2023年岳阳市中考数学试卷及答案

2023年湖南省岳阳市中考数学真题试卷

一、选择题（本大题共8小题,每小题3分,满分24分．在每小题给出的四个选项中,选出符合要求的一项）

1. 2023的相反数是（ ） A. 12023 B. 2023- C. 2023 D. 12023-

2. 下列运算结果正确的是（ ）

A. 23a a a ⋅=

B. 623a a a ÷=

C. 33a a -=

D. 222()a b a b -=- 3. 下列几何体的主视图是圆的是（ ）

A. B. C. D. 4. 已知AB CD ,点E 在直线AB 上,点,F G 在直线CD 上,EG EF ⊥于点,40E AEF ∠=︒,则EGF ∠的度数是（ ）

A. 40︒

B. 45︒

C. 50︒

D. 60︒

5. 在5月份跳绳训练中,妍妍同学一周成绩记录如下：176,178,178,180,182,185,189（单位：次/分钟）,这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A. 180,182

B. 178,182

C. 180,180

D. 178,180 6. 下列命题是真命题的是（ ）

A. 同位角相等

B. 菱形的四条边相等

C. 正五边形是中心对称图形

D. 单项式25ab 的次数是4

7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材,径二尺五寸．欲为方版,令厚七寸,问广几何？”结合右图,其大意是：今有圆形材质,直径BD 为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD 达到7寸．则BC 的长是（ ）

A. B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸

8. 若一个点的坐标满足(),2k k ,我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数,1t ≠-）总有两个不同的倍值点,则s 的取值范围是（ ）

A. 1s <-

B. 0s <

C. 01s <<

D. 10s -<<

二、填空题（本大题共8小题,每小题4分,满分32分）

9. 函数1y=x 2

-中,自变量x 的取值范围是____． 10. 近年来,岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任,水在变清,岸在变绿,洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季,洞庭湖区越冬水鸟数量达37.83万只,数据378300用科学记数法表示为_________．

11. 有两个女生小合唱队,各由6名队员组成,甲队与乙队的平均身高均为160cm x =,甲队身高方差2 1.2s =甲,

乙队身高方差2 2.0s =乙,两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”）

12. 如图,①在,OA OB 上分别截取线段,OD OE ,使OD OE =;①分别以,D E 为圆心,以大于12

DE 的长为半径画弧,在AOB ∠内两弧交于点C ;①作射线OC ．若60AOB ∠=︒,则AOC ∠=_________︒．

13. 观察下列式子：

21110-=⨯;22221-=⨯;23332-=⨯;24443-=⨯;25554-=⨯;…

依此规律,则第n （n 为正整数）个等式是_________．

14. 已知关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．

的实数根,且12122x x x x ++⋅=.则实数m =_________．

15. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图,某校数学兴趣小组在A 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E 处的仰角为21.8︒,仪器与气球的水平距离BC 为20米,且距地面高度AB 为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC 是_________米（结果精确到0.1米,sin21.80.3714,cos21.80.9285,tan21.80.4000︒≈︒≈︒≈）．

16. 如图,在O 中,AB 为直径,BD 为弦,点C 为BD 的中点,以点C 为切点的切线与AB 的延长线交于点E ．

（1）若30,6A AB ∠=︒=,则BD 的长是_________（结果保留π）;

（2）若13

CF AF =,则CE AE =_________． 三、解答题（本大题共8小题,满分24分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.

计算：202tan601(3)π-︒+--．

18. 解不等式组：213,24.x x x x +>+⎧⎨-<⎩①②

19. 如图,反比例函数k y x

=（k 为常数,0k ≠）与正比例函数y mx =（m 为常数,0m ≠）的图像交于()1,2,A B 两点．

（1）求反比例函数和正比例函数的表达式;

（2）若y ．轴．

上有一点()0,,C n ABC △的面积为4,求点C 的坐标． 20. 某校七年级在端午节来临之际,成立了四个社团：A 包粽子,B 腌咸蛋,C 酿甜酒,D 摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下,随机调查了部分学生,根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

（1）本次共调查了_________名学生;

（2）请补全条形统计图;

（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示,请用列表或画树状图的方法,求同时选中A 和C 两个社团的概率．

21. 如图,点M 在▱ABCD 的边AD 上,BM CM =,请从以下三个选项中①12∠=∠;①AM DM =;①34∠∠=,选择一个合适的选项作为已知条件,使▱ABCD 为矩形．

（1）你添加的条件是_________（填序号）;

（2）添加条件后,请证明▱ABCD 为矩形．

22. 已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg ,今年龙虾的总产量是6000kg ,且去年与今年的养殖面积相同,平均亩产量去年比今年少60kg ,求今年龙虾的平均亩产量．

23. 如图1,在ABC ∆中,AB AC =,点,M N 分别为边,AB BC 的中点,连接MN ．

初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是_________,MN 与AC 的位置关系是_________．

特例研讨：（2）如图2,若90,BAC BC ∠=︒=先将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角）,得到BEF △,当点,,A E F 在同一直线上时,AE 与BC 相交于点D ,连接CF ．

（1）求BCF ∠的度数;

（2）求CD 的长．

深入探究：（3）若90BAC ∠<︒,将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △,连接AE ,CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒,点,,C E F 在同一直线上时,利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系,并说明理由．

24. 已知抛物线2

1:Q y x bx c =-++与x 轴交于()3,0,A B -两点,交y 轴于点()0,3C ．

（1）请求出抛物线1Q 的表达式．

（2）如图1,在y 轴上有一点()0,1D -,点E 在抛物线1Q 上,点F 为坐标平面内一点,是否存在点,E F 使得四边形DAEF 为正方形？若存在,请求出点,E F 的坐标;若不存在,请说明理由．

（3）如图2,将抛物线1Q 向右平移2个单位,得到抛物线2Q ,抛物线2Q 的顶点为K ,与x 轴正半轴交于点H .抛物线1Q 上是否存在点P ,使得CPK CHK ∠=∠？若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由．

2023年湖南省岳阳市中考数学真题试卷

一、选择题.

1. B

2. A

3. A

4. C

5. D

6. B

7. C

8. D

解：由“倍值点”的定义可得：()()2

212x t x t x s =++++. 整理得,()2

10t x tx s +++= ①关于x 的二次函数()()2

12y t x t x s =++++（,s t 为常数,1t ≠-）总有两个不同的倍值点. ①()22

=41440,t t s t ts s ∆-+=--> ①对于任意实数s 总成立.

①()()2

4440,s s --⨯-<

整理得,216160,s s +< ①20,s s +<

①()10s s +<.

①010s s <⎧⎨+>⎩,或010s s >⎧⎨+<⎩

， 当010

s s <⎧⎨+>⎩时,解得10s -<<. 当010s s >⎧⎨+<⎩

时,此不等式组无解. ①10s -<<.

故选：D ．

二、填空题.

9. x 2≠

10. 53.78310⨯

11. 甲

12. 30

13.()2

1n n n n -=- 14. 3

15. 9.5

16. ①. 2π ①. 12

解：（1）如图,连接,OC OD .

①点C 为BD 的中点.

①BC CD =.

又①30A ∠=︒.

①260BOC COD A ∠=∠=∠=︒.

①120BOD ∠=︒.

①6AB =. ①132OB AB =

=. ①120π32π180

BD l =⨯⨯=. 故答案为：2π．

（2）解：如图,连接OC .

①点C 为BD 的中点.

①BC CD =.

①OC BD ⊥.

①EC 是O 的切线.

①OC EC ⊥,

①EC BD ∥ ①

CF EB AF AB

=. ①13CF AF =. ①13

EB AB =. 设2EB a =,则6AB a =,3,5BO a EO EB BO a ==+=.

①4EC a ==,268AE a a a =+=. ①4182

CE a AE a ==． 故答案为：12．

三、解答题.

17. 2

18. 24x <<

19. （1）2y x

=;2y x = 20. （1）100 （2）见解析

（3）16

【小问1详解】

①2525%100÷=(人).

故答案为：100．

【小问2详解】

B 的人数：10040251520---=（人）.

补全统计图如下：

．

【小问3详解】

根据题意,画树状图如下：

一共有12种等可能性,选中A ,C 的等可能性有2种.

故同时选中A 和C 两个社团的概率为

21126=． 21. （1）答案不唯一,①或①

（2）见解析

【小问1详解】

解：①或①

【小问2详解】

添加条件①,▱ABCD 为矩形,理由如下：

在▱ABCD 中AB CD =,AB CD .

在ABM 和DCM △中12AB CD BM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

.

①ABM DCM △≌△

①A D ∠=∠.

又①AB CD .

①180A D ∠+∠=︒.

①90A D ∠=∠=︒.

①▱ABCD 为矩形;

添加条件①,▱ABCD 为矩形,理由如下：

在▱ABCD 中AB CD =,AB CD .

在ABM 和DCM △中AB CD AM DM BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩

.

①ABM DCM △≌△

①A D ∠=∠.

又①AB CD .

①180A D ∠+∠=︒.

①90A D ∠=∠=︒.

①▱ABCD 为矩形

22. 今年龙虾的平均亩产量300kg ．

解：设今年龙虾的平均亩产量是x kg ,则去年龙虾的平均亩产量是()60x -kg . 由题意得,6000480060

x x =-. 解得300x =.

经检验,300x =是分式方程的解且符合题意.

答：今年龙虾的平均亩产量300kg ．

23. 初步尝试：（1）12

MN AC =;MN AC ∥;（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒;（2

）CD =（3）BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒

【详解】初步尝试：（1）①AB AC =,点,M N 分别为边,AB BC 的中点. ①MN 是ABC 的中位线. ①12

MN AC =

;MN AC ∥; 故答案是：12MN AC MN AC =；; （2）特例研讨：（1）如图所示,连接EM ,,MN NF .

①MN 是BAC 的中位线.

①MN AC ∥.

①90BMN BAC ∠=∠=︒

①将BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角）,得到BEF △. ①,BE BM BF BN ==;90BEF BMN ∠=∠=︒

①点,,A E F 在同一直线上时.

①90AEB BEF ∠=∠=︒

又①在Rt ABE △中,M 是斜边AB 的中点. ①12

ME AB MB == ①BM ME BE ==

①BME 是等边三角形.

①60ABE ∠=︒,即旋转角60α=︒

①60,NBF BN BF ∠=︒=

①BNF 是等边三角形.

又①,BN NC BN NF ==.

①NF NC =,

①∠=∠NCF NFC

①260BNF NCF NFC NFC ∠=∠+∠=∠=︒

①30FCB ∠=︒,

（2）如图所示,连接AN .

①AB AC =,90,BAC BC ∠=︒=

①4AB =,45ACB ABC ∠=∠=︒

①,90ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠=︒

①ADN BDE ∽

①2

DN AN DE BE ===

设DE x =,则DN =.

在Rt ABE △中,2,BE AE ==则AD x =.

在Rt ADN △中,222AD DN AN =+

①())(222

x =+

解得：4x =-4x =-（舍去）

①CD DN CN =+=+=（3）如图所示,当点,,C E F 在同一直线上时,且点E 在FC 上时.

①AB AC =.

①A ABC CB =∠∠.

设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC θ∠=︒-.

①MN 是ABC 的中位线.

①MN AC ∥

①MNB MBN θ∠=∠=.

①将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △.

①EBF MBN ≌,MBE NBF α∠=∠=.

①EBF EFB θ∠=∠=

①1802BEF θ∠=︒-.

①点,,C E F 在同一直线上.

①2BEC θ∠=

①180BEC BAC ∠+∠=︒.

①,,,A B E C 在同一个圆上.

①EAC EBC αθ∠=∠=-

①()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒-- ①ABF αθ∠=+.

①180BAE ABF ∠∠=+︒;

如图所示,当F 在EC 上时.

①,BEF BAC BC BC ∠=∠=

①,,,A B E C 在同一个圆上.

设ABC ACB θ∠=∠=,则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-. 将BMN 绕点B 顺时针旋转α,得到BEF △.

设NBF β∠=,则EBM β∠=,则360αβ+=︒. ①ABF θβ∠=-.

①BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB ∠=∠+∠ ①ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-.

①EB EB =

①EAB ECB θβ∠=∠=-

①BAE ∠ABF =∠

综上所述,BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒ 24. （1）223y x x =--+

（2）()2,3E -;()1,2F

（3）点P 的坐标为(1,0)或(2,3)-

【小问1详解】

①抛物线2

1:Q y x bx c =-++与x 轴交于()3,0,A -两点,交y 轴于点()0,3C . ①把()()300,3A C -，，代入2

1:Q y x bx c =-++,得. 930,3b c c --+=⎧⎨=⎩

解得,2,3

b c =-⎧⎨=⎩ ①解析式为：223y x x =--+;

【小问2详解】

假设存在这样的正方形DAEF ,如图,过点E 作ER x ⊥于点R ,过点F 作FI y ⊥轴于点I.

①90,AER EAR ∠+∠=︒

①四边形DAEF 是正方形.

①,90,AE AD EAD =∠=︒

①90,EAR DAR ∠+∠=︒

①,AER DAO ∠=∠

又90,ERA AOD ∠=∠=︒

①AER DAO ≅，

①,,AR DO ER AO ==

①()()3,0,0,1,A D --

①3,1,OA OD ==

1,3,AR ER ∴==

①312,OR OA AR =-=-=

①()2,3E -;

同理可证明：FID DOA ≅，

①1,3,FI DO DI AO ====

①312,IO DI DO =-=-=

①()1,2F ;

【小问3详解】

解：抛物线1Q 上存在点P ,使得CPK CHK ∠=∠．

2223(1)4y x x x =--+=-++.

∴抛物线1Q 的顶点坐标为(1,4)-.

将抛物线1Q 向右平移2个单位,得到抛物线2Q .

∴抛物线2Q 的解析式为22(12)4(1)4y x x =-+-+=--+. 抛物线2Q 的顶点为K ,与x 轴正半轴交于点H .

(1,4)K ∴,()3,0H .

设直线BC 的解析式为y kx n =+,把(0,3)C ,()3,0H 代入得330n k n =⎧⎨+=⎩

. 解得：13

k n =-⎧⎨=⎩. ∴直线BC 的解析式为3y x =-+.

过点K 作KT y ⊥轴于点T ,连接BC ,设KP 交直线BC 于M 或N ,如图2,过点C 作PS y ⊥轴交BK 于点S ,交抛物线1Q 于点P ,连接PK .

则(0,4)T ,(,3)M m m -+,(,3)N t t -+.

1KT TC ∴==,90KTC ∠=︒.

CKT ∴△是等腰直角三角形.

45KCT ∴∠=︒,CK ==

3OH OC ==,90COH ∠

=︒. COH ∴△是等腰直角三角形.

45HCO ∴∠=︒,CH == 18090KCH KCT HCO ∴∠=︒-∠-∠=︒.

1tan 3CK CHK CH ∴∠===. CPK CHK ∠=∠.

1tan tan 3

CPK CHK ∴∠=∠=. 1tan 3

OB BCO OC ∠==. BCO CHK ∴∠=∠.

①BK OC ∥.

CBK BCO ∴∠=∠.

CBK CHK ∴∠=∠.

即点P 与点B 重合时,CPK CHK ∠=∠. 1)0(1,P ∴;

1SK =,3PS =.

1tan 3

SK CPK PS ∴∠==. CPK CHK ∴∠=∠.

点P 与点C 关于直线=1x -对称. (2,3)P ∴-;

综上所述,抛物线1Q 上存在点P ,使得CPK CHK ∠=∠,点P 的坐标为(1,0)或(2,3)-．