2020年复变函数复习题2008
复变函数_习题集(含答案)
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.
39.证明：取 ,解析且连续到边界.
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
证明区域d上的调和函数我们有ixy上任何点处可微且满足cr条件
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
2008年
2008年复变试题共五页一．选择题（每题3分，共27分）1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ ）（A ）i y xy y x )2(222-+- （B ）i y x 22+（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 322333-+-2４.５.６.７.设0=z 为函数zz e zsin 1--的m 级极点，那么m ＝（ ） （Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰t dt t f L 30])([（ ） （Ａ）)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1s F s９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为（ ） （Ａ）)2()2(4ω--ω-'-F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2()2(2ω--ω-'F F i 二．填空题（每题４分，共４０分）１.已知5)11)(12(i i i i z +-+-=，则=6z ______________________________ ２.复数i i+1的主值为______________________________３则f ４. 20⎰ ５. 'f ６.７. 8.9. 10设1)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________ 三．（10分）将函数2)(1)(zi z z f -=在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。
四．（9分）计算函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分 ⎰+∞ωωωω-0sin )cos 1(2d t 的值。
复变函数 第二章复习题
第二章 复习题一、单项选择题：1．函数()w f z =在点0z 则称()f z 在点0z 解析。
A ）连续B ）可导C ）可微D ）某一邻域内可微2．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在点(,)x y 的C R -条件指：A ）,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ C ）,v u v u x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ D ）,v u v u x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 3．函数3w z =把Z 平面上单位圆在第二象限弧段变成W 平面上单位圆的 象限弧段.A ）第一、二、三B ）第二、三、四C ）第三、四、一D ）第四、一、二4．函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内有定义，则（1）(,)u x y ，(,)v x y 在区域D 满足C R -条件.（2）,,,x y x y u u v v 在D 连续，是()f z 在区域D 可微的 条件A ）必要非充分B ）充分非必要C ）充分必要D ）以上都不对5．指数函数z e ω=的基本周期为A ）2πB ）2i πC ）i πD ）π6．设12,22i z i z ==+，则ln z 2z （ln z 表示主值） A ）〈 B 〉= C ） 〉 D ）无法比较大小7．cos(2i A ）≤1 B ）=2 C ）〈2 D 〉28．设z x iy =+，则2z e = A ）2z e B ）22x y e- C ）22x y e - D 22x y e - 9．2()f z x iy =-,直线1:2L x =-，则()f z 在 A ）Z 平面上解析 B ）L 上可微 C ）L 上可析 D ）Z 平面上可微10．以0，1，∞为支点的函数有A B C D11．设()f z =0C 为单位圆，则0arg ()C f z ∆=A ）πB ）2πC ）43π D ）23π 12．函数z w e =把Z 平面上实轴变换成W 平面上A ）负实轴B ）正实轴C ）实轴D ）单位圆13．一般幂函数iw z =是 函数A ）单值B ）有限的多值C ）无限多值D ）以上都不对14．若()(),,,u x y v x y 在点(),x y 满足C R -条件.则()f z u iv =+在点(),x yA ）可微B ）不可微C ）不一定可微D ）解析15．复数i z i =，其幅角主值arg z = A ）2π- B ）2π C ）π D ）0 二、多项选择题：1． 函数()f z z -=在Z 平面上处处A ）不连续B ）连续C ）不可微D ）可微E ）解析2． 函数()()(),,f z u x y iv x y =+在点z 可微，则()f z '=A ）u v i x x ∂∂+∂∂B ）u u i x y ∂∂-∂∂C ）u v i x y ∂∂+∂∂D ）v v i y x ∂∂+∂∂E ）v u i y y∂∂-∂∂ 3． 在Z 平面上任何一点不解析的函数有A ）2()f z z = B ）()Re f z z = C ）22()f z xy ix y =+ D ）22x iy + E ）3323x iy +4． 方程ln 2iz π=的解为A ）z i =-B ）z i =C ）2iz eπ-=D ）2i z e π=E ）z e π=5． 复数3i z i =的幅角Argz 可以是A ）0B ）2π C ）2π- D ）2π E ）2π- 二、填空题：1若()f z 在点0z 则称0z 为()f z 的奇点。
复变函数复习提纲
复变函数复习题一、填空题 1、设点z i =--1212,则其辐角主值arg z (-π<arg z ≤π)为_______.2、s in z 在z =0的幂级数展式为_______.3、多项式p(z )=z 8-5z 5-2z +1在单位圆内有_______个零点.4、设f(z)是区域D 内的单值函数，如果_______，则称f(z)在D 内是单叶的.5、方程αz +αz =c (α为非零复常数，c 是实常数)所表示的z 的轨迹为_______. 6设w =z 3，(z ∈G :-π<arg z <π)为一单值分支，若w(i)=-i,则w(-i)=_______. 1i 3＝_______.2、0z ＝0是函数51cos )(zz z f -=的3、i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝4、=]0,sin 1[Re zz s .5、函数sin w z =在4z π=处的转动角为____6、幂级数∑∞=0)(cos n n z in 的收敛半径为R =____________1、复数-2是复数________的一个平方根。
2、设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
3、设a>0，则Lna=________。
4、记号R es z =af(z)表示________。
5、设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件6、方程z=t+it (t 是实参数)给出的曲线为________。
二、计算题1、xxx dx 22214()()+++∞⎰2、.设z =132-i ,求｜z ｜及Arg z .3、计算积分||z dz c⎰，其中C 是上半单位圆周，起点为-1，终点为1.4、求函数f (z )=14-e 2zz在z =0，∞的残数. 5、求())2)(1(--=z z zz f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式6、.设⎰-++=C d zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+7、计算积分dx x x x ⎰∞+∞-++54cos 22.8、y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)( 9、求复数z=1-i 1+i的实部、虚部、模和辐角。
复变函数练习题
复变函数练习题一、填空题1. 复变函数的定义域是__________，值域是__________。
2. 若复数z = a + bi（a, b为实数），则z的共轭复数是__________。
3. 设f(z) = z^2 + 3z + 2，则f(1+i) =__________。
4. 复数z = 1 + i的模为__________，辐角为__________。
5. 若f(z) = e^z，则f'(z) =__________。
二、选择题1. 下列哪个函数是整函数？（）A. f(z) = z^2B. f(z) = 1/zC. f(z) = |z|D. f(z) = sin(z)2. 复变函数f(z) = z^3 3z在z = 0处的泰勒展开式为（）A. f(z) = z^3 3z + 3z^2 zB. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^4C. f(z) = z^3 3z + 3z^2 z^3D. f(z) = z^3 3z + 3z^23. 下列哪个复数是解析函数的孤立奇点？（）A. z = 0B. z = ∞C. z = 1+iD. z = 1i4. 复变函数f(z) = e^z在z = 0处的洛伦兹级数为（）A. f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + …B. f(z) = 1 + z + z^2/2 + z^3/3 + …C. f(z) = 1 z + z^2/2! z^3/3! + …D. f(z) = 1 z + z^2/2 z^3/3 + …5. 复变函数f(z) = sin(z)在z = π处的留数为（）A. 1B. 1C. 0D. 无法确定三、计算题1. 设f(z) = (z^2 + 1)/(z i)，求f(z)的洛伦兹级数展开。
2. 求解积分∮(1/(z^2 + 4))dz，其中积分路径为以原点为中心，半径为2的圆。
3. 设f(z) = e^zsin(z)，求f(z)在z = 0处的泰勒展开式。
2008-2009复变复习题
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1．下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ）z =Re(z·z ) z z ) C. z·z =arg(z·z ) D. z·z =|z| 2．设z 为非零复数，a,b 为实数，若ib a z z+=_，则a 2+b 2的值（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．下列函数中，不解析．．．的函数是（ ） A.w=z B.w=z2C.w=e zD.w=z+cosz4．在下列复数中，使得e z=2成立的是（ ）A.z=2B.z=ln2+2i πC.z=2D.z=ln2+i π 5．设C 为正向圆周|z |=1,则dzz C⎰=（ ）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．06．设C 为正向圆周|z|=1,则⎰+-C2dz)i 1z (1等于（ ）A.0B.i 21π C.i 2πD.i π7．对于复数项级数∑∞=+0n nn6)i 43(，以下命题正确的是（ ）A.级数是条件收敛的B.级数是绝对收敛的C.级数的和∞D.级数的和不存在，也不为∞ 8.沿正向圆周的积分dzzz z ⎰=-221sin =（ ）.Ａ.21sin i π Ｂ.0 Ｃ.1sin i π Ｄ.以上都不对. 9. 幂级数∑∞=+0)1(1n nnzi 的收敛半径为（ ）A ．2B ．1C ．21D ．010．函数z z tan 在z =0点的留数为（ ）A ．2B ．iC ．1D ．0二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 方程iz 31ln π+=的解为____________.2.设C 为正向圆周|z-i4π|=1,则积分⎰=C dz z cos 1____________.3.()t et f t6cos 4-=,则 L[()t f ]= . 4. 函数f(t)=t 的傅氏变换为 . 5. 函数f(z)=]1)(z 11z 1[1z15+++++在点z=0处的留数为__________________。
复变函数复习题
山东理工大学成人高等教育复变函数复习题一、选择题1.方程|z+2-3i|=√2所代表的曲线是（）。
A.中心为2-3i，半径为√2的圆周B.中心为-2+3i，半径为2的圆周C.中心为-2+3i，半径为√2的圆周D.中心为2-3i，半径为2的圆周2.设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是( )。
A.若|f(z)|在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数B.若Ref(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数C.若f(z)与f(z)的共轭在D内解析，则f(z)在D内是一常数D.若)(argzf在D内是一常数，则)(zf在D内是一常数3.设f(z)=sinz，则下列命题中，不正确的是( )。
A.f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以2π为周期C.f(z)=（e iz-e-iz）/2D.f(z)是无界的4.Z=0是函数sinz/z3的（）。
A.可去奇点B.三级极点C.二级极点D.本性奇点5.方程|z+3|+|z+1|=4表示的图形是（）。
A.双曲线B.椭圆C.直线D.圆6.设C为椭圆x2+4y2=1，则积分1/zdz=( )。
A.2πiB.πC.0D.-2πi7.z=0是f(z)=sinz2/z的（）。
A.木性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点8.对于幂级数，下列命题中正确的是（）。
A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛D.在收敛圆上，其出处发散9.在复平面内，关于sinz的命题中，错误的是（）。
A.sinz是周期函数B. sinz是解析函数C.| sinz|<=1D. (sinz)’=cosz10.复数z=(1+i)/(2-i)在第( )象限。
A.一B.二C.三D.四11.复数z=i2010+i2011的幅角argz等于( ) 。
A. π/4B.3π/4C.-3π/4 D-π/412.下列函数不是全平面的解析函数的是( ) 。
A.e2z2+1B.cos(3z2+1)C.1/(z2+2)D.sin2(3z+1)13.设c: |z|=1,下列复积分的值不等于零的是( ) 。
复变函数复习资料
复变函数复习资料一、填空题1.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.2.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i)21______________. 3.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数. 4. zz sin 的孤立奇点为________ .5.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z6． i 3＝ 7． 0z ＝0是函数51cos )(z z z f -=的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 8. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 9. =]0,sin 1[Re z z s10. 函数sin w z =在4z π=处的转动角为 11.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数）12.=+z z 22cos sin _________. 13.函数z sin 的周期为___________.14.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 15.幂级数0n n nz∞=∑的收敛半径为__________.16. 幂级数∑∞=0)(cos n n zin 的收敛半径为R =____________17. =⎰dz z z 10sin18．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=⎰dz z e C z21 19．函数()14-=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 20． =++⎰=23||22)4)(1(z z z dz1. 整函数；2. ξ；3.1(1)!n -； 4. 0； 5. ∞. 6.3ln 2i k e+-π ；7. 三级极点 ；8. 23z ； 9. 0 ；10. 011. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 12. 1； 13. 2k π，()k z ∈； 1 4. z i =±； 15. 1 16. e1 ；17. 1cos 1sin - ；18. 0 ；19. 0 ； 20. 0。
复变函数习题总汇与参考答案
复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、假设Z 1=〔a, b 〕,Z 2=(c, d),那么Z 1·Z 2=〔C 〕 A 〔ac+bd, a 〕 B (ac-bd, b) C 〔ac-bd, ac+bd 〕 D (ac+bd, bc-ad)2、假设R>0，那么N 〔∞，R 〕={ z ：〔D 〕} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R3、假设z=x+iy, 那么y=(D)A B C D4、假设A= ，那么|A|=〔C 〕A 3B 0C 1D 2二、填空题1、假设z=x+iy, w=z 2=u+iv, 那么v=〔 2xy 〕2、复平面上满足Rez=4的点集为〔 {z=x+iy|x=4} 〕3、〔 设E 为点集，假设它是开集，且是连通的，那么E 〕称为区域。
2zz +2z z -iz z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--+4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，那么{z n }以z o 为极限的充分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解：3、写出复数 的代数式。
解：4、求根式 的值。
+∞→n lim +∞→n limππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-ii i i -+-11327-解：四、证明题1、证明假设 ，那么a 2+b 2=1。
复变函数练习题
复变函数练习题1. 求下列复变函数的导数：a) $f(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 3$b) $g(z) = e^z \sin(z)$c) $h(z) = \frac{1}{z^2+1}$2. 计算下列复变函数的积分：a) $\int_C (3z^2 - 2\bar{z}) \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \cos(z) \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=1$ 到 $z=i$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{z^2-4} \, dz$，其中 $C$ 是由两个阶梯型路径组成的，从 $z=-2$ 到 $z=-1$，然后从 $z=-1$ 到 $z=2$。
3. 求下列复变函数的奇点，并判断其类型（可去奇点、极点或本性奇点）：a) $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$b) $g(z) = \frac{\sin(z)}{z}$c) $h(z) = \frac{1}{\sqrt{z+2}}$4. 计算下列复变函数的Laurent级数展开：a) $f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$b) $g(z) = \frac{e^z}{z^3}$c) $h(z) = \frac{1}{(z^2-1)^2}$5. 利用残数定理计算下列积分：a) $\int_C \frac{e^z}{z(z-1)^3} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \frac{\ln(z)}{z(z+1)} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z-1|=1$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{e^z-1} \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=-\pi$ 到$z=\pi$ 给出的路径。
以上是关于复变函数练习题的内容，通过解答这些问题，可以加深对复变函数的理解。