初中数学全等相似三角形难题汇总(附答案)

1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=．OCD10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l甲、l乙、l丙．已知AB=DE=GH，试猜想l甲、l乙、l丙的大小关系，并说明理由．15．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．1．如图所示，S△ABC=1，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=（）A．B．C．D．【考点】K3：三角形的面积．=S△DEC，【解答】解：∵S△BDE∴BD=DC，=S△ABC=，∴S△ABD∵S=1，S△BDE=S△DEC=S△ACE，△ABC=S△DEC=S△ACE=，∴S△BDE=S△ABD﹣S△BDE=﹣=．∴S△ADE故选B．2．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（）A．h B．k C．a D．【考点】KE：全等三角形的应用；KM：等边三角形的判定与性质．【解答】解：连接QR，过Q作QD⊥PR，∴∠AQD=45°，∵∠QAR=180°﹣75°﹣45°=60°，且AQ=AR，∴△AQR为等边三角形，即AQ=QR，∵∠AQD=45°∴∠RQD=15°=∠ARP，∠QRD=75°=∠RAP，∴△DQR≌△PRA（ASA），∴QD=PR，即w=h．故选A．3．已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE．∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，∴AB=AD+2BE=AF+2BE，∴AD=AF，∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2（AF+EF）=2AE，∴AE=（AB+AD），故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360﹣（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ACE﹣S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE ﹣S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．4．如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C≠72°，CD平分∠ACB，P为AB中点，则下列各式中正确的是（）A．AD=BC﹣CD B．AD=BC﹣AC C．AD=BC﹣AP D．AD=BC﹣BD【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：因为∠A=2∠B，所以∠A＞∠B，所以BC＞AC．在BC上截取CA′=CE，连接DE′（如图），易证△ACD≌△EC′D，所以AD=ED，且∠CED=∠A=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，所以∠B=∠EDB，所以AD=ED=EB，所以BC=E′C+E′B=AC+AD，所以AD=BC﹣AC．故此题选B．注意到：若AD=BC﹣CD，则CD=BC﹣AD=A′C=AC，此时∠CDA′=∠CDA=∠A=2∠B，所以∠ADA′=4∠B，又∠ADA′+∠2=4∠B+∠B=180°，所以∠B=36°，所以∠C=72°，与已知矛盾，故A排除，易证BD＞BA′=AD，所以PB＜BD，PA＞AD．所以AD＜BC﹣AP，排除C，AD＞BC﹣BD，排除D．5．在△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A′B′C′相似的是（）A．∠A′=30°B．∠C′=60°C．∠C=60° D．∠A′=2∠C′【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【解答】解：A、∵∠A′=30°，∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；B、∵∠C′=60°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；C、∠C=60°，无法确定△A′B′C′中各角的度数，故无法证明△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确；D、∵∠A′=2∠C′，∠A′+∠C′=90°，∴∠A′=30°，∵∠B=∠B′=90°，∠A=30°，∴△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误．故选C6．设a，b，c分别是△ABC的三边长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）A．∠B＞2∠A B．∠B=2∠A C．∠B＜2∠A D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K8：三角形的外角性质．【解答】解：由=得=，延长CB至D，使BD=AB，于是CD=a+c，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC：AC=AC：DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC=∠D，∵∠BAD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D=2∠BAC．故选B．7．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1，面积为S1，且a＞a1，b＞b1，c＞c1，则S与S1的大小关系一定是（）A．S＞S1B．S＜S1C．S=S1 D．不确定【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积．【解答】解：分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然=＞1，即S＞S1；②设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=c1=10，则S1=×100＞10，即S＜S1；③设a=b=，c=20，则h c=1，S=10，a1=b1=，c1=10，则h c=2，S1=10，即S=S1；因此，S与S1的大小关系不确定．故选D．8．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB一定成立的情况是（）A．AD•BC=AB•BD B．AB2=AD•AC C．∠ABD=∠CBD D．AB•BC=AC•BD【考点】S8：相似三角形的判定．【解答】解：A、因为AD•BC=AB•BD的夹角非∠A，所以不能判定两三角形相似，故本选项错误；B、因为符合两边及夹角法，故可判定两三角形相似，故本选项正确；C、因为无法确定三角形的对应角相等，故无法判定两三角形相似，故本选项错误；D、因为AB•BC=AC•BD的夹角为∠C、∠B，不确定是否相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误，故选B．9．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，BD、CE相交于O点．若S△=2，S△OBE=3，S△OBC=4，则S△ABC=16.8．OCD【考点】K3：三角形的面积．【解答】解：连接DE，如图则有，，将已知数据代入可得S=1.5，△DOE=x，则由，设S△ADE，所以得方程：，解得：x=6.3，所以四边形ADOE的面积=x+1.5=7.8．=2+3+4+7.8=16.8．所以S△ABC故填：16.8．10．如图，△ABC中，AB=4，AC=7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：如图，延长FM到N，使MN=MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM=CM，∠BMN=∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN=CF，∠N=∠MFC，又∵∠BAD=∠CAD，MF∥AD，∴∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N，∴AE=AF，BN=BE，∴AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=BN+FC=2FC，∴FC=（AB+AC）=5.5．故答案为5.5．11．如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△ABC中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是5．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：作∠CAO的平分线AD，交BO的延长线于点D，连接CD，∵AC=BC=5，∴∠CAB=∠CBA=50°，∵∠OAB=10°，∴∠CAD=∠OAD===20°，∵∠DAB=∠OAD+∠OAB=20°+10°=30°，∴∠DAB=30°=∠DBA，∴AD=BD，∠ADB=120°，在△ACD与△BCD中⇒△ACD≌△BCD⇒∠CDA=∠CDB，∴∠CDA=∠CDB===120°，在△ACD与△AOD中⇒△ACD≌△AOD⇒AO=AC，∴AO=5．故答案为5．12．如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线；（1）若∠A=100°，∠C=50°，求证：BC=BA+AD；（2）若∠BAC=100°，∠C=40°，求证：BC=BD+AD．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：（1）在边BC上截取BE=AB，连接DE，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD≌△DBE，∴AD=DE，∴∠A=∠BED，∵∠A=100°，∴∠BED=100°，∵∠C=50°，∴∠CDE=50°，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE，∵BC=BE+CE，∴BC=BA+AD；（2）如图，以BC为边作等边三角形A'BC，在A'C上截取CD'=BD，∴∠ACA′=∠ABD=20°，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACD'（SAS），∴AD=AD'，∠BAC=∠CAD′=100°，∴∠AD′C=60°，连接AA′，∴∠D'A'A=∠A'AD'=30°，∴A'D'=AD'，∴BC=A'C=A'D'+CD'=AD+BD，即BC=BD+AD．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度数．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】解：延长BC到F，使CF=DE，连接AF（如图）∵DE+BC=1，∴BF=BC+CF=BC+DE=1∵BE=AC，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF，∴△BDE≌△AFC（SAS），∵BD=，∴AF=BD=，∠B=∠1，∴AF=BF，∵∠B+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ABC=30°．14．如图表示甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为55°、60°、65°．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为l 甲、l 乙、l 丙．已知AB=DE=GH ，试猜想l 甲、l 乙、l 丙的大小关系，并说明理由．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；K6：三角形三边关系．【解答】解：猜想l 甲＜l 乙＜l 丙．（5分）理由：在甲三角形中，作∠ABF′=65°，交AC 的延长线于点F′．在△DEF 和△BAF′中，∵∠D=∠ABF′=65°，DE=BA ，∠E=∠A=55°，∴△DEF ≌△BAF′（ASA ）．（3分）∵F′C +F′B ＞BC ，∴△BAF′的周长大于l 甲．即 l 甲＜l 乙．（3分）同理可说明l 乙＜l 丙．（3分）∴l 甲＜l 乙＜l 丙．15．已知等腰直角三角形ABC ，BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D ，过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ，求证：BD=2CE ．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．16．如图，在△ABC中AC＞BC，E、D分别是AC、BC上的点，且∠BAD=∠ABE，AE=BD．求证：∠BAD=∠C．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【解答】证明：作∠OBF=∠OAE交AD于F，∵∠BAD=∠ABE，∴OA=OB．又∠AOE=∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA）．∴AE=BF．∵AE=BD，∴BF=BD．∴∠BDF=∠BFD．∵∠BDF=∠C+∠OAE，∠BFD=∠BOF+∠OBF，∴∠BOF=∠C．∵∠BOF=∠BAD+∠ABE=2∠BAD，∴∠BAD=∠C，。