(完整版)高中数学高考导数题型分析及解题方法
高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.
注意：“函数 f ( x) 在 m, n 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 a, b ”的区别是前者是后者的子集。
例 已知函数 f (x) x2 a ln x + 2 在 1, x
（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）
1,2 的极小值。
二．单调性问题
题型 1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 1）在求极值点的过程中，未知数的系数与
0
的关系不定而引起的分类； （2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与
切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线 y x2 与曲线 y 2eln x 的公切线方程。 （答案 2 ex y e 0 ）
三．极值、最值问题。
题型 1 求函数极值、最值。
基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。
例 已知函数 f (x) ex x (k 1) ex 1 x 2 kx 1 ，求在 x 2
3. 对 x1 m, n , x2 m, n ， f ( x1 ) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) min 。
4. 对 x1 m, n , ，恒成立 4. 对 x1 m, n , x2 5. 对 x1 m, n , x2
f ( x1) g (x1) 。转化 f (x1) g(x1) 0 恒成立 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) min g (x2 )min 。 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) max
高中数学高考导数题型分析及解题方法(20190102180027)
1．曲线 y 4x x3在点 1, 3 处的切线方程是
y x2
2．若曲线 f ( x) x4 x 在 P 点处的切线平行于直线 3x y 0 ，则 P 点的坐标为
（ 1，0）
3．若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4 y 8 0 垂直，则 l 的方程为 4x y 3 0
4．求下列直线的方程：
（1）曲线 y x3 x2 1在 P(-1,1) 处的切线；
（ 2）曲线 y x 2 过点 P(3,5) 的切线；
解：（ 1） 点P( 1,1) 在曲线 y x3 x 2 1上， y/ 3x2 2 x
k y/ |x －1 3－2 1
所以切线方程为 y 1 x 1 ，即 x y 2 0
（2）显然点 P（3，5）不在曲线上， 所以可设切点为 A( x0 , y0) ，则 y0 x02 ①又函数的导数为 y / 2 x ， 所 以 过 A( x0 , y0 ) 点 的切 线的 斜率为 k y / |x x0 2 x0 ， 又切 线过 A( x0 , y0 ) 、 P(3,5) 点 ， 所以 有
3 2a b 3
2a b 0
①
即
故a c 3
ac 3
②
∵ y f ( x)在 x 2时有极值 ,故 f ( 2) 0, 4a b 12 ③
由①②③得 a=2 ， b=－ 4， c=5
∴ f ( x) x 3 2x2 4x 5.
（ 2） f ( x) 3x2 4x 4 ( 3x 2)( x 2).
3x 当
2x0 y0 5
x0 3 ②，由①②联立方程组得，
x0 1或 x0 5
y0 1 y0 25 ，即切点为（ 1， 1）时，切线斜率为
k1 2x0 2; ；当切点为（ 5， 25）时，切线斜率为 k2 2x0 10 ；所以所求的切线有两条，方程分 别为 y 1 2(x 1)或 y 25 10( x 5)，即y 2x 1 或 y 10x 25
【高考复习】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
【高考复习】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法高考数学问题类型总结的衍生问题类型分析与解题方法一、考试内容导数的概念、导数的几何意义以及几种常用函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热门话题分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1.间隔中的最大值为22.已知函数处有极大值，则常数c=6;3.函数的最小值为-1，最大值为3题型二：利用导数几何意义求切线方程1.曲线在该点的切线方程为2.若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为(1，0)3.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为4.求下列直线的方程：（1）曲线在P（-1,1）处的切线；（2）曲线通过点P（3,5）的切线；解：(1)所以切线方程是(2)显然点p(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，因此，通过点的切线的斜率为，并且切线通过点P（3,5），因此②, 这是从① 和②, 也就是说，当切点为（1,1）时，切线斜率为；当切点为（5,25）时，切线斜率为；有两条切线，方程是题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数的切线方程为y=3x+1(ⅰ)若函数处有极值，求的表达式;（二）在（I）的条件下，求[-3,1]上函数的最大值；(ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解决方案：（1）通过过的切线方程为：然后通过故∵③由①②③得a=2，b=-4，c=5(2)当在[-3,1]上，最大值为13。
(3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。
根据问题的意思，[-2,1]上总是有0，即①当;② 什么时候③当综上所述，参数B的取值范围为2.已知三次函数在和时取极值，且.（1）找到函数的表达式；(2)求函数的单调区间和极值;（3）如果间隔上的函数值范围为，则尝试找到应满足的条件解：(1)，从问题的意义来看，是的，两个。
高中导数题所有题型及解题方法
高中导数题所有题型及解题方法一、导数的概念1.1 导数的定义•导数的定义公式：f′(x)=limℎ→0f(x+ℎ)−f(x)ℎ•导数表示函数在某一点的变化率1.2 导数的几何意义•函数图象在某一点的切线斜率•函数图象在某一点的局部线性近似二、导数的基本运算法则2.1 基本导数公式•常数函数：d dx (C)=0•幂函数：d dx (x n)=nx n−1•指数函数：ddx(a x)=a x ln(a)2.2 函数和、差、积、商的导数•和的导数：(u+v)′=u′+v′•差的导数：(u−v)′=u′−v′•积的导数：(uv)′=u′v+uv′•商的导数：(uv)′=u′v−uv′v2,其中v≠02.3 复合函数的导数•复合函数的求导公式：如果y=f(u)及u=g(x), 则dy dx =dy dududx三、导数的应用3.1 函数的单调性•若f′(x)>0，则函数f(x)在该区间上单调递增•若f′(x)<0，则函数f(x)在该区间上单调递减3.2 函数的极值与最值•极大值：若f′(x0)=0，且f″(x0)<0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极大值•极小值：若f′(x0)=0，且f″(x0)>0，则f(x0)是函数f(x)在x0处的极小值3.3 函数的拐点•拐点：若f″(x0)=0，则f(x)在x0处的图像有拐点3.4 函数的图像•函数图象的基本性质–若f′(x)>0，则函数的图像上的点随x的增大而上升–若f′(x)<0，则函数的图像上的点随x的增大而下降–若f″(x)>0，则函数的图像在该区间上凹–若f″(x)<0，则函数的图像在该区间上凸四、基础导数题型4.1 求导数•题型1：求函数的导数y=f(x)•题型2：求函数的高阶导数y(n)=f(x)4.2 高阶导数应用•题型1：求函数的极值和拐点•题型2：求函数在某点的切线方程•题型3：求函数的图像4.3 求解极值问题•题型1：求一定范围内函数的极大值和极小值•题型2：求满足一定条件的函数极值4.4 函数的单调性•题型1：判断函数的单调区间•题型2：填空题，填写使函数单调递增或递减的区间五、综合题型5.1 数学建模•题型1：利用导数求解实际生活中的问题5.2 物理应用•题型1：利用导数求解物理问题，如速度、加速度等5.3 函数的变化率•题型1：求函数在某点的变化率•题型2：求函数在某段区间的平均变化率六、总结本篇文章主要介绍了高中阶段导数相关的内容，包括导数的基本定义、几何意义、基本运算法则，以及导数在函数的单调性、极值与最值、图像以及物理应用中的运用。
高考导数题型及解题方法总结
高考压轴题：导数题型及解题方法一．切线问题题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。
注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。
例已知函数f（x）=x 3﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。
将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。
（答案：m 的范围是()2,3--）题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。
（)(,22x f x ）；建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。
解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例求曲线2x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。
（答案02=--e y x e ）二．单调性问题题型1求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。
分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。
高中数学高考导数题型分析及解题方法
生命是永恒不竭的缔造, 因为在它内部蕴含着过剩的精力, 它不竭流溢, 越出时间和空间的界限, 它不竭地追求, 以形形色色的自我暗示的形式暗示出来.之答禄夫天创作－－泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念, 导数的几何意义, 几种罕见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式, 利用导数研究函数的单调性和极值, 函数的最年夜值和最小值. 二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值. 1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最年夜值是 22．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极年夜值, 则常数c ＝6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极年夜值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是2y x =-2．若曲线xxx f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x , 则P 点的坐标为 （1, 0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直, 则l 的方程为430x y --=4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x xy 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x xy P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3, 5）不在曲线上, 所以可设切点为),(00y x A , 则200x y =①又函数的导数为xy2/=,所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===, 又切线过),(00y x A 、P(3,5)点, 所以有352000--=x y x ②, 由①②联立方程组得,⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或, 即切点为（1, 1）时, 切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5, 25）时, 切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性, 极值、最值 1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值, 求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下, 求函数)(x f y =在[－3, 1]上的最年夜值；（Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2, 1]上单调递增, 求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在③由①②③得 a=2, b=－4, c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3, 1]上最年夜值是13.（3）y=f(x)在[－2, 1]上单调递增, 又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0.依题意)(x f '在[－2, 1]上恒有)(x f '≥0, 即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时； ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述, 参数b 的取值范围是),0[+∞ 2．已知三次函数32()f x x ax bx c=+++在1x =和1x =-时取极值, 且(2)4f -=-．(1) 求函数()y f x =的表达式；① ②(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-, 试求m 、n 应满足的条件． 解：(1) 2()32f x x ax b '=++,由题意得, 1,1-是2320x ax b ++=的两个根, 解得, 0,3a b ==-．再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3()32f x x x =--．(2)2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-,那时1x <-, ()0f x '>；那时1x =-, ()0f x '=； 那时11x -<<, ()0f x '<；那时1x =, ()0f x '=；那时1x >, ()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极年夜值是(1)0f -=, 极小值是(1)4f =-．(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单元, 向上平移4m 个单元获得的,所以, 函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-, ∴4420m --=-, 即4m =．于是, 函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知,142n --, 即36n．综上所述, m 、n 应满足的条件是：4m =, 且36n．3．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切, 切点横坐标为２, 且()f x 在1x =处取极值, 求实数,a b 的值；（2）当b=1时, 试证明：不论a 取何实数, 函数()f x 总有两个分歧的极值点． 解：（1）2()32().f x x a b x ab '=-++由题意(2)5,(1)0f f ''==, 代入上式, 解之得：a=1, b=1．（2）当b=1时,()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个分歧实根21,x x ．无妨设21x x <, 由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极年夜值点, 2x 是极小值点．, 当b=1时, 不论a 取何实数, 函数()f x 总有两个分歧的极值点. 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f （x ）的导函数, )(/x f 的图象如右图所示, 则f（x ）的图象只可能是（ D ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313+-=x x y ( A )xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2x yo 4 -4 2 4 -42 -2 -2xyy 4 -4 2 4 -42-2 -266 6 6 yx-4-2 o4 2 243．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x( B )A 、0B 、1C 、2D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况, 求参数取值范围 1．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若那时]2,1[++∈a a x , 恒有a x f ≤'|)(|, 试确定a 的取值范围. 解：（1）22()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---, 令()0f x '=得12,3x a x a ==列表如下：x（-∞, a ） a（a,3a ） 3a（3a, +∞） ()f x ' - 0 + 0 -()f x极小极年夜∴()f x 在（a, 3a ）上单调递增, 在（-∞, a ）和（3a, +∞）上单调递加x a =时,34()3f x b a =-极小, 3x a =时, ()f x b =极小（2）22()43f x x ax a '=-+-∵01a <<, ∴对称轴21x a a =<+,∴()f x '在[a+1, a+2]上单调递加 ∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a '=-+++-=-,22min(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-依题|()|f x a '≤⇔||Max f a '≤, min||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤解得415a ≤≤, 又01a <<∴a的取值范围是4[,1)52．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x 〔－1, 2〕, 不等式f （x ）c2恒成立, 求c 的取值范围.解：（1）f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c, f （x ）＝3x2＋2ax ＋b由f（23－）＝124a b 093－＋＝, f（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－, b ＝－2f （x ）＝3x2－x －2＝（3x ＋2）（x －1）, 函数f （x ）的单调区间如下表：x（－∞, －23） －23（－23, 1） 1 （1, ＋∞） f '（x ） ＋ 0－＋f （x ）↑ 极年夜值 ↓ 极小值 ↑所以函数f （x ）的递增区间是（－, －23）与（1, ＋）, 递加区间是（－23, 1）（2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c, x 〔－1, 2〕, 当x ＝－23时,f （x ）＝2227＋c为极年夜值, 而f （2）＝2＋c, 则f （2）＝2＋c 为最年夜值.要使f （x ）c2（x 〔－1, 2〕）恒成立, 只需c2f （2）＝2＋c, 解得c－1或c2题型六：利用导数研究方程的根 1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21,23).（1）若存在分歧时为零的实数k 和t, 使x =a +(t2－3)b , y =-k a +t b , x ⊥y ,试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论, 讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y , ∴x y ⋅=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2a +[t-k(t2-3)] ab ⋅+ (t2-3)·2b =0 ∵a b ⋅=0, 2a =4, 2b =1, ∴上式化为-4k+t(t2-3)=0, 即k=41t(t2-3)(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况, 可以看作曲线f(t)=41t(t2-3)与直线y=k 的交点个数.于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43(t+1)(t-1).令f ′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t 变动时, f ′(t)、f(t)的变动情况如下表：t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t)↗极年夜值↘极小值↗当t=－1时, f(t)有极年夜值, f(t)极年夜值=21.当t=1时, f(t)有极小值, f(t)极小值=－21函数f(t)=41t(t2-3)的图象如图13－2－1所示,可观察出： (1)当k ＞21或k ＜－21时,方程f(t)－k=0有且只有一解；(2)当k=21或k=－21时,方程f(t)－k=0有两解；(3) 当－21＜k ＜21时,方程f(t)－k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合1．设ax x x f a -=>3)(,0函数在),1[+∞上是单调函数. （1）求实数a 的取值范围；（2）设0x ≥1, )(x f ≥1, 且00))((x x f f =, 求证：00)(x x f =.解：（1）,3)(2a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递加函数, 则须,3,02x a y ><'即这样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不成能是单调递加函数.若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数, 则a ≤23x ,由于[)33,,12≥+∞∈x x 故.从而0<a ≤3. （2）方法1、可知)(x f 在[)+∞,1上只能为单调增函数. 若1≤)(00x f x <, 则,))(()(000矛盾x x f f x f =< 若1≤)(),())((,)(000000x f x x f x f f x x f <<<即则矛盾, 故只有00)(x x f =成立.方法2：设00)(,)(x u f u x f ==则, ,,03030x au u u ax x =-=-∴两式相减得00330)()(x u u x a u x -=---020200,0)1)((x a u u x x u x =-+++-∴≥1,u ≥1, 30,32020≤<≥++∴a u u x x 又, 012020>-+++∴a u u x x2．已知a 为实数, 函数23()()()2f x x x a =++（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线, 求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=, （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）证明对任意的12(1,0)x x ∈-、, 不等式125|()()|16f x f x -<恒成立解：3233()22f x x ax x a =+++, 23'()322f x x ax ∴=++函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线, '()0f x ∴=有实数解2344302a ∴∆=-⨯⨯≥,292a ≥, 所以a 的取值范围是3[22-∞+∞（，）'(1)0f -=,33202a ∴-+=, 94a =, 2931'()33()(1)222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或12x >-；由1'()0,12f x x <-<<-()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)2-∞--+∞；单调减区间为1(1,)2-- 易知()f x 的最年夜值为25(1)8f -=, ()f x 的极小值为149()216f -=, 又27(0)8f =()f x ∴在[10]-，上的最年夜值278M =, 最小值4916m =∴对任意12,(1,0)x x ∈-, 恒有1227495|()()|81616f x f x M m -<-=-= 题型八：导数在实际中的应用1．请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m 的正六棱柱, 上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的极点O 究竟面中心1o 的距离为几多时, 帐篷的体积最年夜？ 解：设OO1为x m , 则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--, （单元：m ）故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅,（单元：2m ） 帐篷的体积为：)(V 228233x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单元：3m ）求导得)312(23V'2x x -=）（.令0V'=）（x , 解得2-=x （分歧题意, 舍去）, 2=x , 那时21<<x , 0V'>）（x , ）（x V 为增函数；那时42<<x , 0V'<）（x , ）（x V 为减函数.∴那时2=x , ）（x V 最年夜.答：当OO1为2m 时, 帐篷的体积最年夜, 最年夜体积为3163m .2．统计标明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以暗示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地要耗油几多升？（II ）当汽车以多年夜的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少？最少为几多升？解：（I ）那时40x =, 汽车从甲地到乙地行驶了100 2.540=小时,要耗没313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）. （II ）当速度为x 千米/小时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时, 设耗油量为()h x 升,依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤令'()0,h x =得80.x =那时(0,80)x ∈, '()0,()h x h x <是减函数； 那时(80,120)x ∈, '()0,()h x h x >是增函数.∴那时80x =, ()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值, 所以它是最小值. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油17.5升.当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少, 最少为11.25升.题型九：导数与向量的结合1．设平面向量3113(),().2222a b =-=，，若存在分歧时为零的两个实数s 、t 及实数k, 使，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2（1）求函数关系式()S f t =；（2）若函数()S f t =在[)∞+，1上是单调函数, 求k 的取值范围. 解：（1）).23,21(),21,23(=-=b a 10a b a b ==•=， （2）[)上是单调函数，，）在（且）（∞+-='132t f k t t f则在[)+∞,1上有00)(≤'≥'）（或t f t f 由3)3(3030)(min 222≤⇒≤⇒≤⇒≥-⇒≥'k t k t k k t t f ； 由223030)(t k k t t f ≥⇒≤-⇒≤'.因为在t ∈[)+∞,1上23t 是增函数, 所以不存在k, 使23t k ≥在[)+∞,1上恒成立.故k 的取值范围是3≤k .。
高中数学高考导数题型分析及解题方法(20200618174545)
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题型三：利用导数研究函数的单调性，
极值、最值
1．已知函数 f (x)
3
x
2
ax
bx
c, 过曲线 y
f (x)上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
（Ⅰ）若函数 f (x)在 x 2 处有极值， 求 f ( x) 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，
求函数 y f ( x) 在 [ － 3， 1] 上的最大值；
x0 3 ②，
由①②联立方程组得，
x0 1或 x0 5
y0 1 y0 25 ， 即切点为（ 1， 1 ）时， 切
线斜率为 k1 2x0 2;；当切点为（ 5， 25 ）时， 切线斜率为 k2 2x0 10 ；所以所求的切线有
两条， 方程分别为 y 1 2( x 1) 或y 25 10( x 5)，即y 2 x 1 或y 10 x 25
12b b2 12
0, 则0 b 6.
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综上所述， 参数 b 的取值范围是 [ 0, )
3
2
2．已知三次函数 f (x) x ax bx c 在 x 1 和 x 1时取极值， 且 f ( 2) 4 ．
(1) 求函数 y f (x) 的表达式；
(2) 求函数 y f (x) 的单调区间和极值；
(3) 若函数 g ( x) f ( x m) 4m ( m 0) 在区间 [ m 3, n] 上的值域为 [ 4,16] ， 试求 m 、 n 应满 足的条件． 解： (1) f ( x) 3x 2 2 ax b ， 由题意得， 1, 1 是 3x 2 2ax b 0 的两个根， 解得， a 0, b 3 ． 再由 f ( 2) 4 可得 c 2 ．∴ f (x) x 3 3x 2 ． (2) f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) ， 当 x 1 时， f ( x) 0 ；当 x 1时， f (x) 0 ；
(完整word版)高中数学高考导数题型分析及解题方法(2)
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和 空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
--- 泰戈尔导数题型分析及解题方法一、 考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值, 二、 热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值f(x) / 3x?2在区间1,1上的最大值是222.已知函数y f(x) x(x c )在x 2处有极大值，则常数33 .函数y 1 3x x 有极小值—1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程A 31 31 .曲线y 4x x在点1 3处的切线方程是4 .求下列直线的方程:所以切线方程为y 1 x 1，即x y 2X 0 1 或 X 0 52 •若曲线f(x)x 4 x 在P 点处的切线平行于直线3x y 0，贝U P 点的坐标为(1, 0)43•若曲线y x的一条切线I 与直线x 4y垂直，则I 的方程为4x函数的最大值和最小值。
c =632(1)曲线y X X 1在p(-1,1)处的切线; (2)曲线yx 2过点P(3,5) 的切线;解:( 1) 点P( 1,1)在曲线 y x 3 x 2 1上, y /3x 2 2x k y /l x(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为 A(Xo ，yo)，则yo 2X 。
①又函数的导数为y / 2x/|x x o所以过A (x0，y0)点的切线的斜率为k y lx x0 2x0,又切线过A(x0，y0)、p(3,5)点，所以有2x 0X 0 y 。
53②，由①②联立方程组得,y0 1 y0 25，即切点为(1, 1)时，切线斜率为k1 2x0 2;;当切点为(5, 25)时，切线斜率为k2 2x0 10；所以所求的切线有两条，方程分别为 y 12(x 1)或y 2510(x 5),即y 2x 1 或y 10x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值3 —1 •已知函数f (x ) x ax bx c,过曲线y f (x)上的点P(1, f(1))的切线方程为y=3x+1x 3 ax 2 bx c,求导数得 f (x) 3x 2 2ax b.过y f(x)上点P (1, f ⑴)的切线方程为:y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2ab)(x 1).而过yf (x)上P ［1, f (1)］的切线方程为y 3x3 2a b 3即 2a b 0 故 a c3a c3若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式;在(I)的条件下，求函数y f(x)在［—3, 1］上的最大值;(出) 若函数y f(x)在区间［—2, 1］上单调递增，求实数 b 的取值范围由 f (X )1....y f (x)在x 2时有极值,故f (2) 0, 4a 12由①②③得a=2 , b=—4, c=5...f (x) x 2x24x 5.2(2) f (x) 3x4x 4 (3x 2)(x 2).3 x 2时，f 当2当—x 1 时,f (x)3 (x) 0;当22x 3 时，f(X)；0. f(x)极大f( 2) 13又f(1) 4, f(x)在［—3, 1］上最大值是13。
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生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。
（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。
依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时；① ②②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时；③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞2．已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-，试求m 、n 应满足的条件．解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意得，1,1-是2320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3()32f x x x =--．(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位，向上平移4m 个单位得到的， 所以，函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---（0m >）． 而(3)20f -=-，∴4420m --=-，即4m =．于是，函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-． 令()0f x =得1x =-或2x =．由()f x 的单调性知，142n --剟，即36n 剟．综上所述，m 、n 应满足的条件是：4m =，且36n 剟．3．设函数()()()f x x x a x b =--．（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．（2）当b=1时，()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当时，2x x >)('x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。
题型四：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313+-=x x y ( A )3．方程内根的个数为在)2,0(076223=+-x x ( B )A 、0B 、1C 、2D 、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1．设函数.10,3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.解：（1）22()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a ==列表如下：x （-∞，a ） a（a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0 +0 -()f x] 极小Z 极大]∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减x a =时，34()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小（2）22()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减∴22(1)4(1)321Maxf a a a a a '=-+++-=-，22min(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-依题|()|f x a '≤⇔||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤xyo 4 -4 2 4 -42 -2 -2x yo 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2xyy 4 -4 2 4 -42-2 -26 6 6 6 yx-4-2 o4 2 24解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)52．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c2恒成立，求c 的取值范围。
解：（1）f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c ，f '（x ）＝3x2＋2ax ＋b由f '（23－）＝124a b 093－＋＝，f '（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－，b ＝－2f '（x x（－∞，－23） －23（－23，1）1（1，＋∞）f '（x ） ＋ 0－0 ＋f （x ） ↑极大值 ↓ 极小值 ↑所以函数f （x ）的递增区间是（－∞，－23）与（1，＋∞），递减区间是（－23，1） （2）f （x ）＝x3－12x2－2x ＋c ，x ∈〔－1，2〕，当x ＝－23时，f （x ）＝2227＋c为极大值，而f （2）＝2＋c ，则f （2）＝2＋c 为最大值。