线性代数 矩阵
线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵
线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵1. 矩阵乘法如果矩阵 B 的列为 b 1,b 2,b 3，那么 EB 的列就是 Eb 1,Eb 2,Eb 3。
EB =E [b 1b 2b 3]=[Eb 1Eb 2Eb 3]E (B 的第 j 列)=EB 的第 j 列置换矩阵（permutation matrix ）在消元的过程中，如果遇到了某⼀⾏主元的位置为 0，⽽其下⾯⼀⾏对应的位置不为 0，我们就可以通过⾏交换来继续进⾏消元。
如下的矩阵 P 23 可以实现将向量或者矩阵的第 2 、 3 ⾏进⾏交换。
P 23=10000101100001010135=15310000101241003065=24106503置换矩阵 P ij 就是将单位矩阵的第 i ⾏和第 j ⾏进⾏互换，当交换矩阵乘以另⼀个矩阵时，它的作⽤就是交换那个矩阵的第 i ⾏和第 j ⾏。
增⼴矩阵（augmented matrix ）在消元的过程中，⽅程两边的系数 A 和 b 都要进⾏同样的变换，这样，我们可以把 b 作为矩阵 A 的额外的⼀列，然后，就可以⽤消元矩阵E 乘以这个增⼴的矩阵⼀次性完成左右两边的变换。
E [A b ]=[EA E b ]100−2100124−2249−38−2−3710=24−220114−2−3710矩阵乘法的四种理解如果矩阵 A 有 n 列， B 有n ⾏，那么我们可以进⾏矩阵乘法 AB 。
假设矩阵 A 有 m ⾏ n 列，矩阵 B 有 n ⾏ p 列，那么 AB 是 m ⾏ p 列的。
(m ×n )(n ×p )(m ×p )m ⾏n 列n ⾏p 列m ⾏p 列矩阵乘法的第⼀种理解⽅式就是⼀个⼀个求取矩阵 AB 位于 (i ,j ) 处的元素(AB )ij =A 的第 i ⾏与 B 的第 j 列的内积=∑a ik b kj第⼆种理解，矩阵 AB 的列是 A 的列的线性组合AB =A [b 1b 2⋯b p ]=[Ab 1Ab 2⋯Ab p ]第三种理解，矩阵 AB 的⾏是 B 的⾏的线性组合[][][][][][][][][][][][][]AB=a1a2⋮a mB=a1Ba2B⋮a m B第四种理解，矩阵AB是所有A的列与B的⾏的乘积的和AB=[a1a2⋯a n]b1b2⋮b n=n∑i=1a i b i其中，⼀列乘以⼀⾏称为外积（outer product），(n×1)(1×n)=(n, n)，结果为⼀个 n×n 的矩阵。
线性代数 第三章 矩阵 第五节
定义
矩阵A中不等于零的子式的最高阶数
称为矩阵 A 的秩。记为 R（A） 也就是说：
R（A）= r A中存在非零的r 阶子式，且所
有的r+1 阶子式全为零。
3
例如对 A 1
1 3
1 2
A 0, 3 1
1 0 R( A) 2
3
4 2 3
矩阵 的秩与向量 组的秩的关系
若R(A)=r,不妨设Ａ的左上角r阶子式不为０，则它的 r个列向量组线性无关，添加n-r个分量后得到Ａ的
前r个n维列向量也线性无关，可以证明这r个向量是Ａ的 列向量组的最大无关组，因此A的列向量组的秩为r,
与Ａ的秩相等．同理可说明Ａ的行向量组的秩也为r.
注意：
（1）若矩阵 A 中没有不等于零的子式，则 R(A) 0 （2）秩为r 的矩阵可能有等于零的r及r-1 阶子式。
(3) 若A中有一个r阶子式不为0，则R（A） r；
（4）若A中所有r阶子式都为0，则R（A）<r
(5) R( AT ) R( A)由于行列式行列互换后其值不变 Nhomakorabea而矩阵 AT
的每一个子式都是A的某个子式的转置，因此A的
非零子式的最高阶数与 AT 的非零子式的最高阶
数相同，即矩阵的转置不改变矩阵的秩。
C
k n
个。
例如
1 2 3 5
在矩阵 A= 0 4 1 2
1 3 2 1
中可选出C43 4个三阶子式， 1 2 5
选1，2，3行和1，2，4列的子式 0 4 2 131
在A中可选出
C32
C
2 4
18
个二阶子式，
比如1，3行2，4列位于这些行列交叉点上的元素构
25
线性代数：可逆矩阵
则
2a c 2b d 1 0 b 0 1 a
2a c 1, 2b d 0 , a 0, b 1,
又因为
a 0, b 1, c 1, d 2.
n1 n1 n2 n2 nn nn
A
A
O
A
O
AI A
A A AA A A A I A A I , A A
按逆矩阵的定义得
A A . A
1
证毕
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
当 A 0时, A称为奇异矩阵,当 A 0时, A称为 非奇异矩阵.
n1 n1 n2 n2 nn nn
A
A
O
A
O
AI A
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
1 A A, A
1
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A 可逆， 即有A1使AA1 I .
故A A
1
I 1,
A
.
另外, 当 A 0时, 定义 A I,
0
A
k
A
k为正整数
.
1 k
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A
,
1
A
A .
5 若A可逆,则有 A A .
1
证明
AA1 I
A A 1 1
1
AB 1 B 1 A1 .
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
线性代数：矩阵的基本运算及性质
0 0 ......k
数量矩 阵
等……
5
●矩阵的乘法
a11
设
A
i行
am1
c11
则
AB
C
cm1
a1t
b11
amt
B
mt
bt1
b1n j 列
btn tn
c1n
左矩阵
A的列数
右矩阵 B的行数
cmn
mn
其中 cij ai1b1 j ai2b2 j ... aitbtj
D (i k) ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Akn 0 (i k)
a1 j A1s a2 j A2s
anj s)
18
2、设有行列式 2 1 3 2 3322
（5）0A 0, A0 0
或 BA CA BC
7
若 A 是方阵，则乘积 AA......A 有意义，记作 Ak
称为 A 的 k 次幂。
性质 Ak Al Akl
Ak l Akl
●矩阵A的转置
a11
如果
A
am1
AT 或 At , A
a1n
a11
，则
AT
amn
a1n
am1
A为反对称矩阵
aij a ji
10
10 方阵的行列式
定义 n阶方阵A (aij )的行列式A（或det A)是 按如下规则确定的一个数：
当n 1时， A a11 a11;
当n 1时， a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
(1)11 a11M11 (1)12 a12M12 (1)1n a1n M1n
线性代数中的矩阵运算
线性代数中的矩阵运算矩阵运算，在线性代数中是一个十分重要的概念，我们通常用矩阵来表示线性映射，这些矩阵之间的加、减、乘等运算，是我们学习矩阵的基础。
本文将从矩阵的定义、矩阵的加减、矩阵的乘法、矩阵的转置和逆等方面详细介绍矩阵运算。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行、n列元素排列成的矩形表格，其中每个元素都是一个数字(标量)，通常用 A = [aij]表示。
其中，i表示行号，j表示列号， aij表示第i行、第j列的元素，矩阵的大小写成m×n表示，其中m表示行数，n表示列数。
二、矩阵的加减对于两个具有相同大小的矩阵A和B，它们的和C可以通过将每个对应的元素相加得到，即Ci,j = ai,j + bi,j，也可以用向量的形式表示C = A+B。
矩阵的差同理，Ci,j = ai,j - bi,j，用向量的形式表示C = A - B。
加减运算的性质：1.交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A；2.结合律：(A + B) + C = A + (B + C)， (A - B) - C ≠ A - (B - C);3.分配律：a(A + B) = aA + aB，(a + b)A= aA + bA。
三、矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，只有满足A的列数等于B的行数时，A和B才能相乘。
设A为m行n列的矩阵，B是一个n行p列的矩阵，它们相乘得到的结果C是一个m行p列的矩阵。
在矩阵乘法中，相乘的行列数相等的两个矩阵必须一一对应进行相乘，并将所有乘积相加。
矩阵乘法的表达式：Cij = ∑ akj ᠖ bj i，其中k=1,2,,....,nC = AB，A的第i行乘以B的第j列，它们的乘积之和就是C的第i行第j列元素。
用向量的形式表示C = A×B。
在矩阵乘法中，乘法不具备交换律，即AB ≠ BA。
(只有在A、B中至少有一个为单位矩阵时，AB=BA)矩阵乘法的性质：1.结合律：A(BC) = (AB)C；2.分配律：A(B+C) = AB + AC；3.结合律：(aA)B = A(aB) = a(AB)；4.单位矩阵： AI = IA = A；5.逆矩阵：存在矩阵B满足AB=I，则称矩阵A可逆，矩阵B 就是矩阵A的逆矩阵(A的行列式必须不等于零)。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量： 相抵关系下的不变量：矩阵的秩 相似关系下的不变量： 相似关系下的不变量： 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).
线性代数第五讲 矩阵的初等变换及其性质
线性代数第五讲矩阵的初等变换及其性质一、初等矩阵及其性质在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的基本概念，包括矩阵的定义、矩阵的运算、矩阵的秩等基本知识点。
本章我们将学习一些矩阵的“变换”的概念，主要介绍矩阵的初等变换及其性质。
矩阵的初等变换指的是将一个矩阵通过某种方式变化成另外一个矩阵的运算。
初等变换可以分为三种：交换矩阵的某两行或某两列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列；用一个非零数乘以矩阵的某一行或某一列，再加到另一行或另一列上。
这三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
对于任意一个矩阵A，我们可以进行一系列的初等变换，从而将A变换成标准形。
标准形主要有三种：行简化阶梯形矩阵、列简化阶梯形矩阵和对角矩阵。
从定义可以看出，行简化阶梯形矩阵和列简化阶梯形矩阵都是初等矩阵形式，是矩阵的标准形。
初等矩阵的定义：如果矩阵B是A通过一次初等变换得到的，则称矩阵B为矩阵A的初等矩阵。
我们前面已经学习过，矩阵的逆是一个重要的概念。
下面我们就来发现一个有趣的性质：一个矩阵是可逆矩阵，当且仅当它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
定理1：矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一系列初等矩阵的乘积。
以上两个定理的证明可以参考矩阵论相关的课程。
二、矩阵的等价关系在学习矩阵的初等变换时，我们介绍了三类变换，也就是矩阵的第一类、第二类和第三类变换。
我们可以使用这三类变换将一个矩阵变换成另一个矩阵。
如果对于任意的矩阵A、B，B可以通过一系列的初等变换变成A，那么我们就称A和B是等价的。
性质1：等价关系具有反身性、对称性和传递性。
性质2：如果一个矩阵可以通过初等变换化为一个标准形，则标准形是唯一的。
性质3：如果一个矩阵可逆，则它和单位矩阵等价。
性质4：如果A、B等价，则r(A)=r(B)。
三、矩阵的秩和特殊矩阵在前面的讲义中，我们已经学习到了矩阵的秩的定义和性质。
矩阵的秩是矩阵实际所包含的信息量，因此秩是矩阵的一个重要特征。
线性代数-矩阵的概念
的解取决于
系数 aiji, j 1,2,,n,
常数项 bi i 1,2,,n
一、矩阵概念的引入
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
2. 某航空公司在A,B,C,D四
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
是一个 11 矩阵.
三、几类特殊矩阵
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 2
6 2
2i 2
是一个3 阶方阵.
2 2 2
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 ,,an ,
称为行矩阵(或行向量).
三、几类特殊矩阵
只有一列的矩阵
a1
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之 间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性变换. 其中 aij为常数.
例如
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
三、几类特殊矩阵
(5)方阵
1 0 0
E
En
0
1
O
0
O 0 0
1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(6)方阵
a 0
《线性代数》第1章-矩阵(张小向2014黑白打印版)
c 3
同型
20 16
50 20
30 16
与
20 50 30
16 20 16
不同型
5. 两个矩阵相等(equal)
大前提: 同型
A = (aij)m×n与B = (bij)m×n相等:
对∀1≤ i ≤ m, 1≤ j ≤ n, aij = bij都成立 记为A = B.
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
0 0
0 0
2
3
10 1 0
从i市经一次中转到达j市航线的条数=?
bij = ai1a1j + ai2a2j + ai3a3j + ai4a4j .
1
21 1 0
i
2
j
B = (bij) =
01 10
1 0
1 0
3 4
02 1 1
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
2. 定义: A = (aij)m×s与B = (bij)s×n的乘积(product)
a1
列向量(row vector):
a2 …
n–维
(n–dimensional)
an
第i分量 (ith component): ai (i = 1, …, n)
第一章 矩阵
§1.1 矩阵的基本概念
4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等
20 16
50 20
30 16
与
a 1
b 2
注: ① 设矩阵A = (aij)m×n , 记−A = (−aij)m×n , ——A的负矩阵(additive inverse of A).
② 设A, B是同型矩阵, 则它们的差
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线性代数矩阵
矩阵是线性代数中最基础和最重要的概念，它由零个或更多的数（称为元素）组成，这些数组成几行几列的矩形。
矩阵可以用数学符号表示，以方括号中的符号表示，例如：A是1x3的矩阵：A =
[1,2,3]。
矩阵在多种不同的计算中都很有利用价值，其中一些如下：
1. 加法：通过矩阵加法，可以求出两个矩阵之和，例如：A + B = [a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3]，其中a1，a2，a3代表A矩阵的元素，b1，b2，b3代表B矩阵的元素。
2. 乘法：矩阵乘法是一种非常常用的计算，给定A，B两个M×N 矩阵，可以求出两个矩阵的积AB=C，其中C的元素可以通过把A的行元素乘以B的列元素求和得出，例如：A，B是2x2的矩阵，A = [a1, a2, a3, a4]，B = [b1, b2, b3, b4]，那么A×B将得到：[a1×b1 + a2×b2, a1×b3 + a2×b4, a3×b1 + a4×b2, a3×b3 + a4×b4]。
3. 逆矩阵：一个方阵（n×n矩阵）的逆矩阵，被用来代表多个不同的量，将矩阵的每个元素变为它的倒数，并按此方式重新排列就可以得到逆矩阵（若可能），例如：A是2x2的矩阵：A= [a,b,c,d]，那么A的逆矩阵B= [d/ad-bc, -b/ad-bc, -c/ad-bc, a/ad-bc]。
矩阵是线性代数中一个新生的概念，但是它已经在各种领域中被大量使用了，也常常被用作数学模型，为各种问题提供解决方案。