平面直角坐标系找规律解析

平面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？

解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。

第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)

第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)

第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)

第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。

根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：

P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。

2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）

总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。此题是每四个点一循环，起始

点是p 点。

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，

每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．

（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；

（2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；

（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）

（4）指出蚂蚁从点A 2011到点A 2012的移动方向．

（5）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．（6）指出A 106，A 201的的坐标及方向。

解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上，

∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，

∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1）

（2）根据（1）OA4n=4n ÷2=2n ，∴点A4n 的坐标（2n ，0）；

（3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上，

∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1；

（4）∵2011÷4=502…3，

∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．

（5）点A100中的n 正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，

1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)

第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)

第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)

第n 周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)

106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。

201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。

方法2：由图示可知，在x 轴上的点A 的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。106=104+2，

O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10

A 11 A 12 x

y

即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。

同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？

解法1：到达（1，1）点需要2秒

到达（2，2）点需要2+4秒

到达（3，3）点需要2+4+6秒

到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒

当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，

再指向左。

35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒

正好到（5,0）

即第35秒在（5，0）处，方向向右。

42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左

49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）

即第49秒在（0，7）处，方向向右

解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。

35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（）

解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。

观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。

第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)

第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)

第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)

第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)

∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限

解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，

根据题中图形中的规律可得：

3=4×1-1，A3的坐标为（1，1）， 7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），

11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）； 55=4×14-1，A55（14，14）

5、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，