合坐标系写出点C1的坐标．（2）将三角形在网格内以B为位似中心放大2倍即可．10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（－2，3）、B（－3，2）、C（－1，1）．（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1绕原点旋转180°后得到的△A2B2C2；（3）△A′B′C′与△ABC是位似图形，请写出位似中心的坐标：________；（4）顺次连接C、C1、C′、C2，所得到的图形是轴对称图形吗？【答案】（1）如图所示；（2）如图所示；（3）位似中心的坐标：（0，0）；（4）是轴对称图形．【解析】（1）按平移条件找出A、B、C的对应点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到平移后的图形△A1B1C1；（2）利用中心对称的性质，作出A1、B1、C1关于原点的对称点A2、B2、C2，连接A2B2、B2C2、C2A2，即得到绕原点旋转180°的三角形；（3）利用对应点所在直线都经过位似中心，即可解决问题；（4）观察图形，可找到两条对称轴，所以是轴对称图形．11.如图，晚间小明站在距离路灯5m(即BD＝5m)的地面上，发现他的影子长DF为4m．已知小明的身高为1.6m，如果小明再向远离路灯的方向走4m，则此时小明的影长是多少？【答案】影长为7.2m【解析】先由△FCD∽△FAB得，求得AB的长，再由△GEF∽△GAB，得，可求FG的长，即此时小明的影长．解：根据题意得，AB∥CD∥EF，BD＝5m，DF＝4m，CD＝EF＝1.6m，所以△FCD∽△FAB，△GEF∽△GAB．由△FCD∽△FAB，得，即，，所以AB＝3.6m．由△GEF∽△GAB，得，即，所以FG＝7.2m，即此时小明的影长为7.2m．12.如图所示，为了测量某个池塘的宽DE，在岸边找一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找一点A，使AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6.5m，那么你能算出池塘的宽DE吗？【答案】宽DE为39m【解析】通过△ABC∽△DEC来求DE的长．解∵AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∴，即，∴DE＝39m．答：池塘的宽DE为39m．13. (2014北京)在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为________m．【答案】15【解析】设旗杆高度为x 米， 由题意得，解得x ＝15． 故答案为15．14. （2014贵州遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E 、南门点F 分别是AB 、AD 中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝________里．【答案】1.05【解析】∵EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，∴∠GEA ＝∠AFH ＝90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，∴∠EAG ＋∠G ＝90°，∠FAH ＋∠EAG ＝90°，∴∠G ＝∠FAH ，∴△FAH ∽△EGA ，∴，∴，∴FH ＝1.05（里）．15. 已知△ABC ∽△A′B′C′，且AD ，A′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的中线．若AD ＝2，A′D′＝3，BD ＝3，则B′C′＝________． 【答案】9【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′，AD ，A′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的中线，∴AD ︰A′D′＝BC ︰B′C′＝BD ︰B′D′，∴2︰3＝3︰B′D′，∴．∵B′C′＝2B′D′，∴B′C′＝9．16. 如图所示，正方形DEFM 内接于△ABC ，若S △ADE ＝1，S 正方形DEFM ＝4，求S △ABC ．【答案】S △ABC =9 【解析】解：过A 作AQ ⊥BC 于点Q ，交DE 于点P ． ∵四边形DEFM 是正方形，∴DE ∥BC ，∠DMF ＝∠EFM ＝90°，DE ＝DM ， ∴PQ ＝DM ＝DE ．∵S 正方形DEFM ＝4，∴DE ＝2． ∵S △ADE ＝1，∴，解得AP ＝1，∴AQ ＝AP ＋PQ ＝3．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AP ︰AQ ＝DE ︰BC ，即1︰3＝2︰BC ，解得BC ＝6， ∴．17. (2014江苏南京)若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1︰2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为( )A ．1︰2B ．2︰1C ．1︰4D ．4︰1【答案】C【解析】∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1︰2． ∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比为1︰4．故选C ．18. (2014山东滨州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则．【答案】【解析】∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ． ∵S △ADE ＝S 四边形BCED ． ∴，∴，故答案为．19. 已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为2︰3，则△ABC 与△DEF 的周长比为________． 【答案】2︰3【解析】根据相似三角形周长的比与对应中线的比都等于相似比，可得△ABC 与△DEF 的周长的比为2︰3．20. (2014浙江绍兴)把标准纸一次又一次对开，可以得到形状均相似的“开纸”．现在我们在长为、宽为1的矩形纸片中画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是________． 【答案】【解析】∵在长为、宽为1的矩形纸片中画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大． ∵矩形的长与宽之比为， ∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为∴另夕一个矩形的长为，宽为，∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．故答案为．21.如图，△ABC中，AB＝5，BC＝4，∠B＝50°，△A′B′C′中，A′B′＝6，B′C′＝4.8，∠B′＝50°，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的高，AE，A′E′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线．(1)△ABC与△A′B′C′相似吗？请说明理由．(2)等于多少？(3)若AE＝4.5，那么A′E′等于多少？【答案】见解析【解析】解：(1)△ABC∽△A′B′C′．因为，，所以．又因为∠B＝∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′，(2)因为AD，A′D′分别是对应边上的高，由(1)知△ABC∽△A′B′C′，所以．(3)由(1)知△ABC∽△A′B′C′，所以，所以．22. (2014上海)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC，BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)连接AE，交BD于点G，求证：．【答案】见解析【解析】证明：(1)∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA．在△BAD和△CDA中，∵∴△BAD≌△CDA，∴∠ABD＝∠ACD．∵∠CDE＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE．∵AD∥CE．∴四边形ACED是平行四边形．(2)∵AD∥BC，∴，∴．由(1)知四边形ACED为平行四边形，∴AD＝CE，∴，∴，∴，∴．23.(2014山东淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC 的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF．(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴．∴△BMN是等腰直角三角形．(2)△MFN∽△BDC．证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，．∵AC＝BD，∴，即．由(1)知△BMN是等腰直角三角形，∴，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°．∵FM∥AC．∵∠ACB＝∠FMB．∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°．∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．∴△MFN∽△BDC．24.已知正方形的边长为1．(1)如图①所示，可以算出一个正方形的对角线长为，那么两个正方形并排拼成的矩形的对角线的长为________，n个正方形并排拼成的矩形的对角线长为________；(2)根据图②，说明△BCE∽△BED；(3)如图③，在下列所给的三个结论中，通过合理的推理选出正确的结论，并加以说明．(A)∠BEC＋∠BDE＝45°；(B)∠BEC＋∠BED＝45°；(C)∠BEC＋∠DFE＝45°．【答案】见解析【解析】解：(1) (2)(2)因为，BC＝1，BD＝2，所以．又∠CBE＝∠EBD，所以△BCE∽△BED．(3)B，C正确．由(2)知，△BCF∽△BED，所以∠BCE＝∠BDE，∠BCE＝∠BED．又∠BEC＋∠BCE＝45°，所以∠BEC＋∠BED＝45°．所以B正确．因为，所以△DEF∽△BEC，所以∠DFE＋∠BCE．又∠BEC＋∠BCE＝45°，所以∠BEC＋∠DFE＝45°，所以C正确．25.下列三个矩形相似的是( )A．①②和③B．①和②C．①和③D．②和③【答案】C【解析】相似多边形的特征是对应边的比相等、对应角相等．此题已经具备了对应角相等，只需判断对应边的比是否相等即可．由题图知，①，②，③，所以①和③的对应边的比相等．故选C．26.下列四条线段中，不是成比例线段的是( )A．a＝1，，，B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝3，b＝4，c＝2，d＝6D．a＝2，，，【答案】B【解析】由4×10≠6×5知，选项B中的四条线段不是成比例线段．27.在相同时刻，物高与影长成正比例，如果高为1.5m的标杆的影长为2.5m，那么影长为30m 的旗杆的高度为( )A．20m B．15m C．18m D．16m【答案】C【解析】设旗杆的高度为xm，则x︰30＝1.5︰2.5，解得x＝18．28.如图①所示，若这两个矩形相似，则x＝________；如图②所示，若这两个菱形相似，则未知角β________．【答案】10、150°【解析】若这两个矩形相似，则它们的对应边成比例．由30︰15＝20︰x，得x＝10．若这两个菱形相似，则它们的对应角相等，所以β＝180°－30°＝150°．29.如图所示的相似四边形中，求未知边x，y的长度和角α的大小．【答案】见解析【解析】根据相似多边形的对应角相等，对应边成比例求解．解：∵四边形的内角和是360°，∴∠C＝360°－120°－50°－110°＝80°．∵两个四边形相似，∴∠α＝∠C＝80°，，解得，．30.如图所示的是一个三个顶点都在格点上的三角形，请画出一个三角形，使之与该三角形相似，并且边长是该三角形边长的2倍．【答案】见解析【解析】设作出的三角形为△A′B′C′，在△ABC中，只有BC边在方格线上，所以应先确定BC的对应边B′C′，再根据A点到BC的距离，得到A点的对应点A′到B′C′的距离，结合A相对B，C的位置，确定A′的位置，最后顺次连接点A′，B′，C′即得要作的图形．如图，图中的△A′B′C′与原三角形相似，且边长是原三角形的2倍．（答案不唯一）。
2020-2021九年级数学相似的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优易错难题练习题(含答案)及答案一、相似1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD的长；（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= ；（3）解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，∴BD=3 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴，∴BP= ，∴DP=BD-BP= ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= ．【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。
2．如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B 运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式．【答案】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：，对称轴为：直线x=﹣；（2）解：存在，∵AD=2t，∴DF=AD=2t，∴OF=4﹣4t，∴D（2t﹣4，0），∵直线AC的解析式为：，∴E（2t﹣4，t），∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论：①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC，∴，即，解得：t= ；②当∠FEC=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴DE= AF，即t=2t，∴t=0，（舍去），③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2，解得：t= ，∴存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t= 或；（3）解：∵B（1，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S= （DE+OC）•OD= （t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；当D在y轴的右侧时，如图2，∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）•OD= （﹣8t+10+2）•（4t﹣4），即（2＜t＜）．综上所述：【解析】【分析】（1）（1）利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。
九年级数学相似解答题精选练习题含答案
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谢谢！】相似解答题精选练习1、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．E求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）DE·DC＝AE·BD．DAB C2、如图，在△ABC中，∠CAB=60°，点D是△ABC内的一点，使∠CDA=∠ADB=∠CDB.求证：线段DA是线段DB、DC的比例中项.CD BA3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，BG⊥AB，交EF于点G．A求证：CF是EF与FG的比例中项．FE GC B4、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EA⊥AF，AE交CD的延长线于E，连结EF交AD于G.（1）求证：⊿ABF≌⊿ADE；A B （2）求证：BF·FC＝DG·EC；FGE D C5、如图3，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）找出图中相似的三角形，并证明；（2）求证：ABD AB ．CE BCFDB CE 6、如图，△ABC 中D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD ，E 为垂足，连结AE.求证：(1) ED=DA ；(2)∠EBA ＝∠EAB ；(3) BE 2=AD ·AC 7、如图△ABC 中，∠B=∠C=α（0<α<600）.将一把三角尺中300角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中300角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合.设∠CPQ=β.（1）用α、β表示∠1和∠2；（2）①当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP ∽△PCQ ？②当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP ∽△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由.A2QBBEC D Aα1P 30o βαC参考答案：1、证明：（1）∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB ，∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD ，（2）∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC ，∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ，∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ，∴△ADE ∽△CBD ，∴DE ︰BD ＝AE ︰CD ，∴DE ·DC ＝AE ·BD ．2、解：∵∠CDA=∠ADB=∠CDB ，∴∠CDA=∠ADB=∠CDB =120°∴∠ACD =180°-120°-∠CAD = 60°-∠CAD .又∵∠CAB =60°，∴∠BAD=60°-∠CAD .∴∠ACD=∠BAD .∴△ACD ∽△BAD .DC DA .∴DA 2=DB ⋅DC .=DA DB即线段DA 是线段DB 、DC 的比例中项.3、证明：∵EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，∴EF ∥BC ．∵AE =CE ，∴AF =FB ．∴CF =AF =FB ．∵∠AFE =∠GFB ，∠AEF =∠GBF ，∴△AEF ∽△GBF ．EF FB EF CF ∴．∴．==AF FG CF FG∴CF 是EF 与FG 的比例中项．∴4、证明:（1）∠EAD +∠DAF =90︒=∠DAF +∠FAB ,∴∠EAD =∠FAB ⎫⎬⇒Rt ∆ABF ≅Rt ∆ADE .又AD =AB ⎭（2）∵Rt ∆ABF ≅Rt ∆ADE ⇒BF =EDDG ∥CFDG ED =⇒ED ⋅FC =DG ⋅EC FC EC 又ED =BF ∴BF ⋅FC =DG ⋅EC∴5、(1)解：△DEF ∽△ABC ，△BDE ∽△CEF ．DE DF ．=AB AC∵∠EDF =∠A ，∴△DEF ∽△ABC ．∴∠DEF =∠B=∠C ．∵∠BED +∠DEF =∠C +∠CFE ，∴∠BED=∠CFE ．∴△BDE ∽△CEF ．BD DE （2）证明：∵△BDE ∽△CEF ，∴．=CE EFDE AB BD AB ∵△DEF ∽△ABC ，∴．∴．==EF BC CE BC证明如下：∵AB =AC ，DE =DF ，∴6、证明:(1)∵CE ⊥BD ∴∠CED=90°又∠BDC=60°∴∠ECD=30°∴CD=2ED ∵CD=2DA∴ED=DA(2)∵ED=DA∴∠DEA=∠DAE∵∠EDC=60°∴∠EAD=∠DEA=30°∵∠BAD=45°∴∠EAB=15°又∠BDC=∠DBA+∠BAD∴∠DBA=15°∴∠EAB=∠EBA(3)∵∠EAB=∠EBA∴BE=AE∵∠AED=∠ACE∴△AED∽△ACE∴AE ADAC AE22∴AE=AD·AC即BE=AD·AC7、解：（1）∠1=1500－β，∠2=300+β－α；（2）①由β=∠2或∠1=∠CQP，解得α=300.∴当β在许可范围内变化时，α=300总有△ABP∽△PCQ.②由β=∠1或∠2=∠CQP，解得β=750.∴当α在许可范围内变化时，β=750总有△ABP∽△QCP.（3）可能.①α=300，β＝300；②β=750，α=52.50．。
(完整word版)初三数学相似三角形典例和练习[含解析],文档
WORD 圆满格式初三数学相似三角形〔一〕相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1.理解线段的比、成比率线段的看法，会依照比率线段的有关看法和性质求线段的长或两线段的比，认识黄金切割。
2.会用平行线分线段成比率定理进行有关的计算、证明，会分线段成比。
3.能熟练应用相似三角形的判断和性质解答有关的计算与证明题。
4.能熟练运用相似三角形的有关看法解决实责问题本节的重点内容是相似三角形的判判定理和性质定理以及平行线分线段成比率定理。
本节的难点内容是利用判判定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中经常与四边形、圆的知识相结合组成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与研究型试题；有利于培养学生的综合素质。
〔二〕重要知识点介绍：WORD 圆满格式1.比率线段的有关看法：在比率式a c (a：b c：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b db、 d 叫后项， d 叫第四比率项，若是b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比率中项。
2把线段 AB分成两条线段 AC和 BC，使 AC=AB·BC，叫做把线段 AB黄金切割， C 叫做线段 AB的黄金切割点。
2.比任性质：①根本性质：a cb ad bcdac ±b±②合比性质：a c db d b d③等比性质：a c m(b dn≠ 0)a c m ab d n b d n b3.平行线分线段成比率定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3。
那么AB DE，AB DE，BC EF ，BC EFAC DFAC DF专业知识编写整理的延长线〕所得的对应线段成比率。
③定理：若是一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边。
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题(含答案)附详细答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、相似1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s 的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；（3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t，解得：t=3（s），所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA•DC= （9-t）•18=81-9t．在△AMC中，AM=2t，BC=9，∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t．∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）．由计算结果发现：在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当NA：AB=AM：BC 时，△NAP∽△ABC，那么有：（ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s），即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有：（ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s），即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。
九年级相似经典题目汇总(培优)
相似经典题目汇总（培优）1．已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC的形状，并说明理由；②求证：BD=AE；（2）当α=90°时（如图2），求的值．2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD 交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）3．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，Rt△BAP 中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP 交AC 于点O ，E 为AC 上一点，且AE=OC ． （1）求证：AP=AO ； （2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=AC ，AB=10时，求线段BO 的长度．4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F. 求证:（1）DECE =ADCD ；（2）△BCE∽△ADM；（3）AM 与BE 互相垂直.5．如图，四边形ABCD 中，AC⊥BD 交BD 于点E ，点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交AM 于点N ，AB=AC=BD ．连接MF ，NF ． （1）判断△BMN 的形状，并证明你的结论；（2）判断△MFN 与△BDC 之间的关系，并说明理由．ADBF E N MC6.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
2020-2021九年级数学 相似的专项 培优 易错 难题练习题及答案
2020-2021九年级数学相似的专项培优易错难题练习题及答案一、相似1．如图，已知：在Rt△ABC中，斜边AB=10，sinA= ，点P为边AB上一动点（不与A，B重合），PQ平分∠CPB交边BC于点Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．（1）当AP=CP时，求QP；（2）若四边形PMQN为菱形，求CQ；（3）探究：AP为何值时，四边形PMQN与△BPQ的面积相等？【答案】（1）解：∵AB=10，sinA= ，∴BC=8，则AC= =6，∵PA=PC．∴∠PAC=∠PCA，∵PQ平分∠CPB，∴∠BPC=2∠BPQ=2∠A，∴∠BPQ=∠A，∴PQ∥AC，∴PQ⊥BC，又PQ平分∠CPB，∴∠PCQ=∠PBQ，∴PB=PC，∴P是AB的中点，∴PQ= AC=3（2）解：∵四边形PMQN为菱形，∴MQ∥PC，∴∠APC=90°，∴ ×AB×CP= ×AC×BC，则PC=4.8，由勾股定理得，PB=6.4，∵MQ∥PC，∴ = = = ，即 = ，解得，CQ=（3）解：∵PQ平分∠CPB，QM⊥AB，QN⊥CP，∴QM=QN，PM=PN，∴S△PMQ=S△PNQ，∵四边形PMQN与△BPQ的面积相等，∴PB=2PM，∴QM是线段PB的垂直平分线，∴∠B=∠BPQ，∴∠B=∠CPQ，∴△CPQ∽△CBP，∴ = = ，∴ = ，∴CP=4× =4× =5，∴CQ= ，∴BQ=8﹣ = ，∴BM= × = ，∴AP=AB﹣PB=AB﹣2BM=【解析】【分析】（１）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6，BC=8，因为PQ平分∠CPB，所以PQ//AC，可知PB=PC，所以点P是AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，PQ =3;(2)当四边形PMQN为菱形时，因为∠APC=，所以四边形PMQN为正方形，可得PC=4.8，PB=3.6，因为MQ//PC，所以，可得;(3)当QM垂直平分PB 时，四边形PMQN的面积与△BPQ的面积相等，此时△CPQ∽△CBP，对应边成比例，可得，所以，因为AP=AB-2BM，所以AP=.2．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．【答案】（1）解：如图，∵矩形ABCD ，∴，∴，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵PF⊥BP ，∴，∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE，∴∽，∴，∵AD//BC ，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴（3）解：∠CPF=∠BPE，①如图所示，当点F在CE上时，∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴△PAB∽△CPD，∴PB：CD=AB：PD，∴PB·PD=CD·AB，∴x（）=2×2，∴x= ；②如图所示，当点F在EC延长线上时，过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，∵∠ABD=∠BDC，∴△PAB∽△MPD，∴PB：MD=AB：PD，由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，PH=2x，FH= ，CH=2- x，由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，由PC：PM=CH：MH可得PM，在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，解得x= ，综上：PD的长为：或【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。
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精品好资料——————学习推荐 1 / 83 九年级相似较难题30题
一、选择题（共15小题） 1．梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（ ）
A． 2.5AB B． 3AB C． 3.5AB D． 4AB 2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn面积为Sn，则Sn等于（ ）
A． B． C． D． 3．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论：①∠AED=∠ADC；②=；③AC•BE=12；④3BF=4AC．其中结论正确的个数有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH
=1：
2．其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C． ③④⑤ D． ①③⑤ 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点．连接BE交AC于点F，连接FD．若∠BFA=90°，则下列四对三角形：（1）△BEA与△ACD；（2）△FED与△DEB；（3）△CFD与△ABG；（4）△ADF
与△CFB，其中相似的有（ ） 精品好资料——————学习推荐 2 / 83 A． （1）（4） B． （1）（2） C． （2）（3）（4） D． （1）（2）（3） 6．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CF⊥AD．下列结论：①∠ADF=45°；②∠ADC=∠BDF；③AF=2BF；④CF=3DF． 正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 7．如图所示，△ABC中，点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上，且AP=，BQ=BC，CR=CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，则△ABC的面积是（ ）
A． 38 B． 42.8 C． 45.6 D． 47.5 8．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论： ①E为△ABP的外心；②△PBE为等腰直角三角形； ③PC•OA=OE•PB；④CE+PC的值不变．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 9．如图，D为⊙O的直径AB上任一点，CD⊥AB，若AD、BD的长分别等于a和b，则通过比较线段OC与CD的大小，可以得到关于正数a和b的一个性质，你认为这个性质是（ ） 精品好资料——————学习推荐 3 / 83 A． B． C． D．
10．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（ ）
A． B． C． D． 11．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=a，AB=b，BF=c，下列结论： ①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD； 其中正确的是（ ）
A． ②④ B． ①④ C． ②③ D． ①③ 12．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D． 13．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE•HB=，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD=；④若BE平分∠DBC，则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（ ） 精品好资料——————学习推荐 4 / 83 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 14．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（ ）
①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 15．如图，△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠F=90°，BC分别与AF，AG相交于点D，E．则图中不全等的相似三角形有（ ）
A． 0对 B． 1对 C． 2对 D． 3对 二、填空题（共8小题）（除非特别说明，请填准确值） 16．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：
①=；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=AB；⑤S△ABC=5S△BDF
，
其中正确结论的序号是 _________ ．
17．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H．下列结论：
①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=DH；④． 精品好资料——————学习推荐 5 / 83 其中正确的结论有 _________ ．
18．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则Sn= _________ ．（用含n的式子表示）
19．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有 _________ ．
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为AD、AB的中点，连接DF、CE，DF与CE交于点H，则下列结论：①DF⊥CE；②DF=CE；③=；④=．其中正确结论的序号有 _________ ．
21．在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、…、AnBnCnCn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则点An的坐标为 _________ ． 精品好资料——————学习推荐
6 / 83 22．已知菱形ABCD中，对角线AC=8cm，BD=6cm，在菱形内部（包括边界）任取一点P，得到△ACP并涂成黑色，使黑色部分的面积大于6cm2的概率为 _________ ．
23．已知：在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连接AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F，则△PEF面积最大值是 _________ ．
三、解答题（共7小题）（选答题，不自动判卷） 24．如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值． （图（2）、图（3）供画图探究）
25．已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，
试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 精品好资料——————学习推荐 7 / 83 26．情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是 _________ ，∠CAC′= _________ °．
问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．