高等数学课件--D37曲率共21页文档
高等数学第三章 第7节 曲率
3 2 2
6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
18
练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
抛物线在顶点处的曲率 最大.
11
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
高数 平面曲线的曲率 知识点与例题精讲课件
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2
6
3
(4 5cos2 t )2
3
要使k 最大， 必有 (4 5cos2 t)2 最小，
t , 3 此时k 最大，
22
练习题
一、 填空题：
1、 曲率处处为零的曲线为________；曲率处处相等的
曲线为__________.
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 , s R
K lim 1 s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
y
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2
sin
2
t
b2
cos 2
t
3
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例3. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x a sin t ;
y b cos t ; 故曲率为
x a cos t y b sin t
x 表示对参 数 t 的导数
K
(
x y xy x 2 y 2 )32
高等数学-第三章 第7节 曲率
一、曲率及其计算公式
二、曲率圆与曲率半径
1
问 题: 如何定量描述曲线的弯 曲程度 ?
2
一、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
（１）当弧长相同时， 转角越大曲线弯曲程 度越大。
5
2、弧微分
y
设函数f ( x )在区间( a , b ) 内具有连续导数 .
A
M
N T R
基点 : A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
x0
x
x x
x
x增大的方向一致 ; 规定：(1) 曲线的正向与
( 2) AM s, 当AM的方向与曲线正向
一致时, s取正号, 相反时, s取负号.
9( x 2 2 xy 8 y 2 2 x 14 y 3) y 0 2 (8 y x 7)
k
y (1 y )
3 2 2
0
所以曲线必为直线 .
14
4
弧段MM 的平均曲率为K . s
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K愈小 , 圆弧弯曲得愈小 ;
有 arctan y,
y d dx, 2 1 y
3-7 曲率(高等数学)
§3.7 曲率教学内容：一．弧微分1.光滑曲线：设函数)(x f y =在区间(,)a b 内具有连续导数，则曲线)(x f y =在(,)a b 内的每点处有能连续转动的切线，称曲线)(x f y =为光滑曲线.2. 弧微分：函数()s x 关于x的微分d s x =，或者d s =.二．曲率1.定义：0lim →∆s s ∆∆α称为曲线在点M 处的曲率，即K =0lim →∆s s ∆∆α=d d sα.2. 计算公式：设曲线的方程为)(x y y =,且()y x 具有二阶导数，322d d (1')y K s y α''===+.三．曲率半径与曲率圆1. 曲率圆与曲率半径的定义：设曲线)(x f y =在点(,)M x y 处的曲率0K ≠（即0y ''≠），在点M 处作曲线的法线，法线指向曲线凹的一侧.在此侧的法线上取一点D ，使1MD Kρ==，以D 为圆心，ρ为半径作圆，称这个圆为曲线在点M 处的曲率圆，它的半径1Kρ=称为曲率半径，圆心D 称为曲率中心.图3.212.曲率圆与曲线在点M 处有相同的切线与曲率，且在点M 的邻近有相同的弯曲方向，从而曲率圆与曲线所对应的函数在点M 有相同的函数值、一阶导数值和二阶导数值.3.在工程设计中，一般可用曲率圆在点M 附近的一段弧来近似代替曲线弧.四．例题讲解例1.求直线b ax y +=的曲率.例2.求半径为R 的圆的曲率.例3.求曲线122--=x x y 在极小值点处的曲率.例4.在车床加工中，用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，其方程为222214050x y +=（单位：mm ）,应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果.。
高等数学 第三章 第6讲曲率
x
kA
y (1 y )
3 x x0 2 2
l 1, R
l2 略去二次项 2 , 4R
1 得 kA . R
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
基本概念:弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述------曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
k | y | [1 ( y ) ] 6
实际要求 l x0 ,
有
y x x0 y x x0
1 2 1 2 l x0 l , 2 Rl 2 Rl 2R 1 1 1 x0 l , Rl R Rl
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 ) ) 2 4R
二、曲率的计算公式
设y f ( x )二阶可导, 有 arctan y,
ds 1 y 2 dx.
tan y,
y d dx, 2 1 y
k
y (1 y )
3 2 2
.
由公式， 直线的曲率处处为零;
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
o
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
曲率
2a 2 又Q − b ,− b − 4ac 为抛物线的顶点, 故抛物线 2a 为抛物线的顶点, 4a
在顶点处的曲率最大. 在顶点处的曲率最大.
π ,1 处的曲率与曲 例3 求曲线 y = tan x 在点 4
率半径. 率半径
′ = sec 2 x , y′′= 2 sec 2 x tan x = 2 sin x , 解 y cos 3 x 由 y′ = 2 及 y′′ x =π / 4 = 4, 得
x = a cos t 点处的曲率及曲 例4 求椭圆 在 (0, b ) 点处的曲率及曲 y = b sin t
率半径. 率半径 解 由曲率公式, 由曲率公式, 有
| ϕ ′( t )ψ ′′( t ) − ϕ ′′( t )ψ ′( t ) | K= [ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )]3 / 2
ds = 1 + y′ 2 dx .
y′′ 又 2 dx , 1 + y′
如果曲线方程由参数方程给定(课本 如果曲线方程由参数方程给定 课本 曲线方程 给定 课本P109)
x = ϕ (t ) , y = ψ (t )
其中 ϕ (t ), ψ (t ) 二阶可导
dy ψ ′( t ) , = dx ϕ ′( t ) (t
x = ϕ (t ) 其中 ϕ (t ), ψ (t ) 二阶可导 , y = ψ (t ) dy ψ ′( t ) d 2 y ϕ ′( t )ψ ′′( t ) − ϕ ′′( t )ψ ′( t ) 则因为 . , = 2 = 3 dx ϕ ′( t ) dx (t ϕ ′ (t ) | ϕ ′( t )ψ ′′( t ) − ϕ ′′( t )ψ ′( t ) | 所以 K = . 2 2 3/ 2 [ϕ ′ ( t ) + ψ ′ ( t )]
高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率
*§3.3 曲线的弯曲程度——曲率一、曲率的概念在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。
本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。
例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。
为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。
直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。
那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？如图3.6所示， 12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α∆比从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α∆要大些。
如图3.7所示， 12M M 和12N N 是两段切线转角同为α∆的曲线弧， 12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比12N N 的弧长大。
这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。
由此，我们引入曲率的概念。
如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时，切线相应的转角为α∆， 曲线弧 MN 的长为s ∆。
我们用s∆∆α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程1M图3.6图3.7图3.81度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即K sα∆=∆。
当0s ∆→（即N M →）时，若极限0lims d s dsαα∆→∆=∆存在，从而极限l i ms d s d s αα∆→∆=∆存在，则称0lim s d s dsαα∆→∆=∆为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即d K dsα=。
（3.1） 注意到，d dsα是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。
二、曲率的计算公式设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式.先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得())(11arctan 2y d y y d d ''+='=αdx y y '''+=211（3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点0M ，并以此为起点度量弧长。
高数：平面曲线的曲率与曲率圆参考课件及内容摘要
高数：平面曲线的曲率与曲率圆参考课件及内容摘要
●平面曲线对应的函数在某点处的一阶导数的正负符号反映了曲线的增减性，一阶导数值的大小反映了增减的快慢程度；
●一元函数在某点处的二阶导数的符号反映了曲线图形的凹凸性，但是二阶导数值的大小不一定能够反映曲线的弯曲程度。
比如，圆在某点处对应的一元函数的导数值的大小能很好的反映圆曲线的弯曲程度，但是，二次函数y=x2则不能很好地反映曲线的弯曲程度，由于它的任何位置的二阶导数都为2。
●曲率则很好地反映了曲线的弯曲程度：
长度相同的曲线，切线转角越大弯曲程度越大；切线转角相同的曲线，弧长越短弯曲程度越大；所以定义曲线的平均曲率为曲线转角与相应曲线弧长的比值，对其绝对值取极限即为曲率.
●当曲线y=f(x)的一阶导数y’(x)<<1时，有曲率K的近似计算公式，即K=f’’(x)。
●设曲线C:y=f(x)在点M(x,y)处的曲率K≠0（即y’’ ≠0），在点M处作曲线C的法线，在法线指向曲线凹的一侧上取一点D，使|MD|=1/K，以D点为圆心，1/K为半径画一圆，称该圆为曲线在点M 处的曲率圆，它的半径R=1/K称为曲率半径，圆心D称为曲率中心。
●曲率圆与曲线在点M处有相同的函数值，相同的切线和曲率，且在该点附近有相同的凹向, 即有相同的一阶、二阶导数值及函数值. 依据这个结论通过设曲率圆的方程为
(x-ξ)2+(x-η)2=R2.
然后两边关于x求导数，可以得到曲率中心和半径，从而得到曲率圆方程.
参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：
小贴士。
高等数学上3.7平面曲线的曲率
解 如图,受力分析 F Q P,
视飞行员在点o作匀速圆周运动, F
mv 2
.
O点处抛物线轨道的曲率半径
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结束
y
x0
x 2000
x0
0,
y
x0
1. 2000
得曲率为
k
x x0
1. 2000
曲率半径为 2000 米.
F 70 4002 5600(牛) 571.4(千克), 2000
y
y 1 y2
y
y
D( , )
C
R
T
M (x, y)
o
x
(注意 y 与 y异号 )
当点 M (x , y) 沿曲
移动时, 相应的曲率中心
的线轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
曲率中心公式可看成渐
屈线的参数方程(参数为x).
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K d
ds
y (1 y2 )32
R
1 K
(1
y2 ) 32 y
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思考题
y
椭圆 x 2cos t, y 3sin t上哪些点处 3
曲率最大？
思考题解答
2
2x
3
k | y | 3
6
3
6
3
[1 ( y)2 ]2 (4sin2 t 9cos2 t )2 (4 5cos2 t )2
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
高等数学 第七节 曲率完美版PPT资料
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2