MATLAB在复变函数中的一些应用

毕业论文：matlab在复变函数中的一些应用

摘要

MATLAB是目前应用最广泛的工程计算软件之一.本文利用MATLAB强大的数值计算和绘图功能,将复变函数论中的一些典型实例实现了计算机的数据自动计算和可视化.从而使抽象、繁杂的内容具体化、简单化.

关键词:复变函数；MATLAB；可视化

ABSTRACT

MATLAB is one of the most extensively used engineering calculation software at present.In this paper we using MATLAB’s powerful calculation and drawing funtions,Some typical examples of the theory of complex funtions achieved automatic calculat and visualization.That make abstract and compicated contents specification and simplization.

Keywords:complex function; MATLAB;visualization

目录

第一章引言 (1)

第二章MATLAB在复变函数计算中的应用 (2)

2.1复数的计算 (2)

2.2复变函数的微积分 (4)

2.3复变函数方程求解 (8)

2.4留数的计算 (8)

2.5泰勒级数展开 (10)

第三章复变函数的图形 (11)

3.1三角函数的图像 (11)

3.2其他函数图像 (12)

小结 (15)

参考文献 (16)

致谢 (17)

红河学院本科毕业论文(设计)

第一章引言

复变函数[1]理论诞生于18世纪,欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都是这门学科的创建者.19世纪，通过柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等一些著名学者的大量奠基性工作,这门学科得到了全面发展.复变函数理论这个新的数学分支被公认是19世纪最丰饶的数学分支和抽象科学中最和谐的理论之一.20世纪初，复变函数理论又有了进一步的进展,开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛应用.

MATLAB[2]语言是当今国际上科学界(尤其是自动控制领域)最具影响力,也是最有活力的软件之一.它起源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言.它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能. MATLAB是一种具有强大数值计算、分析和图形处理功能的科学计算语言,其应用领域极为广泛,而且操作简单、代码少、效率高,有人称为第四代程序设计语言.

MATLAB越来越多的应用在复变函数领域中.利用MATLAB求解可以简化对求复数的导数、极限、积分、n次方根、留数和级数展开等的一些基本计算详见文献[3-11].但是,在分析一些复变函数性质的时候,利用MA TLAB的计算功能不一定直观、明了.因此,可以利用MATLAB作图来分析这些复变函数的性质,在文献[12]中也有所涉及.

本文主要分为两个部分,第一部分主要论述MATLAB在复变函数中的计算,主要包括：复数的计算、复数的微积分、求解复数方程、留数的计算以及Taylor 级数的展开.这部分主要说明：在复变函数中很多问题都可以利用MATLAB强大的数值计算和符号运算功能来解决.第二部分中,进一步研究关于利用MATLAB 高质量的图形可视化处理功能作图分析一些复变函数性质.这部分主要说明：利用MATLAB高质量的图形可视化这一优点,使一些抽象的、复杂的复变函数问题变得具体化、简单化.

第二章 MATLAB在复变函数中的计算

分析：我们知道上面这几个复数的计算都比较简单.但是,我们在处理许多这样的问题的时候,工作量随之增加.利用MATLAB强大的矩阵运算功能可以把这些问题得到很好的解决.利用简单的MATLAB语句：real()、imag()、angle()、abs()、conj()可直接求出该复数的实部、虚部、辐角、模与共轭复数.

解：在MATLAB命令窗口输入如下复数矩阵：

>> A=[i^10+i^3+i+12 ((3+i)^2*(1+i)^2)/((5+i)^3*(2+i)^4) 3-2*i i^2012

log((5+i)^(1/2)+i)]

A =11.0000 0.0059 - 0.0014i 3.0000 - 2.0000i 1.0000 0.9393 +

0.4983i

>> real(A) %复数矩阵A的实部

ans = 11.0000 0.0059 3.0000 1.0000 0.9393

>> imag(A) %复数矩阵A的虚部

ans = 0 -0.0014 -2.0000 0 0.4983

>> angle(A) %复数矩阵A的辐角

ans = 0 -0.2325 -0.5880 0 0.4877

>> abs(A) %复数矩阵A的模

ans = 11.0000 0.0060 3.6056 1.0000 1.0632

>> conj(A) %复数矩阵A的共轭复数

红河学院本科毕业论文(设计)

222sin

)

3

3

k k i +++ 1=-

第二章 MATLAB在复变函数中的计算

利用MATLAB来计算：

>> (-8)^(1/3)

ans = %默认的结果变量

1.0000 + 1.7321i

可见,对于多值函数,MATLAB仅仅对其主值(k=0时)进行计算.

2.2 复变函数的微积分

分析：一般求复变函数极限的时候,主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部的极限问题,再讨论这两个二元实变函数的极限问题.但对于多数复变函数而言,写出它的实部和虚部比较复杂,比如：例(a)中用泰勒展开式证明的时候就比较复杂.下面我们利用MATLAB求极限.

解：(a)MATLAB程序如下：

>> syms z %定义符号变量

>> f=limit((sin(z))/z,z,0) %f表示sin(z)/z以z为变量在0处的极限

f = 1

(b)MA TLAB程序如下：

>> syms z t

>> f=limit((1+z/t)^t,t,inf) %limit对函数求极限符号，inf表示无穷大

f = %对f求极限

exp(z)

从上例可以看出,当利用MATLAB求极限时我们只需要掌握几个常见的步骤：(1).定义变量；(2).列出f；(3).对f求极限.