综合实验2 热传导方程的有限差分数值模拟

微分方程数值解实验报告

专业信息与计算科学班级信计101 姓名学号

协作队员实验日期2013 年 4 月18 日星期四成绩评定教师签名批改日期

题目

一、问题提出

二、 模型建立

三、 求解方法

使用古典显格式：)2(111n

m n m n m n m n m U U U U U -+++-+=τ

其中22/h k a =γ

(k 和h 分别为时间与空间方向的步长，取k=0.005，h=0.1使得2/1/2≤h k ) 有12=a L=1，细杆各处的初始温度为)sin(x π，两端截面上的温度为0。

Matlab 程序如下： clc;

k=0.005; h=0.1; r=k/h^2; t=0:k:0.1; n=length(t); x=0:h:1;

Un=sin(pi*x); un=[]; for i=1:n u=[];

for p=1:11

u1=exp(-pi^2*t(i))*sin(pi*x(p)); u=[u u1]; end un1=[]; for j=2:10

Un1=r*Un(j-1)+(1-2*r)*Un(j)+r*Un(j+1); un1=[un1 Un1]; end

e=abs(u-Un); un=[un;u;Un;e]; Un=[0 un1 0]; end un

四、 输出结果

五、结果分析

在同一个时间下，细杆内的温度分布为：细杆内中间的温度最高，往两边逐渐下降到0，并且温度值关于x=0.5这条直线对称。

在不同的时间下，细杆内的温度分布为：随着时间的增加，在同一点的温度逐渐减少。

模拟值与真实值之间的误差不超过1％。