考研高数笔记

第一章 函数、极限、连续

第1节 函数

a)

反函数和原函数关于y=x 对称。

b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。

d)

2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。

e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。

f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等

函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。

第2节 极限

a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。

b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中

0=(x)ɑlim 0

x x →。

（等价无穷小）

c) 极限存在⇔极限唯一。（极限唯一性）

d) A x =→)(f lim 0

x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）

e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。

（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么

lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0

lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n

lim(f(x)^g(x))=A b

（极限的四则运算）

g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界

量乘积仍然是无穷小。 h) )

()(lim x g x f =l

i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.

iii.0

x g x f )]

([)

(lim

=l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换：

x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x

-1~ln(1+x)

1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2

αx

2

x

1+-1~2

1x

=》α)x 1(+-1~αx

tanx-x ~3

13x

x-sinx ~6

13x

特殊的，x →0时a x -1~xlna

j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0

时，f(x)→0，那么将

原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法：

i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1. 抓小头公式。（x →0）

2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项

的系数比】）

iii.两个准则：

1. 夹逼准则

2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限：

1.

x

sinx lim

x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明）

2.

e x

x

=+

∞

→)11(lim x

e =+→x

10

x )

x 1(lim （利用单调有界准则进行证明）

口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）

v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换

1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界

量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。

vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。

vii.利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形

式，则极限就是导数。 viii.

定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）

ix. 泰勒公式

1.

泰勒公式中系数表达式：

f (f )(f 0)

f !

(f −f 0)f

2. 当f 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的麦克劳林公式：

e x

sinx cosx ln(x+1) (1+x)m

x. 洛必达法则

使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次

00

∞∞

第二层次

0*∞：转换成0

或∞

∞

∞-∞：通分化为00

（常用换元的方法求解） 第三层次

1∞

∞0

00

使用f ff 进行转化。