特殊平行四边形典型例题解析题

一、参考例题

［例1］如下图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .

(1)求证：EO =FO

(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.

分析：(1)要证明OE =OF ，可借助第三条线段OC ，即证：OE =OC ，OF =OC ，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC 、△OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明.

(2)假设四边形AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角. 由已知可得到：∠ECF =90°，由(1)可证得OE =OF ，所以要使四边形AECF 是矩形,只需OA =OC .

证明：(1)∵CE 、CF 分别是∠ACB 、∠ACD 的平分线. ∴∠ACE =∠BCE ，∠ACF =∠DCF ∵MN ∥BC

∴∠OEC =∠ECB ，∠OFC =∠FCD ∴∠ACE =∠OEC ，∠ACF =∠OFC ∴OE =OC ，OF =OC ∴OE =OF

(2)当点O 运动到AC 的中点时，即OA =OC 又由(1)证得OE =OF

∴四边形AECF 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形) 由(1)知：∠ECA +∠ACF =21∠ACB +21∠ACD =2

1 (∠ACB +∠ACD )=90° 即∠ECF =90° ∴四边形AECF 是矩形.

因此：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.

［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3 cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.

分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3 cm，求出BD 的长，即AC的长.

解：∵四边形ABCD是矩形.

∴AC=BD,OB=OD=OA=OC

又∵BE∶ED=1∶3

∴BE∶BO=1∶2

∴BE=EO

又∵AE⊥BO

∴△ABE≌△ADE

∴AB=OA即AB=AO=OB

∴∠BAE=∠EAO=30°，∠F AO=30°

∴△ABE≌△AOF

∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm

∴AC=BD=12 cm

二、参考练习

1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.

解：连结BD、BE、DF

由折叠的意义可知：EF ⊥BD ，EF 平分BD . ∴BE =ED ,BF =FD ∵四边形ABCD 为矩形

∴AB =CD ，AD =BC ，∠C =90°，AD ∥BC ∴∠EDO =∠FBO ∵点B 和D 重合

∴BO =DO ，∠BOF =∠DOE ∴△BOF ≌△DOE

∴ED =BF ，∴ED =BF =FD =BE ∴四边形BFDE 是菱形 S 菱形=2

1×BD ×EF =BF ×CD ∵BF =DF ，∴可设BF =DF =x 则FC =8－x

在Rt △FCD 中，根据勾股定理得： x 2=(8－x )2+62

x =

425 ∴64

25682122⨯=⨯+⨯EF EF =7.5

因此，折痕EF 的长为7.5 cm.

2.当平行四边形ABCD 满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).

答案：∠BAC =90°或AC =BD 或OA =OB 或∠ABC +∠ADC =180°或∠BAD +∠BCD = 180°等条件中的任一个即可.

典型例题

例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：

（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．

分析（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以

求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知

解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴

是AB的中点，且，∴

∴是等边三角形，∴也是等边三角形．

∴

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，

∴

∴，∴

（3）菱形ABCD的面积

说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．

例2 已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．

求证：

分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．

证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且

，∴，∴，

，

∴，

∴

例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，

，，求的度数.

解答：连结AC.

∵四边形ABCD为菱形，

∴，.

∴与为等边三角形.

∴

∵，

∴

∴

∴

∵，

∴为等边三角形.

∴

∵，

∴

∴

说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证

.

例4 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．求证：垂直平分．

分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．

证明：∵四边形、都是矩形

∴，，，

∴四边形是平行四边形

∵，∴

在△和△中