相似三角形奥数题
相似三角形奥数题
相似三角形奥数题如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x= ．故EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮2、如图所示．▱ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．解答：解：过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，∴OG= BC= ，GB= AB= ．在△FOG中，由于GO∥EB，∴△FOG∽△FEB，= ，∴BE= •OG= •= ．答：BE的长为．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB∽△FOG．答题：fxx老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮3、如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E．∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以∴△ADE是正三角形，∴EA=ED=AD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，∴= = =1- ．②由①，②得=1- ，从而+ = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．答题：499807835老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，∴= ．∵IH=AB，∴= ，从而，- = - = = =1+ ．①在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，∴△OED≌△OBH（AAS）．从而DE=BH=AI，∴=1．②由①，②得- =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．答题：fxx老师显示解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮5、一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过B引BG∥EF，交AC于G，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC上进行求证．解答：证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知= ，= ，∴××= ××=1．点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C引CG∥EF 交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮6、如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG∽△ABC，于是= ，= ，再结合= ，先计算式子右边的和，易求+ + = =2，从而有+ + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，∴△IHB∽△AFG∽△ABC，∴= ，= ，∴+ + = ，又∵DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，∴+ + = =2，∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，∴+ + = + + =2，∴+ + =2，解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．答题：wangcen老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮7、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF ∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得= = = ，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．解答：解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴= = = ，又= = ，= = ，∴OE= BC= ，OF= AD= ，∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮8、已知：P为▱ABCD 边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得= ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，∴= =∴- = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮9、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长．解答：解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，= ，即OM= = ，同理ON= = ，∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮10、P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即= = ，同理得出= = ，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC，∴可得△PIF∽△CAB，∴= = ，同理= = ，+ + = + + =1．（2）仿（1）可得= = ，= = = ，∴+ + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮11、如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC：AB．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=HJ，∴= = ，∴= = ，= = ，∴DJ=4AE，又= ，解得AB= AE，又AE= CJ，∴AB= CJ，EB=4CJ，= = ，CD=5CJ，∴AB：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮12、已知P为△ABC 内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC①整理等式得：+ + =1，②由面积概念得：= ，= ，∴= ，即= ③同理得：= ④= ⑤把式③、④、⑤、代入式②得：；（2）由，知，，中至少有一个不大于，不妨设≤即3AD≤PD．而AD=AP+PD，∴AP≥2PD，∴≥2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2．。
相似三角形难题
相似三角形难题难题1题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F，求证：AF:AO=2:1。
解答思路：1.连接DE：由于D、E分别是AB、AC的中点，根据三角形的中位线定理，DE∥BC且DE=21BC。
2.利用相似三角形：由于DE∥BC，根据平行线的性质，我们有△ADE∼△ABC和△DOE∼△COB。
3.找出比例关系：由于DE=21BC，则BCDE=21。
由于△ADE∼△ABC，则AFAO=ACAE=21（因为E是AC的中点）。
4.计算AF:AO：由于AFAO=21，则AF:AO=2:1。
难题2题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，DBAD=32，△ABC的面积为S，求△ADE的面积。
解答思路：1.利用相似三角形：由于DE∥BC，根据平行线的性质，我们有△ADE∼△ABC。
2.找出比例关系：由于DBAD=32，则ABAD=52。
3.计算面积比：由于△ADE∼△ABC，则S△ABC S△ADE=(ABAD)2=(52)2=254。
4.计算△ADE的面积：由于S△ABC=S，则S△ADE=254S。
难题3题目：在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠ADE=∠B，AE=6，AD=4，AC=9，求AB的长。
解答思路：1.利用相似三角形：由于∠ADE=∠B且∠A=∠A（公共角），根据相似三角形的判定定理，我们有△ADE∼△ACB。
2.找出比例关系：由于△ADE∼△ACB，则ACAD=ABAE。
3.代入已知值求解：代入已知值AE=6，AD=4，AC=9，得到94=AB6。
4.计算AB：解这个方程得到AB=227。
相似三角形判定专项练习30题(有答案)
相似三角形判定专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？2．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°．若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．3．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．4．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？是说明理由．5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．6．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．7．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．（1）证明：△ADC∽△AEB；（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．8．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．9．在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．（1）求证：DF=EF；（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．12．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．13．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．14．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：（1）△DAE∽△EBA；（2）找出两个与△ABC相似的三角形（第2小题不要求写出证明过程）．15．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC 一定相似．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．18．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．19．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s 的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的22．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q 从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．23．已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．24．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD （如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．25．如图，已知△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∠BAC=∠MBN=90°，BD⊥AN．请找出与△ABD相似的三角形并给出证明，直接写出∠ANC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．设运动时间为t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．27．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，证明：△ABE∽△AEF．28．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，连接BD，AC，且DE⊥AC于E，交AB于F，求证：△AFD∽△ADB．29．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN 是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．30．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．相似三角形判定专项练习30题参考答案：1．解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD ， 设AB=AD=CD=4a ， ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ， ∴AE=DE=2a ，DF=a ，∴==2，==2，∴=，而∠A=∠D ， ∴△ABE ∽△DEF ． 2．解：△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ． 对△ABE ∽△DAE 进行证明： ∵△BAC 、△AGF 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∠GAF=45°， ∴∠EAD=∠EBA ， 而∠AED=∠BEA ， ∴△EAD ∽△EBA ． 3．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB ， ∵AE=BE ， ∴CB=2AE ， ∵，∴CD=2AD ，∴==，而∠A=∠C ， ∴△AED ∽△CBD ． 4．解：△ABC ∽△ADE ，理由为： 证明：∵AB •ED=AD •BC ，∴=，∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△ADE ．5．证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB==10，∴DB=AD ﹣AB=15﹣10=5 ∴DB ：AB=1：2， 又∵EB=CE ﹣BC=9﹣6=3， ∴EB ：BC=1：2，又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．6．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．7．（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，∴∠ADC=∠AEB=90°．又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB；（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．8．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC．9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，∴EF=BC，DF=BC，∴DF=EF；（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）△ADE∽△ACB．理由如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．11．证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵D为BC中点，且DE⊥BC，∴EB=EC．∴∠B=∠DCF．∴△ABC∽△FCD．12．证明：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB．13．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE，∴∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，∴△ABC∽△DBE14．解：（1）∵∠DEC=∠B，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵∠DAE=∠B，∴△DAE∽△EBA；（2）△CDE∽△ABC，△EAC∽△ABC．15．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．16．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．17．解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；（2）相似．证明：∵△ADE∽△ABC；∴，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）．又∠ECF=135°，∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°，∴∠E=∠BCF；同理，∠ECA=∠F，∴△EAC∽△CBF．19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要或者∵AB=6，BC=8∴只要设时间为t则PC=8﹣2t，CQ=t∴t=或者t=；①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC理由：△ABC∽△PCQ∴∠BAC=∠CPQ∵∠BAC+∠ECP=90°，∴∠EPC+∠ECP=90°即PQ⊥AC；②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ理由：△ABC∽△QCP∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC∴PE=EQ=CE即AC平分PQ23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．理由：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．25．解：△ABD∽△CBN，理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN，∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°，∴==，∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°，∴∠ABD=∠CBN，∴△ABD∽△CBN，∴∠BNC=∠ADB=90°，∵∠BNA=45°，∴∠ANC=45°．26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，∴BD=t，BE=8﹣2t，∴△BDE∽△BAC时，=，即=，解得t=2.4（秒）；当△BED∽△BAC时，=，即=，解得t=（秒）．综上所述，t的值为2.4秒或秒．27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．∴△ABE∽△ECF．∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEF=∠B=90°．∴△ABE∽△AEF．28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC．∴△EAF∽△BAC，=，即AE•AC=AF•AB．同理可得，△AED∽△ADC，=，即AE•AC=AD2，∴AD2=AF•AB，即=，又∵∠DAF=∠BAD，∴△AFD∽△ADB．29．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形；（3）由（2）得△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，即∠MAN=∠BAC，又∵AM=AN，AB=AC，∴AM：AB=AN：AC，∴△AMN∽△ABC；∵AB=AC，AD=AE，∴AB：AD=AC：AE，又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE；∴△AMN∽△ABC∽△ADE．30．证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
相似三角形典型例题30道
相似三角形典型例题30道1: 在△ABC中，DE是平行于BC的线段，且AD/DB = 2/3。
求DE/BC的比值。
2: 已知△PQR与△XYZ相似，PQ = 6，XY = 9，求QR 与YZ的比值。
3: 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE平行于BC，已知AD = 3，DB = 6，求AE与EC的比值。
4: 已知两个相似三角形的面积比为4:9，求它们对应边的比。
5: 在△XYZ中，MN是平行于XY的线段，且XM = 4，MY = 6，求MN/XY的比值。
6: 在△ABC中，AD是BC的中线，且AE是AB的延长线，若AE与BC相交于点F，求AF与FB的比值。
7: 在△DEF中，GH平行于EF，已知DE = 8，DF = 10，求GH/EF的比值。
8: 在一个相似三角形中，若大三角形的周长是36，小三角形的周长是24，求它们的面积比。
9: 在△JKL中，MN平行于JK，若JM = 3，MK = 5，求MN/JK的比值。
10: 如果两个相似三角形的对应边长分别为5和15，求它们的面积比。
11: 在△ABC中，AD是BC的中线，且DE平行于BC，已知AD = 4，BC = 8，求DE的长度。
12: 已知相似三角形的对应边长比为1:4，求它们的周长比。
13: 在△PQR中，S是PQ的中点，若ST平行于QR，求PS与PQ的比值。
14: 在相似三角形中，若小三角形的每条边长为5，大三角形的对应边长为15，求它们的面积比。
15: 在一个三角形中，若一条边的延长线与另一边的平行线相交，则形成的两小三角形与原三角形相似，求相似比。
16: 在△XYZ中，若XY = 10，XZ = 15，YZ = 12，求△XYZ的周长。
17: 已知△ABC与△DEF相似，若AB = 4，DE = 8，求AC与DF的比值。
18: 在△GHI中，JK平行于GH，若GJ = 5，GH = 20，求JK的长度。
19: 在相似三角形中，若一个三角形的面积是36，另一个三角形的面积是144，求其对应边的比。
小学高级奥数第23讲-相似三角形
F
E
A
D
H
B
C
G
已知：如图，四边形ABCD是直角梯形，∠A=∠B=90º，AD=3，BC=4， S△AOD=1，求四边形ABCD的面积。
如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD=DF=FB，则
S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB
A D F B
E G C
如图，DE平行BC，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC的长。
四边形ABCD被AC和DB分成甲乙丙丁4个三角形，已知 BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形 面积之和的多少倍？
梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘 米。则整个梯形的面积为多少？
梯形ABCD的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘 米。则整个梯形的面积为多少？
A
D
E
B
C
如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要 把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
课后作业
<作业1>
如图，△ABC中，DE、FG、MN、PQ、BC互相平行，AD=DF=FM=MP=PB,求
如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE： EC=1:3，AF与BE相交于点G，求三角形ABG的面积。
如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是 三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10平方厘米， EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x x x -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
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相似三角形奥数题如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．专题：计算题．分析：由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分线段成比例的定理，可求EF．解答：解：在△ABC中，因为EF∥AB，所以EF：AB=CF：CB①，同样，在△DBC中有EF：CD=BF：CB②，①+②得EF：AB+EF：CD=CF：CB+BF：CB=1③．设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得x：6+x：9=1，解得x= ．故EF= 厘米．点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮2、如图所示．▱ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：计算题．分析：本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．解答：解：过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，∴OG= BC= ，GB= AB= ．在△FOG中，由于GO∥EB，∴△FOG∽△FEB，= ，∴BE= •OG= •= ．答：BE的长为．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，构造出△FEB∽△FOG．答题：fxx老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮3、如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定．专题：证明题．分析：过D引DE∥AB，交AC于E，因为AD平分∠BAC（=120°），所以∠BAD=∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．解答：证明：过D引DE∥AB，交AC于E．∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，∴∠BAD=∠CAD=60°．又∠BAD=∠EDA=60°，所以∴△ADE是正三角形，∴EA=ED=AD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，∴= = =1- ．②由①，②得=1- ，从而+ = ．点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，本题中求证△CED∽△CAB是解题的关键．答题：499807835老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮4、如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．解答：证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，∴= ．∵IH=AB，∴= ，从而，- = - = = =1+ ．①在△OED与△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，∴△OED≌△OBH（AAS）．从而DE=BH=AI，∴=1．②由①，②得- =2．点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题．答题：fxx老师显示解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮5、一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB（或其延长线）分别交于D，E，F如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：过B引BG∥EF，交AC于G，将求证中所述线段“集中”到同一线段AC上进行求证．解答：证明：过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线分线段成比例性质知= ，= ，∴××= ××=1．点评：考查了平行线分线段成比例定理，本题也可过C引CG∥EF 交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证．答题：HLing老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮6、如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：计算题．分析：由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB ∽△AFG∽△ABC，于是= ，= ，再结合= ，先计算式子右边的和，易求+ + = =2，从而有+ + =2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可．解答：解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，∴△IHB∽△AFG∽△ABC，∴= ，= ，∴+ + = ，又∵DE=PE+PD=AI+FB，AF=AI+FI，BI=IF+FB，∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB，∴+ + = =2，∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，∴+ + = + + =2，∴+ + =2，解得d=306．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质．答题：wangcen老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮7、如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF ∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．考点：平行线分线段成比例．分析：由平行线的性质可得= = = ，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长．解答：解：∵AD∥BC，EF∥BC，∴= = = ，又= = ，= = ，∴OE= BC= ，OF= AD= ，∴EF=OE+OF=15．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮8、已知：P为▱ABCD 边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得= ，进而求解即可．解答：证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD，∴= =∴- = - = =1．点评：本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮9、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长．解答：解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，= ，即OM= = ，同理ON= = ，∴MN=OM+ON= ．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮10、P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即= = ，同理得出= = ，即可证明结论；（2）证明方法与（1）相同．解答：证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC，∴可得△PIF∽△CAB，∴= = ，同理= = ，+ + = + + =1．（2）仿（1）可得= = ，= = = ，∴+ + = + + =1．点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简单的结论．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮11、如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC：AB．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：计算题．分析：由平行线可得对应线段成比例，又有已知EF=FG=CH=HI=HJ，可分别求出线段AB、CD与AE、CJ的关系，进而可求解结论．解答：解：∵AB∥CD，EF=FG=CH=HI=HJ，∴= = ，∴= = ，= = ，∴DJ=4AE，又= ，解得AB= AE，又AE= CJ，∴AB= CJ，EB=4CJ，= = ，CD=5CJ，∴AB：CD= ：5=1：2．点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题试题篮12、已知P为△ABC 内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．考点：平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）第一问可由三角形的面积入手，即△PBC+△PAC+△PAB=△ABC，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解．（2）由（1）中得出，则其中至少有一个不大于，可设≤，即3AD≤PD，而AD=AP+PD，进而通过证明即可得出结论．解答：解：（1）由面积概念得：S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC①整理等式得：+ + =1，②由面积概念得：= ，= ，∴= ，即= ③同理得：= ④= ⑤把式③、④、⑤、代入式②得：；（2）由，知，，中至少有一个不大于，不妨设≤即3AD≤PD．而AD=AP+PD，∴AP≥2PD，∴≥2，即不小于2，同理可证三式中至少有一个不大于2．。