实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制
函数图像绘制技巧与分析
函数图像绘制技巧与分析函数图像是数学中常见的一种形式，它能够直观地展现函数的性质和特点。
在学习和研究函数时，绘制函数图像是一种非常重要的方法。
本文将介绍一些函数图像绘制的技巧，并对函数图像进行一些分析。
一、函数图像绘制的基本步骤绘制函数图像的基本步骤包括确定函数的定义域、确定坐标轴范围、选择合适的点进行绘制、绘制曲线、标注关键点和分析曲线的性质。
首先，确定函数的定义域是绘制函数图像的基础。
函数的定义域是指函数能够取值的范围。
例如，对于函数y = 1/x，其定义域为x ≠ 0。
在确定定义域后，我们可以确定坐标轴的范围，使得函数图像能够在坐标系中完整地展示。
其次，选择合适的点进行绘制。
为了准确地绘制函数图像，我们需要选择一些关键的点来代表函数的特点。
一般来说，选择函数的零点、极值点、拐点等作为绘制的点是比较常见的方法。
通过计算函数在这些点的取值，我们可以得到这些点的坐标，从而绘制出函数图像。
然后，绘制曲线。
通过连接选择的点，我们可以绘制出函数的曲线。
在绘制曲线时，可以使用直线段和曲线段相结合的方式，使得曲线更加平滑和自然。
接下来，标注关键点。
在绘制完曲线后，我们可以通过标注关键点的方式来更好地展示函数的性质。
例如，在函数图像上标注函数的零点、极值点等，有助于读者更加直观地理解函数的特点。
最后，分析曲线的性质。
通过观察函数图像，我们可以分析函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。
例如，如果函数图像在某个区间上是递增的，那么我们可以得出函数在该区间上是增函数的结论。
通过对函数图像的分析，我们可以更深入地理解函数的性质。
二、函数图像绘制的技巧在绘制函数图像时，有一些技巧可以帮助我们更加准确和高效地完成任务。
首先，利用对称性。
许多函数具有对称性，例如偶函数和奇函数。
对于偶函数，其函数图像关于y轴对称；对于奇函数，其函数图像关于原点对称。
通过利用对称性，我们可以只绘制函数图像的一部分，然后通过对称性得到整个函数图像。
画函数图像的方法
画函数图像的方法函数图像是用于表达函数关系的一种图表。
它是把函数算式中的变量转换为横纵坐标的点，再把所有点连接起来形成的曲线。
函数图像的特点是把函数关系清晰地表达出来，可作为函数研究的重要参考材料。
二、如何画函数图像1、定画布：在坐标系中设定画布，一般用网格纸或绘图软件。
2、定函数：将函数表达式写入画布，如y=3x+2，x为横纵坐标，y为函数值。
3、出函数的根：函数的根为函数图像的拐点，可以使用试值代入法求出。
4、出函数图像：根据函数表达式可以求出横纵坐标的配对，在坐标系中一点一点的将它们连接起来，画出函数图像。
三、函数图像的类型1、稳函数：函数图像不发生变化，伴随变量x变化而变化，只有一条线。
例如y=2x。
2、函数：函数图像向下弯曲，伴随变量x变化而变化，只有一条线。
例如y=3x的平方。
3、函数：函数图像向上弯曲，伴随变量x变化而变化，只有一条线。
例如y=logx。
4、大值函数：函数图像最高点降低，伴随变量x变化而变化，只有一条线。
例如y=sinx。
5、物线：函数图像存在上拐点或下拐点，两端弯曲向上或向下，只有一条线。
例如y=4x的平方-2x。
四、画函数图像的应用（1）函数图像可以帮助研究函数的性质，从而解决函数的极值问题、求解函数的最大值和最小值的问题；（2）函数图像可以帮助更加直观地理解函数的定义域和值域；（3）函数图像可以帮助求解函数的极限值，以及估算函数斜率。
五、总结画函数图像是数学中常见的一种任务，它可以帮助我们理解函数的定义域和值域，求解函数的极值问题、求解函数的最大值和最小值的问题，以及估算函数斜率。
画函数图像的方法主要分为：确定画布，确定函数，画出函数的根以及画出函数图像，其中画出函数的根需要使用试值代入法求出。
在画函数图像时，应根据函数的特点区分函数的类型，如平稳函数、凹函数、凸函数、最大值函数以及抛物线，以便更加清晰准确地表达函数的关系，发挥画函数图像的最大价值。
数学中的函数变换与图像绘制
数学中的函数变换与图像绘制在数学中，函数变换是指通过对原始函数应用特定的转换规则，得到新的函数。
函数变换在图像的绘制和分析中起着重要的作用。
本文将介绍常见的函数变换和图像绘制方法，并探讨它们在数学中的应用。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行水平或垂直方向上的移动。
平移变换通常使用函数的公式进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于水平平移变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x-h)，其中h为平移的水平距离。
对于垂直平移变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x)+k，其中k为平移的垂直距离。
二、缩放变换缩放变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行水平或垂直方向上的拉伸或压缩。
缩放变换也通常使用函数的公式进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于水平缩放变换，我们可以将函数的公式改为y=f(kx)，其中k为水平缩放的比例因子。
对于垂直缩放变换，我们可以将函数的公式改为y=k*f(x)，其中k为垂直缩放的比例因子。
三、翻折变换翻折变换是指将函数图像沿着x轴或y轴进行翻折。
以一元函数y=f(x)为例，对于沿x轴翻折变换，我们可以将函数的公式改为y=-f(x)；对于沿y轴翻折变换，我们可以将函数的公式改为y=f(-x)。
四、旋转变换旋转变换是指将函数图像按照某一角度进行旋转。
旋转变换通常使用函数的公式或参数方程进行描述。
以一元函数y=f(x)为例，对于顺时针旋转角度θ的变换，我们可以将函数的公式改为y=f(x*cosθ-x*sinθ)。
通过这些函数变换，我们可以对函数图像进行各种不同的变换，从而得到新的图像。
在图像的绘制中，我们可以通过手绘或使用计算机软件来实现。
对于手绘图像，可以使用纸笔或绘图工具，根据变换规则和函数公式来绘制图像。
对于使用计算机软件绘制图像，可以利用数学软件或绘图软件，通过输入函数公式和变换规则来生成图像。
总结起来，数学中的函数变换与图像绘制密不可分。
通过函数变换，我们可以对函数图像进行平移、缩放、翻折和旋转等操作，从而得到新的函数图像。
分析初中数学中的函数像绘制与性质研究
分析初中数学中的函数像绘制与性质研究函数是初中数学中的重要内容之一，它是数学的基础概念之一，也是高中数学的重点内容。
函数的研究涉及到函数的绘制与性质研究两个方面。
本文将就这两个方面进行分析与探讨。
一、函数的绘制函数的绘制是指根据函数的定义和性质，用图形的形式来表示函数的变化规律。
函数的绘制通常需要利用坐标系和点的连结来完成。
具体步骤如下：1. 确定坐标系：首先确定坐标系的原点、横轴和纵轴的正向，并将坐标轴上的刻度标明。
2. 确定函数的定义域和值域：根据函数的定义确定函数的定义域和值域，并在坐标系上标出。
3. 选择若干个自变量的值：根据函数的定义域，选择一些合适的自变量的值，作为函数的输入。
4. 计算相应的函数值：根据函数的定义，计算出选择的自变量对应的函数值。
5. 在坐标系上标出所选择的点：将选择的自变量和相应的函数值对应起来，用点的形式在坐标系上标出。
6. 用线段将所选择的点连结起来：将相邻的点用线段连结起来，可以得到函数的图形。
二、函数性质的研究函数的性质研究主要包括函数的增减性、奇偶性、周期性、有界性等方面。
1. 函数的增减性：对于给定函数上的两个点，如果自变量增加时，函数值也增加，则称该函数在这两个点之间是增函数；如果自变量增加时，函数值减少，则称该函数在这两个点之间是减函数。
2. 函数的奇偶性：若对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
3. 函数的周期性：若存在一个常数T，使得对于函数上的任意一点(x, y)，函数满足关系f(x+T) = f(x)，则称该函数具有周期T。
4. 函数的有界性：对于定义在区间[a, b]上的函数，如果存在常数M，对于区间上的任意一点x，恒有|f(x)| ≤ M 成立，则称该函数在区间上有界。
函数的性质研究对于理解函数的变化规律、解决数学问题具有重要意义。
特殊函数与图像实验报告
hold on
subplot(2,2,2)
[a,b]=meshgrid(-8:.3:8);%先生成一个网格
c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;
z=sin(c)./c;
mesh(a,b,z)
i=find(a.^2+b.^2>=64);
z1=z;z1(i)=NaN;
mesh(a,b,z1);
7、子图的绘制：subplot（m，n，p）
8、图像的修饰与其它函数：grid on 添加网格grid off 取消网格
holdon 保持图像窗口的图形
实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
基本步骤：
第一步：在E盘上或其他盘上建立存储M文件的文件夹，命名为matlab
第二步：重设搜索路径，使其路径为第一步所建的文件夹
c=sqrt(a.^2+b.^2)+eps;
z=(sin(c)-c)./c;
mesh(a,b,z)
i=find(a.^2+b.^2>=121);
z1=z;z1(i)=NaN;
mesh(a,b,z1);
axis square
hold on
3、图三的球面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面的的图像程序是：
subplot(2,2,1)
axis auto
4、图四的田螺线的图像程序是：
t=0:.1:30;
x=5*t.*cos(t);
y=5*t.*sin(t);
z=t.^2;
plot3(x,y,-z)
axis equal
5、图五马鞍面（颜色为灰色，有一个标题“马鞍面”）的图像程序是：
用几何画板制作函数图象
用几何画板制作函数图象
几何画板应该是每个数学教师必备的工具之一，有很多老师问我如何用几何画板制作函数图象，只需要最简单的方法，不需要那些套套。
对于老师来说，假如我们构造函数f(x)=2^x+3x-6的图象，可以使用下面的方法（我用的是4.07中文版）：
一、单击“图表”菜单，选择第一个命令“定义坐标系”；
二、选定横坐标系，单击“构造”菜单，选择第一个命令“轴上的点”，这时在横坐标上构造了一个点A；
三、单击“度量”菜单，选择“横坐标”，这时在画板上出现了刚才我们在轴上生成的点的横坐标xA的值；
四、在”度量“菜单中继续选择“计算”，在输入框中输入“2^xA+3*xA-6”（注意xA是单击“数值(V)”选择的），输入完成以后，单击“确定”按钮，这时在画板上生成另一个文本。
五、依次选定这两个文本（刚才的横坐标和现在生成的文本），单击“图表”菜单，选择“绘制(x,y)”命令，这时绘制了点B；
六、依次选择A，B两点，单击“构造”菜单，选择“轨迹”命令，这时就生成了函数的图象。
函数的图像绘制(mathematica数学实验报告)
分析：从此图像中可以大致看出导函数的正负，则可以确定原函数的增减性，当y 0'≥，即大致 2.60x -≤≤时导函数小于零，则原函数在此区间内是减函数；y 0'≤ ，即大致 2.6x ≤-或0x ≥时导函数大于零，则在原函数此区间内是增函数。
另一方面，从原函数与y 轴的大致交点，结合Mathematica 软件，可以求得原函数的根，如下：分析：此程序编写错误，从原图像中大致可以看出其与y 轴的交点在 4.1-附近，故应如下编写：从而得到原函数的根为： 4.13638x =-。
求根的原理是：将函数323127y x x =++在4.1x =-附近看作一次函数()()()4.1 4.1 4.1y f f x '≈-+--，其中()2924f m m m '=+是y 在 4.1x =-处的倒数值。
认为一次方程()()()4.1 4.1 4.10f f x '-+--=的解是比 4.1-更好的近似值，用它代替 4.1-再求出根的更好的近似值。
可以由以下语句产生：分析：程序运行错误的原因是将递归求根函数[, 4.1,4]Nestlist h -错写成[, 4.1,6]Nextlist h -。
正确运行如下：得到6次求根结果。
还可以利用Mathematica 编程求出原函数的极小值，如下：得到了极小值，很容易会想到如何求其极大值？Mathematica 没有提供求极大值的函数，所以不能直接求解，但可以求()0f x -=的极小值，即为原函数的极大值，具体运行如下：（2）正弦函数的叠加在数学的学习当中，我们经常会遇到这种题：画出区间[2,2]x ππ∈-上的函数1sin sin 3,,3y x x =+()11sin 21,,21m k y k x k ==∑--当n 很大时，不可能用Plot 语句中直接输入函数来画出函数图像，而要使用如下语句：[_,_]:[[*]/,{,1,,2}];[[,4],{,2,2}]f x n Sum Sin k x k k n Plot f x x Pi Pi =-当n=4时，运行如下：给n再取更大的值，例如，当n=611与n=1000时，运行如下：从图像中可以看出此种函数是周期函数。
函数图像的画法知识点总结
函数图像的画法知识点总结函数图像的画法是高中数学中的重要内容，也是数学建模和分析问题中不可或缺的一部分。
函数图像的画法知识点包括了如何确定函数图像的范围、如何确定函数图像的对称性、如何确定函数图像的拐点和极值点、如何确定函数图像的渐近线等等。
下面我们将对这些知识点进行详细总结。
一、确定函数图像的范围1. 确定函数的定义域和值域在绘制函数图像之前，首先需要确定函数的定义域和值域。
定义域指的是函数能够取得的输入值的范围，而值域则是函数能够取得的输出值的范围。
确定函数的定义域和值域能够帮助我们确定函数图像的范围，避免在绘制图像时出现遗漏的情况。
2. 确定函数的增减性和奇偶性通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的增减性和奇偶性。
函数的增减性可以帮助我们确定函数的上升区间和下降区间，从而确定函数图像的近似范围；而函数的奇偶性可以帮助我们确定函数图像的对称性，从而进一步确定函数图像的范围。
二、确定函数图像的对称性1. 确定函数的奇偶性函数的奇偶性可以通过对函数的表达式进行分析来确定。
如果函数的表达式中只包含偶次幂的项，则函数是偶函数；如果函数的表达式中只包含奇次幂的项，则函数是奇函数；如果函数的表达式中包含奇次幂和偶次幂的项，则函数则是既非奇函数又非偶函数。
2. 利用坐标轴进行对称变换对于不具有明显奇偶性的函数，可以通过对称变换来确定函数图像的对称性。
例如，可以利用y轴进行对称变换来确定函数的奇偶性，通过利用x轴进行对称变换来确定函数的周期性。
这些对称变换可以帮助我们更准确地绘制函数图像。
三、确定函数图像的拐点和极值点1. 确定函数的导数和导数的性质通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的拐点和极值点。
函数的导数表示了函数的斜率，通过对导数的性质进行分析，可以确定函数的拐点和极值点的位置。
拐点和极值点是函数图像的重要特征点，确定它们的位置能够帮助我们更准确地绘制函数图像。
2. 利用二阶导数进行分析如果函数的导数存在零点，可以通过对导数的二阶导数进行分析，确定这些零点对应的是函数的极大值点还是极小值点。
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实验一、复变函数与特殊函数图形的绘制
一、复变函数图形的绘制
例题：编程绘制出复变函数31/31
，的图形。
z z
,
z
解：
%experiment1.m
close all
clear all
m=30;
r=(0:m)'/m;
theta=pi*(-m:m)/m;
z=r*exp(i*theta);
w=z.^3;
blue=0.2;
x=real(z);
y=imag(z);
u=real(w);
v=imag(w);
v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化
M=max(max(u));
m=min(min(u));
axis([-1 1 -1 1 m M])
caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围
s=ones(size(z));
subplot(131)
mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图
hold on
surf(x,y,u,v) %%画表面图
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')
title('z^3')
hold off
colormap(hsv(64)) %%画色轴
w=z.^(1/3);
x=real(z);
y=imag(z);
subplot(132)
for k=0:2
rho=abs(w);
phi=angle(w)+k*2*pi/3;
u=rho.*cos(phi);
v=rho.*sin(phi);
v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 M=max(max(max(M,u)));
m=min(min(min(m,u)));
surf(x,y,u,v) %%画表面图
axis([-1 1 -1 1 m M])
hold on
end
s=ones(size(z));
mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')
title('z^{1/3}')
colormap(hsv(64)) %%画色轴
w=1./z;
w(z==0)=NaN;
x=real(z);
y=imag(z);
u=real(w);
v=imag(w);
v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化
M=max(max(max(M,u)));
m=min(min(min(m,u)));
subplot(133)
surf(x,y,u,v) %%画表面图
hold on
axis([-1 1 -1 1 m M])
s=ones(size(z));
mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('u')
title('1/z')
colormap(hsv(64)) %%画色轴
二、特殊函数图形的绘制
1、Γ函数的绘制
()()1
0,1,2,t
z z e
t
d t
z ∞
--Γ=
≠--⎰
% Fig1d15.m
x=-3:0.01:3; y=gamma(x);
plot(x,y,'linewidth',4) grid on
axis([-3 3 -5 5]) xlabel('x') ylabel('y')
title('\Gamma 函数')
2、勒让德函数的绘制
l 阶勒让德多项式()l P x 的定义是：
()()
()()()
()220
22!
1112!!2!l k
l k
l l
k l k P x x
x k l k l k ⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-=-=
--≤≤--
∑
其中，()()/220,1,2,1/2
21
2l l n
l n l l n =⎧
⎪⎢⎥==⎨⎢⎥-=+⎣⎦⎪⎩
连带
()m
l
P x 的定义是
()()
[]
()2
2
1m
m m
l l
P x x P x =-
其中，0,1,2,l = ，0,1,2,,m l = ，而[]
()m l P x 是()l P x 的m 阶导数。
MA 计算连带勒让德函数的指令是
(,)legendre N X
在给
N ，X 值以后，它将计算所有N 阶连带勒让德函数在X 处的函数值。
如果X
是矢量，所得的结果P 是矩阵，而P （m+1,i ）则是连带勒让德函数()m
l P x 在X （i
）处
的函数值。
例如 >> 产生
-0.5000 -0.4850 -0.4400 0 -0.2985 -0.5879
3.0000 2.9700 2.8800
它表示的结果是
()()()()()()()()()0
2
2
2
1
1
1
2222
2
2
2220
0.10.2
000.50.10.4850.20.44
1000.10.2985
0.20.5879
2
030.1 2.97
0.2 2.88
x x x m P P P m P P P m P P P =====-=-=-===-=-====
例题：画出所有3阶连带勒让德函数的图形。
解：
% Fig1d17.m x=0:0.01:1;
y=legendre(3,x);
plot(x,y(1,:),'-',x,y(2,:),'-.',x,y(3,:),':',x,y(4,:),'--') title('勒让德多项式')
legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3') 运行程序，得到如下的图形：
3、贝塞尔函数的绘制
MATLAB 有5种计算贝塞尔函数的指令，
计算指令 所计算的函数
J=besselj(ν,z) 计算ν阶第一类贝塞尔函数()J z ν的值 N=bessely(ν,z) 计算ν阶第二类贝塞尔函数()N z ν的值
H=besselh(ν,k,z) 计算ν阶第一类汉开尔函数（k=1）()
()1H z ν的值或ν阶第
二类汉开尔函数（k=2）()
()2H z ν的值
I=besseli(ν,z) 计算ν阶第一类虚宗量贝塞尔函数()I z ν的值 K=besselk(ν,z) 计算ν阶第二类虚宗量贝塞尔函数()K z ν的值
例题：绘出前四个第一类贝塞尔函数的曲线。
解：
%Fig1d20.m
clear all close all
y=besselj(0:3,(0:0.2:10)'); figure(1)
plot((0:0.2:10)',y(:,1),'b-',(0:0.2:10)',y(:,2),'b--*',... (0:0.2:10)',y(:,3),'r-.',(0:0.2:10)',y(:,4),'r--o') xlabel('x')
ylabel('J_{\nu}(x)')
title('贝塞尔函数J_{0,1,2,3}的图形') legend('J_0','J_1','J_2','J_3')
三、上机作业： 1、编程绘制根式复变函数
()
1/2
0.5z -的图形。
2、编程绘制复变函数0
1
1k
k
k k z z
z
∞
==-∞
-
∑∑
、其泰勒展开式和洛朗展开式-的图形。
注：画级数图形时，取前101项近似。
3、绘制教材第252页图12.5中的前6个勒让德多项式的函数曲线。
4、根据教材第285页的公式（13.90），绘制前四个球贝塞尔函数（
()()()()
0123,,,j x j x j x j x ）的曲线。