三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质
教学目标：
1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；
2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；
3、能正确求出正、余弦函数的单调区间
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数的单调性
知识要点：
1、定义域：
函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R
2、值域：
函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-
理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，
cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z π
π=+∈时，y 取最大值1，当22x k π
π=-，
()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性
正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；
（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性
（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2
π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：
①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

（2）由余弦曲线可以知道：
①余弦函数cos y x =在每一个区间()21,2k k ππ-⎡⎤⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数；
②在每一个闭区间()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

练习：不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）0sin 250与0sin 260； （2）15cos
8π与14cos 9
π
例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合：
（1）cos 3
x y =； （2）2sin 2y x =-
例4、求函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调增区间。

练习：
1、（1）求函数y =（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-的值域； 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα k∈z
cos （2kπ+α）=cosα k∈z
tan （2kπ+α）=tanα k∈z
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=—sinα
cos （π+α）=－cosα
tan （π+α）=tanα
公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin （－α）=－sinα
cos （－α）=cosα
tan （－α）=－tanα。