南京师范大学附属中学2014届高三模拟考试数学试题
2014-2015-高三上月考-南模中学(2014.10)
南模中学2015届高三初态考数学试卷一．填空题1.设11z i i=++，则||z = ；2.已知{|2}A x x =≥，{|}B x x a =≥，若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分条件，则实数a 的取值范围是 ；3.设0,1a a >≠，行列式13201243xa D =-中第3行第2列的代数余子式记作y ，函数()y f x =的反函数图像经过点(2,1)，则a =；4.已知||a = ，||3b = ，(2)3a b b +⋅= ，则向量a 与b的夹角为；5.在二项式7(1)ax +()a ∈R 的展开式中，3x 的系数为21，则363lim()n n a a a →∞+++=… ；6.如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-内有一个内切球O ，则过棱1AA 和BC 的中点P 、Q 的直线与球面交点为M 、N ，则M 、N 两点间的球面距离为；7.将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33，第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是 ；8.右图是计算111112233420142015++++⨯⨯⨯⨯…的程序框图，为了得到正确的结果，在判断框中应该填入的条件是；9.已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设△ABC 、△PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记11S S λ=、22S S λ=、33SSλ=，则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为；10.设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()96a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为；11.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2-=-，[]3π=等，若直线y kx k =+(0)k >与函数()y f x =的图像恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ；12.曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k (0)k >的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C 过点(1,1)-；②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④设0P 为曲线C 上任意一点，点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为123,,P P P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是 ；13.如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，,E F分别为边,AB AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是；14.设数列{}n a *()n ∈N 是首项为0的递增数列，函数1()sin()n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式n a =；二．选择题15.下列函数既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（）A.()sin f x x =；B.()|1|f x x =-+；C.2()lg2xf x x-=+； D.1()(22)2xx f x -=+； 16.从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A. 4284612C C C ； B. 3384612C C C ； C. 612612C P ；D. 4284612P P P ；17.动曲线1C 的初始位置所对应的方程为22221x y a b -=(0)x <，一个焦点为1(,0)F c -，曲线22222:1x y C a b-=(0)x >的一个交点为2(,0)F c ，其中0a >，0b >，c =将1C 沿x 轴向右平行移动，给出以下三个命题：①2C 的两条渐近线与1C 的交点个数可能有3个；②当2C 的两条渐近线与1C 的交点及2C 的顶点在同一直线上时，曲线1C平移了1)a +个单位长度；③当1F 与2F 重合时，若1C 、2C 的公共弦长恰为8a ，则1C 的离心率ca为3；其中正确的是（）A.①②③；B.②③；C.③；D.②；18.在数列{}n a 中，如果对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n F 满足11F =，21F =，12n n n F F F --=+(3)n ≥，则该数列不是比等差数列；②若数列{}n a 满足132n n a -=⋅，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列；其中所有真命题的个数为（）A.1；B.2；C.3；D.4；三．解答题19.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，1A D =；（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD所成角的大小；20.在一个六角形体育馆的一角MAN 内，用长为a 的围栏设置一个运动器材储存区域，如图所示，已知120A ∠=︒，B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点；（1）若20BC a ==，求储存区域面积的最大值；（2）若10AB AC ==，在折线MBCN 内选一点D ，使20BD DC +=，求四边形储存区域DBAC的最大面积；21.已知0a >且1a ≠，函数()log (1)a f x x =+，1()log 1ag x x=-，记()2()()F x f x g x =+；（1）求函数()F x 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内有解，求实数m 的取值范围；22.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>倍，且椭圆过点(1,1)，过原点的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，椭圆上一点M 满足MA MB =； （1）求椭圆C 的方程；（2）求222112OA OB OM++的值；（3）是否存在定圆，使得直线l 绕原点转动时，AM 恒与该定圆相切，若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由；23.定义：对于任意的*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列；（1）若29n a n n =-+*()n ∈N ，判断：数列{}n a 是否为T 数列；（2）设数列{}n b 的通项350()2n n b n =-*()n ∈N ，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1n pc n=-*(,1)n p ∈>N ，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由；。
江苏省南京市2014届高三数学9月学情调研考试试题 理 新人教A版
江苏省南京市2014届高三数学9月学情调研考试试题 理 新人教A 版第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合{}2,A x x x R =<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则AB = .2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3.已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .4.下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163 P==.考点：古典概型6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .7.已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .考点：线性规划8.曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9.在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD x AF y AE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12.已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若 AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .22223110AF AD DF =+=+，由于AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +- 0<，即()()2224610102640x x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<；13.如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .14.已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c ==()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .【答案】()21,24. 【解析】试题分析：如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3sin ,2n A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．分-的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．16.如图，四棱锥P ABCDAP平面MBD；（1）求证：//⊥，求证：BD⊥平面PAD.（2）若AD PB17.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 【解析】18.已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为32x =6()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线310x y -+=截得的线段长.【答案】（1）221124x y +=；（2）22.03311d -⨯+==……………………………………14分故圆M 被直线310x y -+=截得的线段长为()2223122-=…………………………………16分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理19.已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）． （1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.（2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，③当1e a-≥，即10a e-≤<时，因为()1,x e ∈时，()0F x '>， 所以()F x 在()1,e 上单调递增，由于()120F =>，符合题意；………………………………15分 综上所述，实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭…………………………………………………………16分 考点：函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论20.已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈.（1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立．①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.24n a n =-+，………………………………………………2分当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，……………………………………………………4分故3m =时，2m S 取最大，最大值为78， 从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m ……………16分考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性数学附加题【选做题】在A,B,C,D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指容冬琴申作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A 选修4-1：几何证明选讲如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.45OBC ADE OBC ABC ABO ∴∠+∠=∠+∠=∠=. ……………………………………………10分考点：等腰三角形、弦切角定理21.B.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．将上述结果代入直线l 的方程得()2321066x ay bx y ab ab ''-+''+++=++，21.C 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭将直线的极坐标方程cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程为21.D 选修4-5：不等式选讲 解不等式211x x +--≤.综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. …………………………10分 考点：含绝对值不等式的解法、分段函数【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答·解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点． （1）求异面直线1A E 、CF 所成的角；（2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．()0,1,1F ，则()()()11,2,02,0,11,2,1A E =-=--，()()()0,1,10,2,00,1,1CF =-=-，……………1分()n=，……………………7分0,1,023.将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．ξ=时的概率；（1）求2（2）求ξ的概率分布及数学期望．。
江苏省南京师范大学附属中学2024届高三上学期零模模拟数学试卷
江苏省南京师范大学附属中学2024届高三上学期零模模拟数学试卷一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|log 2}B x x =<，则A B =I A ．(1,4)-B ．(1,3)-C ．(0,3)D ．(0,4)2．已知复数z 的共轭复数2i3iz +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()222,0,0x x x f x x a x ⎧-+>=⎨-+≤⎩的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（ ）A ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭C ．5,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=6．如图，已知正四棱锥P ABCD -的底面边长和高的比值为t ，若点E 是棱PD 的中点，则异面直线PB 与CE 所成角的正切值为（ ）AB C D 7．已知函数()()ln e f x x x =+，()(2131a g x x -=--，若直线2y x b =+与曲线()y f x =，()y g x =都相切，则实数a 的值为（ ）A ．54B ．1716C ．178D ．17e88．已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线y kx =与Γ交于A ，B 两点（点A 在第一象限），线段AF 的中点为P ，O 为坐标原点．若OA OF =，2OP OB =，则Γ的两条渐近线的斜率之积为（ ）A ．4--B ．3--C ．3-D ．4-+二、多选题9．教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数()()11,2,,i i z x x i n s=-=L ，其中i x 为原始分数，x 为原始分数的平均数，s 为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩115x =，标准差10.8s =，转化为标准分数后，记平均成绩为m ，标准差为σ，则( ) A ．115m =B ．0m =C ．10.8σ=D ．1σ=10．已知动点M 到点(2,1)N k k -M 的运动轨迹为Γ，则（ ）A ．直线12xy =-把Γ分成面积相等的两部分 B ．直线230x y -+=与Γ没有公共点 C ．对任意的k ∈R ，直线2xy =被Γ截得的弦长都相等 D ．存在k ∈R ，使得Γ与x 轴和y 轴均相切11．已知等比数列{}n a 满足10a >，公比1q >，且1220211aa a ⋅⋅⋅<，1220221a a a ⋅⋅⋅>，则（ ）A ．20221a >B ．当2021n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小C ．当1011n =时，12n a a a ⋅⋅⋅最小D ．存在1011n <，使得12n n n a a a ++=12．已知函数()e xf x x =，则（ ）A ．曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为y x =B ．曲线()y f x =的极小值为e -C ．当2213e 2ea ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解 D ．当223e 2e 2a ≤<时，()()1f x a x <-仅有一个整数解三、填空题13．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1αα-=，则cos2=α．14．某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为．15．若对任意的[]1,4x ∈，都有234x x a x x ->-+，则实数a 的取值范围为.16．有一张面积为ABCD ，其中O 为AB 的中点，1O 为CD 的中点，将矩形ABCD 绕1OO 旋转得到圆柱1OO ，如图所示，若点M 为BC 的中点，直线AM 与底面圆O 所，EF 为圆柱的一条母线（与AD ，BC 不重合），则当三棱锥A EFM -的体积取最大值时，三棱锥A EFM -外接球的表面积为.四、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==． (1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，求BCD △面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，2312123(1)n nb b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥. 19．随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量y （单位：辆）与全国居民人均可支配收入x （单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 参考数据：()510.06 1.34+≈，()610.06 1.42+≈，()710.06 1.50+≈.参考公式：回归方程$$y abx =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑$，a y bx =-$$.20．如图1，在平行四边形ABCD 中，,1,2AB AC AB BC ⊥==，将ACD V 沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面αI 平面为PAC m =，平面αI 平面为ABC n =.(1)证明：//m n ；(2)若PB =A PB C --的正弦值.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且点2P ⎛ ⎝⎭在C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设1F ，2F 为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若1ABF Vl 的方程. 22．已知函数()sin cos f x x x x =-． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数．。
江苏省南京师范大学附属中学2024届高三寒假模拟测试数学含答案
2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数学2024.2本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部2四、解答题:本题共5小题,共15．（13分）已知函数()f x =(1)解关于x 的不等式：()f x <(2)若()()f a f b =（a b ≠），求的整数部分， a b(1)当点N为线段AD的中点时，求证：2023-2024学年南京师大附中高三年级寒假模拟测试数 学 学 科 参 考 答 案第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C D D BB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9 10 11 ACD ACD AD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 56 13. 7 14. 816.（1）由题可知，()821x +展开式中第1k +项为：()888188C 21C 2kk k k k kk T x x −−−+=×=， 则系数最大的项需满足()()818188*818188C 2C 2,C 2C 2k k k k k k k k k −−−−−+−+ ≥ ∈ ≥ N ，解得2k =或3k =， 所以系数最大为第3项或第4项，即3n =或4n =，所以最大项系数为282348C 21792a a -===．（2）因为421135790i i a a a a a a +==++++∑，32224680i i a a a a a +==+++∑，。
2014届高三数学文科高考模拟试卷及答案
2014届高三数学文科高考模拟试卷考生须知：1、全卷分试卷I 、II ，试卷共4页，有三大题，满分150分。
考试时间120分钟。
2、本卷答案必须做在答卷I 、II 的相应位置上，做在试卷上无效。
3、请用蓝、黑墨水笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷I 、II 的相应位置上，用2B 铅笔将答卷I 的准考证号和学科名称所对应的方框内涂黑。
参考公式：如果事件A , B 互斥, 那么 棱柱的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )V =Sh如果事件A , B 相互独立, 那么 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 P (A ·B )=P (A )·P (B )棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n V =31Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k = 0,1,2,…, n ) 球的表面积公式棱台的体积公式S = 4πR 2)2211(31S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1, S 2分别表示棱台的上.下底面积, h 表示棱台 V =34πR 3的高 其中R 表示球的半径选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，全集}9,7,6,4,2,1{=I , 其中}9,7,4,2{=M ，}9,7,4,1{=P ,}7,4,2{=S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合等于 （ ▲ ）（A ）}9,7,4{ （B ）}9,7{ （C ）}9,4{ （D ）}9{2.已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”成立的（ ▲ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.已知βα,是不同的两个平面，n m ,是不同的两条直线，则下列命题中不正确．．．的是（ ▲ ） （A ）若α⊥m n m ,//，则α⊥n （B ）若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥ （C ）若βα⊂⊥m m ,，则αβ⊥ （D ）若,m n ααβ= ∥，则m n ∥4.下列函数中，既是偶函数又在) , 0(∞+上单调递增的是（ ▲ ）（A ）||ln x y = （B ）2x y -= （C ）xe y = （D ）x y cos = 5. 某中学高三理科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为（ ▲ ）（A ）8 （B ）7 （C ）9 （D ）168（第5题）乙甲y x 6119261180567986. 函数)(x f y =的图象向右平移3π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是（ ▲ ） （A ）()f x =)32cos(π-x （B ）()f x =)62cos(π-x （C ）()fx =)62cos(π+x （D ）()f x =)32cos(π+x7.已知函数n mx x x f 231)(23+-=（n m ,为常数），当2=x 时，函数)(x f 有极值，若函数)(x f 只有三个零点，则实数n 的取值范围是（ ▲ ）（A ）]35,0( （B ）)32,0( （C ）)35,1[ （D ）]32,0[ 8.已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB，则△ABC 为 （ ▲ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）等腰直角三角形9.P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作 12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH = （ ▲ ）（A ）645 （B ）85 （C ）325 （D ）16510.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=2,132|,12|)(x x x x f x ，若方程0)(=-a x f 有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 （ ▲ ） （A ）)3,1( （B ）)3,1[（C ）)1,0( （D ）)3,0(非选择题部分(共100分)二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。
名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步测试：数列综合2：数列综合题 含答案
11．数列综合2：数列综合题1、数列{a n }中，已知a 1＝1，依据下列条件，求数列{a n }的通项公式：（1）a n ＝2a n －1＋3，n ≥2且n ∈N*； （2）a n ＝2a n －1＋2n ，n ≥2且n ∈N*； （3）na n ＝(n ＋1)a n －1＋n 2＋n ，n ≥2且n ∈N*．2、已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n ∈N*），且a 2=6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设nn a b n c=+（n ∈N*，c 为非零常数），若数列{b n }是等差数列，记c n ＝b n2n ，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，求S n ．3、数列{}n a 的前n 项和，对任意*N n ∈都有()()p a a b kn S n n +++=12成立， (其中k 、b 、p 是常数) ．（1）当0k =，3b =，4p =-时，求n S ； （2）当1k =，0b =，0p =时，①若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；②设数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“Ω数列”.如果212a a -=，试问：是否存在数列{}n a 为“Ω数列”，使得对任意*N n ∈，都有0n S ≠，且12311111111218n S S S S <++++<．若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由．4、称满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为()2,3,4,n n =阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=；②1231n a a a a ++++=.（1）若等比数列{}n a 为()2*k k N ∈阶“期待数列”，求公比q 及{}n a 的通项公式； （2）若一个等差数列{}n a 既是()2*k k N ∈阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =：（i ）求证：12k S ≤； （ii ）若存在{}1,2,3,,m n ∈使12m S =，试问数列{}k S 能否为n 阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.5、已知非零数列的递推公式为（1）求证：数列是等比数列；（2）若关于n的不等式有解，求整数m的最小值。
2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题16 选修部分
一．基础题组1. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =， 12OP =，求PD 的长.2. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】已知曲线C ：1xy =，若矩阵22M ⎥=⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.3. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.4. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.∴ 2223211231x x x x x x ++≥. …10分 考点：基本不等式应用.5. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 选修24-：矩阵与变换变换1T 是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
（Ⅰ）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标； （Ⅱ）求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程。
所以，所求曲线的方程是2y x y -=．考点：1.矩阵乘法;2.曲线变换6. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】选修44-：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O ：cos sin ρθθ=+和直线:sin()4l πρθ-=， （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．考点：1.极坐标转化为直角坐标;2.曲线交点;3.直角坐标转化为极坐标7. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-, 求矩阵M ．.8. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】在直角坐标系中，参数方程为为参数）t t y t x (21232⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=的直线l ，被以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为θρcos 2=的曲线C 所截，求截得的弦长．试题解析：由题意知，直线l 的倾斜角为30，并过点A （2，0）；曲线C 是以（1，0）为圆心、半径为1的圆，且圆C 也过点A （2，0）；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在OAB Rt ∆中，330cos 2== AB ．…………10′考点：参数方程与极坐标方程．9. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】(选修4—1：几何证明选讲)如图，点D 为锐角ABC ∆的内切圆圆心，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，圆D 与边AC 相切于点E ．若50C ∠= ，求DEF ∠的度数．10.【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 (选修4—2：矩阵与变换)设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．【答案】3． 【解析】FE DCBA(第21(A)图)11. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 (选修4—4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（t 为参数）；以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4ρθπ=+．由直线l 上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．所以直线l 上的点P +⎝向圆C 引切线长是，所以直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62． ……………………………………10分考点：直线的参数方程和圆的极坐标方程，圆的切线长.12. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 (选修4—5：不等式证明选讲)已知,,a b c均为正数,证明：2222111()a b c a b c+++++≥13. 【苏州市2014届高三调研测试】 选修4 - 1：几何证明选讲如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ， 求证：AB ·CD = BC ·DE ．14. 【苏州市2014届高三调研测试】 选修4 - 2：矩阵与变换已知a ，b ∈R ，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x - y = 3变换成自身，试求 实数a ，b ．15.【苏州市2014届高三调研测试】选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求点Mπ(2,)6关于直线π4θ=的对称点N的极坐标，并求MN的长．16.【苏州市2014届高三调研测试】选修4 -5：不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++≥．二．能力题组三．拔高题组11。
2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理
一．基础题组 1.二．能力题组 1. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a ）的个数B .试题解析：（1）因为对任意的1k m ≤≤，都有2121k ka a -=-，则212(,)(2,2)k k a a -=-或212(,)(2,2)k k a a -=-共有2种，所以1232(,,,,)m a a a a ⋅⋅⋅共有2m 种不同的选择，所以2m A =. ……5分 （2）当存在一个k 时，那么这一组有12m c 种，其余的由（1）知有12m -，所有共有1122m m c -；当存在二个k 时，因为条件对任意的1k l m ≤≤≤,都有221||4li i k a =-≤∑成立得这两组共有22m c ，其余的由（1）知有22m -，所有共有2222m m c -；依次类推得：1122222222(32)m m mm m m m m B c c c --=++⋅⋅⋅+=-. ………10分考点：分步（乘法）计数原理，二项式定理应用.2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 已知{}n a 为等差数列，且0≠n a ，公差0d ≠.（1）数列满足结论212111a a da a =-；01222221231232C C C d a a a a a a -+=；试证：012333333123412346C C C C d a a a a a a a a -+-=； （2）根据（1）中的几个等式，试归纳出更一般的结论，并用数学归纳法证明.（7分）k k a a a d k 211)!1(--=k k a a a d k 321)!1(---)()!1(11211a a a a a d k k k k --=+- 121!+=k k k a a a a d k ， 所以，当1+=k n 时，结论也成立．综合①②知，nn n n n n n n n a a a d n a C a C a C a C 211111321211101)!1()1(---+----=-+-+-对2≥n 都成立……10分 考点：1.归纳推理;2.数学归纳法;3．组合数性质3. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设函数()(,n)1n f x x =+,()n N *∈．（1）求(,6)f x 的展开式中系数最大的项；（2）若(,n)32f i i =（i 为虚数单位）,求13579n n n n n C C C C C -+-+．。
江苏省南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学试题(含答案)
南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试数学一、填空题1.已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则A B =I .2.若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .3.现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 .4.根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+ 5.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 6.在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 7.在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 . 9.设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）10.在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .11.在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 . 12.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .13.若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .14.已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 . 二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.16.如图，在正三棱锥111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点. （1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A .17.如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm （x 不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m 的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m ，绕岛行驶的路宽均不小于10m . （1）求x 的取值范围；（运算中2取1.4）（2）若中间草地的造价为a 元2/m ，四个花坛的造价为433ax 元2/m ，其余区域的造价为1211a元2/m ，当x 取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？18.在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833(,)5，试求直线PA 的方程；（3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.19.已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？ （2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.20.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<L L ，*n k N ∈. ①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.数学附加题21.（选做题）（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题）A ．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =，12OP =，求PD 的长.B ．已知曲线C ：1xy =，若矩阵2222M ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎦对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程.C ．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.D ．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥.（必做题）22.已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值.23.设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a L ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数B。
江苏南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试理数学试卷(带解析)
江苏南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试理数学试卷1．已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则______A B =I . 【答案】{1,2}【解析】试题分析：由题意可知集合A 表示四个实数，而集合B 表示非负实数，所以两个集合交集为{1,2}.最后结果需用集合形式，是解答本类题目的注意点.考点：集合的运算.2．若复数(1)(3)z i ai =+-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a = .【答案】3- 【解析】试题分析：先由复数乘法化为(3)(3)a a i ++-，再由纯虚数的概念得30,30a a +=-≠即3.a =-正确解答本题需正确理解纯虚数概念. 考点：复数的运算，纯虚数的概念.3．现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为 . 【答案】23【解析】试题分析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人，共有甲乙、甲丙、乙丙三种选法，其中甲被选中有甲乙、甲丙两种选法，所以甲被选中的概率为23.枚举法是求古典概型概率的一个有效方法.考点：古典概型概率计算方法.4．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 .110Print S For I From To S S I End For S←←+【答案】55. 【解析】 试题分析：由题意得121055S =+++=L .正确解决此类题目，需正确确定起始值和终止值. 考点：伪代码.5．若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s = . 【答案】265【解析】 试题分析：由237855a++++=得 5.a =所以222222126[(25)(35)(75)(85)(55)].55s =-+-+-+-+-=考点：平均数及方差的概念.6．在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为12x =，且它的一个顶点与抛物线24y x =-的焦点重合，则该双曲线的渐进线方程为 . 【答案】3y x =± 【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(1,0),-所以 1.a =又21,2a c =所以2, 3.cb ==而双曲线的渐近线方程为,by x a=±即3y x =±.解答本题需注意双曲线的焦点位置.考点：双曲线的渐近线及准线，抛物线焦点.7．在平面直角坐标系xOy 中，若点(,1)P m 到直线4310x y --=的距离为4，且点P 在不等式23x y +≥表示的平面区域内，则m = .【答案】6. 【解析】试题分析：由题意得|431|45m --=及213m +≥，解得 6.m = 考点：点到直线距离，点在区域内. 8．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=o ，侧棱PA ⊥底面ABCD ，2PA =，E 为AB 的中点，则四面体PBCE 的体积为 .【答案】33【解析】试题分析：显然PA ⊥面BCE ，底面BCE 的面积为1312sin1202⨯⨯⨯=o 所以123P BCE V -=⨯=考点：三棱锥体积.9．设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】试题分析：必要性：当2πϕ=时，()sin 2f x x =-为奇函数；而当22πϕπ=+时，()sin 2f x x=-也为奇函数，所以充分性不成立.解答此类问题，需明确方向.肯定的要会证明，否定的要会举反例.考点：充要关系.10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 . 【答案】30x y +-= 【解析】试题分析：由题意得圆心与P 点连线垂直于AB ，所以211, 1.10AB AB k k -⋅=-=--而直线AB 过P 点，所以直线AB 的方程为2(1),30.y x x y -=--+-=考点：点斜式，圆的几何性质. 11．在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 【答案】23- 【解析】 试题分析：由余弦定理得222242cos23,.33BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π=+-⋅⋅≥⋅+⋅=⋅⋅≤ 所以min 222cos ,().333AB AC AB AC AB AC π⋅=⋅⋅≥-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r 等号当且仅当AB AC =取得.考点：余弦定理,基本不等式，向量数量积. 12．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .【答案】1(,)e e【解析】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以1(ln )(ln )(ln )(|ln |),f f t f t f t t=-==由11(ln )(ln )2(1)2(ln )2(1)(|ln |)(1)|ln |11ln 1.f t f f f t f f t f t t t e t e+<⇒<⇒<⇒<⇒-<<⇒<<考点：奇偶性与单调性的综合应用 13．若关于x 的不等式2(20)lg 0aax x-≤对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：解法一：由20,0a x x >>得0.a >由不等式2(20)lg 0a ax x -≤得202x a x a⎧≥⎪⎨⎪≥⎩或200,02x a x a⎧<≤⎪⎨⎪<≤⎩所以202,a a a ==解法二：图像法.20y ax =-与lg 2x y a =-的图像不能同时在x 轴上方或下方，所以它们与x轴的交点必然重合，所以202,a a a== 本题难点在于将原不等式对正实数x 恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集. 考点：解不等式，不等式恒成立.14．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n n A S B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为【答案】5972【解析】试题分析：易得1241()[,1)(1,],333n n S =--∈U 而1n n y S S =-在84[,]93上单调递增，所以177[,][,],7212y A B ∈-⊆因此B A -的最小值为71759().127272--=本题难点在于将不等式1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立转化为函数1n n y S S =-的值域为[,]A B 的一个子集.考点：函数值域，不等式恒成立，等比数列前n 项和.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）2a =，2b =；（2）3【解析】试题分析：（1）利用余弦定理2222cos a b ab C c +-=及面积公式1sin 2S ab C =，列方程组就可求出a ，b ；（2）要求三角形面积，关键在于求出边长.但已知等式条件不能直接利用正余弦定理将角化为边，所以先根据诱导公式将sin C 化为sin(),A B +再利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，得sin cos 2sin cos B A A A =，此时约分时注意讨论零的情况. 当cos 0A =时，2A π=，6B π=；当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，对这一式子有两个思路，一是用正弦定理化边，二是继续化角，2sin()2sin tan .36A A A A ππ-=⇒=⇒= 试题解析：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 2分 又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =． 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． 7分（2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =， 10分当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b = 13分所以ABC △的面积1sin 2S ab C == 14分 考点：正余弦定理，面积公式.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ； （2）求证：平面1A EC ⊥平面11ACC A . 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）要证线面平行，需有线线平行.由E ，F 分别为1BB ，AC 的中点，想到取1A C 的中点O ；证//BF OE 就成为解题方向，这可利用平行四边形来证明.在由线线平行证线面平行时，需完整表示定理条件，尤其是线在面外这一条件；（2）要证面面垂直，需有线面垂直. 由正三棱柱性质易得底面ABC ⊥侧面11ACC A ，BF AC ⊥，从而BF ⊥侧面11ACC A ,而//BF OE ，因此有线面垂直：OE ⊥面11ACC A .在面面垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用几何体及平面几何中的垂直条件.试题解析：（1）连1AC 交1A C 于点O ，Q F 为AC 中点， ∴111//=2OF CC OF CC 且， Q E 为1BB 中点，∴111//=2BE CC BE CC 且，∴//=BE OF BE OF 且，∴四边形BEOF 是平行四边形， 4分 ∴//BF OE ，又BF ⊄平面1A EC ，OE ⊂平面1A EC ，∴//BF 平面1A EC . 7分 （2）由（1）知//BF OE ，Q AB CB =，F 为AC 中点，所以BF AC ⊥，所以OE AC ⊥，9分又因为1AA ⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ，所以1AA BC ⊥，则由//BF OE ，得1OE AA ⊥，而1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A =I ， 所以OE ⊥面11ACC A ， 12分 又OE ⊂平面1A EC ，所以平面1A EC ⊥平面11ACC A . 14分考点：线面平行及面面垂直的判定定理.17．如图，现要在边长为100m 的正方形ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为215x m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.（1）求x的取值范围；2取1.4）（2）若中间草地的造价为a元2/m，四个花坛的造价为433ax元2/m，其余区域的造价为1211a 元2/m，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？【答案】(1) 915x≤≤ ,(2) 10x m=.【解析】试题分析：（1）解决应用题问题首先要解决阅读问题，具体说就是要会用数学式子正确表示数量关系，本题根据半径、岛口宽、路宽限制条件列方程组，即可得x的取值范围；其难点在路宽最小值的确定，观察图形易知路宽最小值应在正方形对角线连线上取得，（2）本题解题思路清晰，就是根据草地、花坛、其余区域的造价列函数关系式，再由导数求最值.难点在所列函数解析式是四次，其导数为三次，在判定区间导数符号时需细心确定，要解决这一难点，需充分利用因式分解简化式子结构.试题解析：（1）由题意得，29,100260,1100222210,5xxx x≥⎧⎪-≥⎪⎨⎪-⨯≥⨯⎪⎩4分解得9,20,2015,xxx≥⎧⎪≤⎨⎪-≤≤⎩即915x≤≤. 7分（2）记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得222422214121()(10())533115ay a x ax x x xππππ=⨯⨯+⨯+⨯-⨯-432414[(12)1210]11253ax x xπ=-+-+⨯， 10分令43214()12253f x x x x=-+-，则32241()4244(6)2525f x x x x x x x'=-+-=--+，由()0f x '=，解得10x =或15x =， 12分 x9 (9,10) 10 (10,15) 15 ()f x ' － 0 ＋ 0 ()f x↘极小值↗所以当10x =，y 取最小值.答：当10x m =时，可使“环岛”的整体造价最低. 14分 考点：利用导数求最值，解不等式.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点3(1,)2的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 的坐标为833()5，试求直线PA 的方程； （3）记M ，N 两点的纵坐标分别为M y ，N y ，试问M N y y ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=，（23430x y ++=，（3）9-. 【解析】试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中,,a b c 三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆定义：点3(1,)2到两个焦点距离和为2a ，求出a 的值，再由1c =求出b 的值，就可得到椭圆的标准方程（2）由点B 关于坐标原点的对称点为P ，可直接写出点P 坐标；又由点B 833()5及(1,0)F ，可得直线BF 方程，再由BF 方程与椭圆方程解出A 点坐标，根据两点式就可写出直线PA 的方程，（3）直线与椭圆位置关系问题就要从其位置关系出发，先根据直线AB 垂直x 轴的特殊情况下探求M N y y ⋅的值，再利用点共线及点在椭圆上条件，逐步消元，直到定值.本题难点在如何利用条件消去参数. 点共线可得到坐标关系，而利用点差法得到斜率关系是解决本题的关键. 试题解析：（1）由题意，得24a ==，即2a =，2分又1c =，∴23b =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. 5分K] （2）Q 8(5B ，∴8(,5P -，又(1,0)F ，∴AB k =∴直线AB：1)y x =-， 7分联立方程组221431)x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得(0,A ， 9分 ∴直线PA：4y x =--40y ++=. 10分 （3）当AB k 不存在时，易得9m n y y =-,当AB k 存在时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22(,)P x y --，∴2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减， 得21212121()()()()43x x x x y y y y +-+-=-，∴21212121()()3()()4PA AB y y y y k k x x x x +-=-=⋅+-，令221AB y k k x ==-，则34PA k k=-， 12分∴直线PA 方程：223()4y y x x k +=-+，∴223(4)4M y x y k=-+-， ∴22223(4)(1)4M x x y y y +-=--，∴直线PB 方程：22y y x x =⋅，∴224N yy x =， 14分∴222222(4)(1)43M N x x y y y x x +-=-⨯-，又Q 2222143x y +=，∴22224123y x =-， ∴22222(4)(1)4339M N x x x y y x +-+-=-⨯=-，所以M N y y 为定值9-. 16分考点：椭圆定义，消参数，点差法.19．已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈.（1）若0a ≠，则a ，b 满足什么条件时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线？（2）当1a =时，求函数()()()g x h x f x =的单调减区间； （3）当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求b 的取值的集合.【答案】（1）0,a a R ≠∈且1b =，（2）当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞，（3）{}1.【解析】 试题分析：（1）根据导数几何意义分别求出曲线()y f x =与()y g x =在0x =处的切线斜率，再根据两者相等得到a ，b 满足的条件，易错点不要忽视列出题中已知条件0a ≠，（2）求函数的单调减区间，一是求出函数的导数，二是判断对应区间的导数值符号.本题难点在于导数为零时根的大小不确定，需根据根的大小关系分别讨论单调减区间情况，尤其不能忽视两根相等的情况，（3）本题恒成立转化为函数()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--最小值不小于零，难点是求函数()()()1xx f x g x e bx ϕ=-=--的最小值时须分类讨论，且每类否定的方法为举例说明.另外，本题易想到用变量分离法，但会面临10,?x e x x -→→问题，而这需要高等数学知识. 01(1)(0,1)()x x x x x e e x e x x =='--→→=='试题解析：（1）Q ()xf x e '=，∴(0)1f '=，又(0)1f =，∴()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+， 2分又Q ()2g x ax b '=+，∴(0)g b '=，又(0)1g =，∴()y g x =在0x =处的切线方程为1y bx =+，所以当0,a a R ≠∈且1b =时，曲线()y f x =与()y g x =在0x =处总有相同的切线 4分（2）由1a =，21()x x bx h x e ++=，∴2(2)1()xx b x b h x e -+-+-'=，∴2(2)1(1)((1))()x xx b x b x x b h x e e -+-+----'==-， 7分由()0h x '=，得11x =，21x b =-，∴当0b >时，函数()y h x =的减区间为(,1)b -∞-，(1,)+∞；当0b =时，函数()y h x =的减区间为(,)-∞+∞；当0b <时，函数()y h x =的减区间为(,1)-∞，(1,)b -+∞. 10分（3）由1a =，则()()()1x x f x g x e bx ϕ=-=--，∴()xx e b ϕ'=-，①当0b ≤时，()0x ϕ'≥，函数()x ϕ在R 单调递增，又(0)0ϕ=，∴ (,0)x ∈-∞时，()0x ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， 12分 ②当0b >时，∴()0x ϕ'>，ln x b >；∴()0x ϕ'<，ln x b <∴函数()x ϕ在(,ln )b -∞单调递减；(ln ,)b +∞单调递增，（Ⅰ）当01b <<时，∴ln 0b <，又(0)0ϕ=，∴(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾， （Ⅱ）当1b >时，同理(ln )0b ϕ<，与函数()()f x g x ≥矛盾，（Ⅲ）当1b =时，ln 0b =，∴函数()x ϕ在(,0)-∞单调递减；(0,)+∞单调递增，∴()(0)0x ϕϕ≥=，故1b =满足题意.综上所述，b 的取值的集合为{}1. 16分 考点：利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，622S =. （1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}n k a ，其中11k =，且12n k k k <<<L L ，*n k N ∈.①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n n N ∈的不等式16n n S k +>有解，试求q 的值.【答案】（1）(5)3n n n S +=，（2）①1322n n k -=⋅-，②2,3,4. 【解析】 试题分析：（1）解等差数列问题，主要从待定系数对应关系出发.由等差数列前n 项和公式616265222S d =⨯+⨯⨯⨯=求出公差d 即可，（2）①利用等比数列{}nk a 每一项都为等差数列{}n a 中项这一限制条件，对公比q 逐步进行验证、取舍，直到满足.因为研究的是q 取最小值时的通项公式，因此可从第二项开始进行验证，首先满足的就是所求的公比q ，②由①易得n k 与q 的函数关系132n n k q -=-，并由n k 为正整数初步限制q 取值范围，当1q >且q N ∈时适合题意，当2q >且q N ∉时，不合题意.再由不等式16n n S k +>有解，归纳猜想并证明q 取值范围为2,3,4.本题难点是如何说明当5q ≥时不等式16n n S k +>即2(5)213nn n q ++>无解，可借助研究数列单调性的方法进行说明.试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =， 2分 所以(5)3n n n S +=. 4分（2）因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1>q ，若22=k ，则由382=a ，得3412==a a q ，此时932)34(223=⋅=k a ，由)2(32932+=n ，解得*310N n ∉=，所以22>k ，同理32>k ； 6分若42=k ，则由44=a ，得2=q ，此时122-⋅=n kn a ，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23nn k +=，即1322n n k -=⨯-， 8分所以对任何正整数n ，nk a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最小的公比2=q ．所以2231-⋅=-n n k ． 10分（3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >，[来源:] 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意； 当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意.而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q ++>的解，适合题意； 12分下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23n nn n b q++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q+-+-+--=， 因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. 15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. 16分考点：等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n 项和公式，数列单调性. 21．如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若98PC =， 12OP =，求PD 的长.【答案】23PD = 【解析】 试题分析：由相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,得AP PB CP PD⋅=⋅，利用等量代换及勾股定理，得到AP PB====代入等式变形就可得到所要求的23PD=试题解析：解：Q P为AB中点，∴OP AB⊥，∴2PB==， 5分又Q234PC PD PA PB PB⋅=⋅==，由98PC=，得23PD=. 10分考点：相交弦定理，勾股定理.22．已知曲线C：1xy=，若矩阵22M-⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换将曲线C变为曲线C'，求曲线C'的方程.【答案】222y x-=【解析】试题分析：解决本题关键有两点，一是熟练掌握二阶矩阵左乘向量的运算，即a b x ax byc d y cx dy+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，主要注意点是对应；二是利用“相关点法”求轨迹方程.根据原曲线上点与对应点的关系,22.22x x yy x y⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，及1xy=，平方相减得222y x''-=，从而解出所求轨迹方程.试题解析：解：设曲线C一点(,)x y''对应于曲线C'上一点(,)x y，∴2222x xy y'⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴22x y x''-=，22x y y''+=， 5分∴x'=，y'=，∴1x y''==，∴曲线C'的方程为222y x-=. 10分考点：矩阵与向量乘积.23．在极坐标系中，圆C 的方程为2cos a ρθ=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为3242x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值. 【答案】2a =-或29【解析】试题分析：先利用cos ,sin x y ρθρθ==将圆的极坐标方程化为对应的普通方程、再消去参数t 将直线的参数方程化为对应的普通方程，最后根据圆心到直线距离等于半径求出a 的值. 试题解析：解：易求直线l ：4320x y --=，圆C ：222()x a y a -+=，a =，解得2a =-或29. 10分考点：极坐标方程、参数方程化普通方程，直线与圆相切.24．已知1x ，2x ，3x 为正实数，若1231x x x ++=，求证：2223211231x x x x x x ++≥. 【答案】详见解析 【解析】 试题分析：利用基本不等式a b +≥得221212.x x x x +≥同理可得232322,x x x x +≥213132x x x x +≥=,三式相加就可得所求结论.准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用基本不等式进行放缩证明是解决本题的关键. 试题解析：解：Q 2223211231231232()2x x x x x x x x x x x x +++++≥=++=，∴2223211231x x x x x x ++≥. 10分考点：基本不等式应用.25．已知点(1,2)A 在抛物线Γ：22y px =上.（1）若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求123111k k k -+的值； （2）若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求12341111k k k k -+-的值. 【答案】（1）1，（2）0. 【解析】 试题分析：(1)利用抛物线方程将横坐标用纵坐标表示,即2,4y x =结合两点斜率公式121222121112444y y y y k y y x x y y --===-+-进行化简求值，123111k k k -+2 1.4444B C C A A B A y y y y y y y +++=-+== (2)类似（1）的解法,12341111k k k k -+-0.4444B C C D A B D A y y y y y y y y ++++=-+-= 本题实质是抛物线参数方程的应用.求代数的值就是消去所有参数的过程，用尽量少的参数正确表示解析式 试题解析：解：（1）由点(1,2)A 在抛物线F ，得2p =，∴抛物线F ：24y x =， 3分设211(,)4y B y ， 222(,)4y C y ， ∴222212121212123121211221114444122444y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---. 7分 (2)另设233(,)4y D y ，则323121123422111104444y y y y y y k k k k ++++-+-=-+-=. 10分考点：两点斜率公式，抛物线上点的设法.26．设m 是给定的正整数，有序数组（1232,,,m a a a a L ）中2i a =或2-(12)i m ≤≤. （1）求满足“对任意的1k m ≤≤，*k N ∈，都有2121k ka a -=-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数A ；（2）若对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立，求满足“存在1k m ≤≤，使得2121k ka a -≠-”的有序数组（1232,,,m a a a a L ）的个数B . 【答案】（1）2m A =，（2）2(32)m m B =-.【解析】 试题分析：（1）正确理解每一偶数项与前相邻奇数项是相反数，而与后相邻奇数项相等或相反；因此分组按（奇、偶）分为m 组，每组有2种可能，各组可能互不影响，共有2m 种可能， （2）在（1）的基础上，某些组可能为（2,2）或（-2，-2），需讨论这些组个数的情况，最少一个，最多m 个.另外条件“对任意的1k l m ≤≤≤，k ，*l N ∈，都有221||4li i k a =-≤∑成立”控制不能出现各组都为2或-2的情况，而是间隔出现（2,2）、（-2，-2）. 试题解析：解：（1）因为对任意的1k m ≤≤，都有2121k k a a -=-，则212(,)(2,2)k k a a -=-或212(,)(2,2)k k a a -=-共有2种，所以1232(,,,,)m a a a a ⋅⋅⋅共有2m种不同的选择，所以2mA =. 5分 （2）当存在一个k 时，那么这一组有12m c 种，其余的由（1）知有12m -，所有共有1122m m c -；当存在二个k 时，因为条件对任意的1k l m ≤≤≤,都有221||4li i k a =-≤∑成立得这两组共有22m c ，其余的由（1）知有22m -，所有共有2222m m c -；依次类推得：1122222222(32)m m mm m m m m B c c c --=++⋅⋅⋅+=-. 10分考点：分步（乘法）计数原理，二项式定理应用.。