高中数学_复数代数形式的 乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思
最新人教版高中数学选修3.2.2《复数代数形式的乘除运算》教学设计
3. 2. 2 复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标1．理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，理解除法是乘法运算的逆运算.2．理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开，除法运算实质是分母实数化类问题．重点：复数的乘除运算法则及其应用．难点：复数的代数形式的化简．学习过程一．认知预习阅读教材P109-P111页的内容，并解答问题：1、类比两个多项式相乘，()()a b c d ac ad bc bd ++=+++。
你能总结出复数相乘的运算规则吗？设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈是任意两个复数二、探究新知探究一、乘法运算律：①交换律：1221z z z z =，②结合律：()()123123z z z z z z =，③分配律：()1231213z z z z z z z +=+.这些运算律对复数成立吗？你能推导①吗？小试牛刀(1)(2＋i)(2－i) （2）1-2i 3+4i -2+i ⋅⋅（）（）（）（3）3+4i 3-4i （）（） 241+i （）（）思考：观察（1）（3）计算结果，它们的实部与虚部有什么特点？探究二、共轭复数共轭复数有什么特点？1、实部虚部特点：2、模有什么关系：3、乘积有什么特点：总结共轭复数的概念：探究三、复数除法、运算规则类比实数的除法如：（1）34342-3=2-3a a a a ++÷（）（）22÷==(2)（（ 两个实数相除可以写成分数的形式，在进行复数运算的时候我们也将复数相除写成分数的形式如：12(12)(34)34ii i i ++÷-=-接下来我们应该怎样去计算？（实数运算分母为无理数时是怎样处理的——分母有理化）你能总结出复数除法的运算规则吗？三、达标检测1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( )A ．－iB ．iC ．－1D ．12、i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i等于 ( ) A ．1＋i B ．5＋5i C ．－5－5i D ．－1－i3．复数z ＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4、已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .四、归纳与小结（1）掌握复数的乘法运算法则，两个复数的乘法，实质上是按多项式的展开法则进行的，没有必要记住公式；（2）两个复数的除法，将分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母化为实数，分子再按照复数乘法进行运算.。
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数代数形式的乘除运算教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
复数的代数形式的乘除运算教学反思
杨志云通过本节课的学习使学生把学过的实数运算的法则、性质与多项式的运算、性质等各个零散的知识点进行系统梳理，形成知识网络。
通过解决一些实际例题加深对所学知识的理解和运用，还通过一些高考真题练习区别学生容易混淆的知识点。
这样一边整理知识点，一边应用这些知识点解决实际问题，使学生在不知不觉中把复数四则运算的不同知识点有机的联系起来，形成一个完整的知识网络。
通过课后同组老师的指导与点评，我对本节授课有以下认识：
1、没有给予足够重视，准备不够充分。
由于所教班级学生数学基础差，做题训练中计算显得非常困难，而本节所选例题均为高考真题，学生没有练过同类习题，所以课堂中，理解复数的运算法则与性质容易，但计算环节干瞪眼。
2、没有充分发挥小组内兵帮兵的作用。
这节课是上午第一节课，学生早读下课后立即到场，没来得及整理桌椅，因此课堂上遇到问题时，没有及时找到“小老师”，影响组内讨论进度。
3、通过例1和例2的训练，让学生尝试复数乘法运算与实数和多项式运算的雷同与区别，不足之处是没有让学生及时总结下这种体会，而是放在了最后。
4、本节课教学目标明确，重点清晰，所选例题均是高考题，从简到繁，让学生直接体味真题考查方式和出题方问。
5、课堂上我能顾及到绝大部分学生的基础和思维，时刻关注他
们对问题的理解情况，及时走上前指导帮助，使他们扫除眼前障碍，尽可能多地参与课堂。
通过反思我从中发现了自己上课的不足之处，主要备课还不够充分、细致，今后一定更加积极主动向其他老师学习宝贵经验，取长补短，更快地提高自己的专业素养，丰富自己的教学经验。
复数代数形式的乘除运算教案
复数代数形式的乘除运算教案一、教学目标：1.了解复数的定义和性质；2.掌握复数的加减乘除运算；3.能够应用复数进行实际问题求解。
二、教学重点：1.复数的加减乘除运算；2.复数的相关性质。
三、教学难点：1.复数乘除运算的步骤；2.复数运算过程中的常见问题。
四、教学过程：第一步：了解复数的定义和性质（10分钟）1. 复数的定义：复数由实数和虚数相加得到，形式为a + bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
2.复数的性质：复数的加法、减法、乘法、除法满足相应运算规则；- 加法性质：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法性质：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法性质：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法性质：(a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc - ad) / (c^2 + d^2)i第二步：复数的加法和减法运算（15分钟）1.讲解复数的加法和减法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的加法和减法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第三步：复数的乘法运算（25分钟）1.讲解复数的乘法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的乘法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第四步：复数的除法运算（25分钟）1.讲解复数的除法运算规则，并进行示例演练。
2.学生们自己动手进行练习，解决一些简单的除法题目。
3.学生互相检查答案，解析错误的题目。
第五步：实例分析和拓展应用（20分钟）1.提供一些实际问题，要求学生用复数进行求解。
2.学生们自己动手解决实际问题，并展示解题过程和结果。
3.学生之间进行交流和讨论，明确解题思路和答案的合理性。
高中数学 复数代数形式的乘除运算教案 新人教A版选修1 教案
复数代数形式的乘除运算【学习目标】1.知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；3.情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系.【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质. 【知识】1z 与2z 的和的定义：=+21z z ____________________；1z 与2z 的差的定义：=-21z z ____________________；3.复数的加法运算满足交换律:_________________________；4.复数的加法运算满足结合律：________________________；5.复数()R b a bi a z ∈+=,的共轭复数为__________.【课前预习】设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a,b,c,d R ∈),则()di c bi a z z ++=⋅)(21=_________对任意C z z z ∈321,,,有3.设z=a+bi ()R b a ∈,,则_______=-z 叫z 的共轭复数。
若0≠b ,则-z 叫虚数z 的_____虚数，且_________________,=-=+--z z z z ,两共轭复数在复平面内所对应点关于____对称4.=++dic bi a 5.设i 为虚数单位，则____________________,_______,4321====i i i i ，【自我检测】1、复数=-221i___________； 2、已知_______,21=+=+-z i i z 则复数 2、设i 是虚数单位，则=-i i 25_________; 4、复数=⎪⎭⎫ ⎝⎛-31i i __________ 5、若复数z 满足z(1+i)=1-i ，则其共轭复数______=-z【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设bi a z +=1、di c z +=2()R d c b a ∈,,,是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行： =⋅21z z其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）1221z z z z ⋅=⋅（2）()()321321z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅（3）()3121321z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.思考感悟：（1）两个共轭复数--⋅z z z z 的乘积,是个什么样的数？（2）设i 2321+-=ω,那么-⋅ωωωω与，32的值分别是多少？探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足________________的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c +的商，记为：_______ ()0≠+di c . 引导2：除法运算规则：利用()()22d c di c di c +=-+.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-==++- ∴(a +bi )÷(c +di )=______________.点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()=-+di c di c ___________是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法【典例分析】例1计算()()()i i i +-+-24321引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将2i 换成－1.例2计算：（1）()()i i 4343-+；（2）()21i +.引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(12)(34i i +÷-引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4计算ii i i 4342)1)(41(++++- 引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i - z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i + 3*.复数32321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z . 提示：复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.5*.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值.(2)由（1）推测()*N n i n ∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.提示：通过计算，观察计算结果，发现规律.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】知识.重点.能力与思想方法.【自我评价】你完成本学案的情况为( )。
高中数学 3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计 新人教A版选修2-2
培养数学严谨治学的态度和探究精神。
通过合作探究，体验成功的快乐，从而，热爱数学研究。
教法设计
启发式、合作学习式、探索发现式
学法设计
观察法、猜想法、尝试法、归纳法
教学媒体
白板、PPT课件
教学流程设计
具体教学过程：
导语
上节课我们学习了复数代数形式的加减运算，本节课当然就要，继续学习复数代数形式的乘除运算。在学习新课之前，我们先来回顾一下，上节课学习的复数代数形式的加减运算与什么运算相类似？（书写课题）
《复数代数形式的乘除运算》
课题
《复数代数形式的乘除运算》
二年二班
指导思想与理论依据
探究式教学，又称发现法、研究法，是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念。
课堂小结
类比思想：
乘法类比多项式运算
除法类比无理数运算过程Fra bibliotek法：乘法合并“同类式”
除法分母实数化
板书设计
一、乘法法则：
例2：
例1：
重要方法：分母实数化
二、共轭复数：
三、除法法则：
课题：复数代数形式的乘除运算
尝试与探究
1、类比多项式运算，猜想复数代数形式的乘法运算如何进行？并尝试与探究，分四个小组进行探索。
（1） （2）
（3） （4）
由实例1、2归纳结论：
复数乘法运算，类似多项式运算法则：
复数代数形式的乘除运算 说课稿 教案 教学设计
复数代数形式的四则运算一、教学目标：知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解除法是乘法运算的逆运算过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：复数代数形式的乘除法运算法则。
难点：复数代数形式的乘除运算法则的应用。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一、复习准备：1. 复数的加减法的几何意义是什么？2. 计算（1）（2）（3）3. 计算：（1）（2）（类比多项式的乘法引入复数的乘法）二、讲授新课：1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1）（2）（3）（4）探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？例2．1、计算（1）（2）（3）2、已知复数，若，试求的值。
变：若，试求的值。
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：其中叫做实数化因子例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）练习：计算，2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：1．计算（1）（2）（3）2．若，且为纯虚数，求实数的取值。
变：在复平面的下方，求。
五、小结。
高中数学_复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
学情分析在前一节数系的扩充的学习中，学生对已知的数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有了比较清晰认识，学生体会到了数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要，感受到了人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
这个班的同学数学基础较好，对数系的扩充有了很好的了解。
在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，由于前一节课已经讲解过的数集的扩充的历史，学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.所以我在课前让其自己寻找几个著名数学家关于虚数的贡献，教学中通过方程的解在不同数系中的变化，从问题出发通过问题探究教学从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
效果分析现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从方程根的改变有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、发现、归纳，积极地动脑，能够抓住复数的概念进行相关问题的研究，从问题出发，自然发现新知识、巩固新知识又过渡到下一个新知识，以问题串起学习的所有知识，达到了使探讨的问题层层递进深入的目的。
课堂注重学生的参与和互动，使学生的思维得到了发展，激发了学生的学习兴趣，使学生在学知识的同时形成方法。
本节课注重知识的衔接，使学生在不知不觉中学习新知识。
通过学生创造，观察，归纳，反思、潜移默化的培养良好的数学思维品质和学习习惯，同时通过自我评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。
整个教学过程突出了三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验新知识的作用。
2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。
3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。
通过本节课的学习，学生当堂能够掌握复数的概念，能解决复数分类和相等问题。
教材分析《复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第2节的内容，课时安排2课时,本节课是第一课时。
复数的乘除运算(教学设计)
§一、内容和内容解析内容：复数的乘除运算．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第2节第二课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.通过实例，明确复数的乘除运算法则，发展数学运算素养.经历复数四则运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养．（2）理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，会求在复数范围内方程的根，提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）与复数的加法法则类似，教学时要引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则．（2）鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异，将复数看作关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，只要在结果中把2i换成1,并且把实部和虚部分别合并即可.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在本节课的教学中，推导乘法的运算法则是进行数学类比教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握复数的乘法和除法运算．三、教学问题诊断分析教学问题一：学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数a+bi和平面上的点Z(a，b)以及向量OZ一一对应；但独立推导复数乘法法则，从思维角度看学生还缺乏经验．解决方案：在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习共轭复数和分母有理化等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措，这样有助于学生理解复数的乘法法则．教学问题二：复数的除法运算是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过复习共轭复数的性质，22z z a b ⋅=+，类比分母有理化帮助学生理解．教学问题三：如何在复数范围内求二次方程的根？这是学生不好理解的一个地方．解决方案：两种方法解决：一是拓展求根公式，当△<0==，从而求解；二是将方程的根设为a bi +，代入方程．利用复数的相等求解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：求复数范围内的方程根．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的乘、除法法则，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数除法法则的推导理解，让学生体会到类比的基本过程.五、教学过程与设计课堂小结升华认知a是实数，且a1＋i＋1＋i2是实数，则a等于()A.12 B.1 C.322.(1＋i)(2－i)＝()A.－3－iB.－3＋iC.3－iD.3＋iz1＝2－i，z2＝1－3i，则复数iz1＋z－25的虚部等于________.z满足：z·z－＋2z i＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.学生15：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.B 2.D 3.1 4.4课后练习是对运算巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学选修2-2教学设计8：3.2.2 复数代数形式的乘除运算教案
3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．问题导思知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？[答案] 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．梳理 (1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有 交换律z 1z 2＝z 2z 1 结合律(z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3知识点二 共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.知识点三 复数的除法法则思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法则吗？[答案] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 教学案例类型一 复数代数形式的乘除运算例1 计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)；(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i； (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i. 解 (1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i(2－i)5＝15＋25i. (3)(1－4i)(1＋i)＋2＋4i 3＋4i ＝5－3i ＋2＋4i 3＋4i＝7＋i 3＋4i ＝(7＋i)(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝21－28i ＋3i ＋425＝25－25i 25＝1－i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．跟踪训练1 计算：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i； (3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i. 解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i －6i ＋2)－(28＋21i －4i ＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.(2)3＋2i 2－3i ＋3－2i 2＋3i＝i(2－3i)2－3i ＋－i(2＋3i)2＋3i＝i －i ＝0. (3)(i －2)(i －1)(1＋i)(i －1)＋i ＝i 2－i －2i ＋2i －1＋i 2－i ＋i＝1－3i －2＋i ＝(1－3i)(－2－i)(－2＋i)(－2－i)＝－2－i ＋6i ＋3i 25＝－5＋5i 5＝－1＋i. 类型二 i 的运算性质例2 计算：(1)2＋2i (1－i)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016； (2)i ＋i 2＋…＋i 2 017.解 (1)原式＝2(1＋i)－2i＋⎝⎛⎭⎫22i 1 008 ＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i ＋i 2＋(－1)1 008·i 1 008＝i －1＋i 4×252＝i －1＋1＝i. (2)方法一 原式＝i(1－i 2 017)1－i ＝i －i 2 0181－i＝i －(i 4)504·i 21－i ＝i ＋11－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i 2＝i. 方法二 因为i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝i n (1＋i ＋i 2＋i 3)＝0(n ∈N *)，所以原式＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋(i 5＋i 6＋i 7＋i 8)＋…＋(i 2 013＋i 2 014＋i 2 015＋i 2 016)＋i 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)记住以下结果，可提高运算速度①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ； ③1i＝－i.跟踪训练2 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. [答案]i[解析]⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i) 2 017＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2 017 ＝i 2 017＝(i 4)504·i ＝1504·i ＝i.(2)化简i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100.解 设S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100，①所以i S ＝i 2＋2i 3＋…＋99i 100＋100i 101，②①－②得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 100－100i 101＝i(1－i 100)1－i－100i 101＝0－100i ＝－100i. 所以S ＝－100i 1－i ＝－100i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－100(－1＋i)2＝50－50i. 所以i ＋2i 2＋3i 3＋…＋100i 100＝50－50i.类型三 共轭复数及其应用例3 把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．跟踪训练3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.①因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35. 所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋35i. 达标检测1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－iB ．iC ．－1D ．1[答案]A[解析]z ＝1i＝－i. 2．若z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则z |z |等于( ) A ．1B ．－1 C.45＋35i D.45－35i [答案]D[解析]z ＝4＋3i ，|z |＝5，z |z |＝45－35i. 3．已知(1－i)2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案]D[解析]因为(1－i)2z ＝1＋i ，所以z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i＝－2i(1－i)2＝－1－i. 4．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z ＝2i 31＋i，则z ＝________. [答案]－1＋i[解析]z ＝2i 31＋i ＝－2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝－1－i ，所以z ＝－1＋i. 5．已知复数z 满足：z ·z ＋2z i ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2，∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1， ∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.。
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§3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计一．教学目标:1．掌握复数乘法与除法的运算法, 并能熟练地进行乘除运算； 2．理解共轭复数的概念；3．知道复数乘法法则满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律以及正整数幂的运算律．4．通过教师引导学生进行的探究活动和必要讲解，消除知识出现的生硬感，使其出现得合情合理，促使学生对研究方法与过程的关注和理解，避免学生对结论的机械记忆，鼓励学生在学习中敢于质疑，深入思考，积极探索的习惯。
让学生体验数学发现和知识发生发展的过程，在思维的层层推进中享受不断获取新发现的快乐，发展学生的创新意识和能力，树立正确的数学学习观。
教学重点：复数乘法与除法的运算; 教学难点: 复数的除法运算;二．回顾知识：问题（1）：复数的加法，减法法则分别是什么？类比：多项式相乘问题（2）：两个多项式的积怎样运算 ？在这里配一些练习帮助学生回忆,通过解题来感受,达到本节课的导入新课的目的. 练习:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (a+b)(c+d) (1+2x)(2+3x) (a+b)(a-b) 三．教学过程：1. 复数的乘法法则：),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+= 则_________________21=z z两个复数的积依然是一个复数，它的实部是 ，它的虚部是 总结：（1）、其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成－1，并且 把实部与虚部分别合并.（2）、两个复数的积仍然是一个复数例1、计算()()()i i i +-+-24321学生独立解决，在小组探讨，最后给出规范的解答过程，让学生养成规范解答问题的能力。
练习巩固：课堂练习 课本60页2、3题(14)(14)i i +⨯- (14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+2(32)i + (1+2i)3独立完成，在小组内解决，最后学生给出规范解答，采用学生板演的方式。
2.复数的乘法满足交换律、 、 对任何123,,z z z 即有21z z ⋅= 321z z z ⋅⋅= =+)(321z z z实数集R 中的完全平方公式、平方差公式在复数集C 中仍然成立。
例2、计算(1)(3+4i)(3-4i)=(2)(12+5i)(12-5i)=(3)(a+bi)(a-bi)=学生自己做，然后小组合作，相互纠正。
观察上面三个乘积，前后两个复数有什么特点，它们的乘积有什么特点？这时给出共轭复数的概念。
3、共轭复数： 特点：a 、B 、C 、练习1：出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++-- 练习2：(1+i)(2+i)(1-I),i(2-i)(1-2i) 这两个题目主要让学生体会运算律。
练习3；（1+i ）(1+i),(3-4i)(3-4i)这两个题目的设计是让学生体会完全平方和（差）公式。
4.复数的除法：满足()()()bi a yi x di c +=++的复数()R y x yi x ∈+,叫复数bi a +除以复数di c + 的商，记为：()()di c bi a +÷+或者dic bia ++()0≠+di c除法运算规则：)0(,21≠++=+=di c di c z bi a z例3、计算)43()21(i i -÷+点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数di c +与复数di c -，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而()()22d c di c di c +=-+是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法随堂跟踪练习:课本60页3题，学生先独立做，再相互合作，找过程出现的问题，最后给出()()i dc adbc d c bd ac di c bi a di c bi a z z 222221+-+++=-+-+=++=))((di c di c规范解题过程。
点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.四、课下探究：设122ω=-+,求证: (1)2310;(2)1ωωω++==五、作业：课本61页4、5题六、总结提升：复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把2i换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算，实质上复数的除法运算是分母实数化类问题.七、板书设计：学情分析:我校是一所普通高中，授课班级是文科班，因此学生的数学基础较差，思维较慢，自主研究获得知识和解法有较大的困难。
有些学生有较好的数学基础，学习也比较刻苦、认真，但是部分学生在学习中仍过于关注结论，而忽视结论获得的过程，重视吸收教师所讲的知识，发现、提出问题的能力还比较弱，在数学思维的深度和广度方面还有一定欠缺。
效果分析:第一题:即可以先做除法运算,也可以做先做平方运算,有87%的答对率. 第二题:先将题目的z 转化出来,再使用分母实数化.90%的做对.第三题:先将三次方转化成先平方再乘一次就可以,学生的运算能力有点问题,72%的做对.第四题: 复数z 为纯虚数，故可设()0z bi b =≠，再代入求解即可.83%的答对率 第五题:通过计算，观察计算结果，发现规律,属于探索题.95%的答对率.在习题设计上，力求突出本节课的重点：熟练掌握复数的乘除法运算以及数学思维方式与技能形成的培养．选题目的有三：一是巩固所学法则及运算律；二是通过一题多解培养学生的发散思维能力；三是培养计算能力，以形成技能，第1和2题考察学生灵活运用知识、发散思维及逆向思维的能力；培养学生问题理解的深刻性、全面性．进一步巩固所学，为学有余力的同学安排了第五题，增加思维量的同时也开阔了视野．教材分析:本节课是《复数代数形式的四则运算》的第二课时，是四则运算的重点也是本章的重点．教材通过三个类比，使学生对教学内容更易于理解，易于掌握．一是类比多项式的乘法法则及运算律理解复数的乘法法则及运算律；二是类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是复数乘法的逆运算，探求出复数除法的法则；三是类比根式除法的“分母有理化”，复数的除法可以理解为 “分母实数化”． 教材的编排使用问题探究式的方法．引导学生能够自己探究新知，发现新知，理解新知．学生不仅学到了知识，而且培养了学习兴趣，提高了学习积极性复数的代数形式的乘法运算法则也是一种规定，与复数的 加减法一样，可按与多项式相乘类似的办法进行，不必记忆公式。
复数的乘法运算满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律。
要求学生类比实数的除法和分母实数化，联系复数减法法则的引入，探求复数除法的法则。
情感态度与价值观：通过实数的乘、除法运算法则及运算律，推广到复数的乘、除法，使同学们对运算的发展历史和规律，以及连续性有一个比较清晰完整的认识，同时培养学生的科学思维方法． 重点难点 学法指导：复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将2i 换成1-；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.评测练习1.复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2.设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +3*.复数32321⎪⎪⎭⎫⎝⎛+i 的值是（ ）A.i -B.iC.1-D.1 4.已知复数z 与()i z 822-+都是纯虚数，求z .5.(1)试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值. (2)由（1）推测()*N n i n∈的值有什么规律？并把这个规律用式子表示出来.课后反思：通过本节课的教学，可以看出学生的计算能力，是有一定的欠缺，学习的热情很高，但细节处理还略显毛糙。
特别是正负的问题，表现在去括号时不够准确，i的平方等于-1，有时还是处理错，说明学生不够熟练。
在今后的教学中，要训练学生的计算能力，转化的能力，学生学习的专注力，只要投入的学习，就能保证学习效果，并能提高学习效率，提升学生的自信。
学生独立思考、独立解决问题的能力有待提高，同时利用好小组合作学习，让学生互助，提高时间利用率。
课程标准的分析:本节内容是数系扩充的前提下的运算的研究即四则运算---着重研究乘除运算.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充,这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为学生进一步学习数学打下了基础。
通过对复数的学习和运算，使学生在问题情景中了解数系的过程和引入复数的重要性。
复数的运算中加减是基础，乘除是难点，充分的体会实际需求与数学内部的矛盾，数系的扩充的过程中的作用，感受理性思维的作用和数与现实世界的联系。
这一部分内容是复数的重中之重，真实的揭示了数在数学发展中作用。