高二数学解析几何知识点

第三章

一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念：（1）倾斜角：当直线 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线 向上方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角。

（2）倾斜角的范围：当 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°因此0°≤α＜180°。 2、直线的斜率

（1）斜率公式：K=tan α（α≠90°） （2）斜率坐标公式：K=

1

21

2x x y y -- （x 1≠x 2）

（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当α=0°

时，k=0；当0°＜α＜90°时，k ＞0，且α越大，k 越大；当α=90°时，k 不存在；当90°＜α＜180°时，k ＜0，且α越大，k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定：

（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90°，即斜率不存在，则这两直线平行； （2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k 1=k 2 ⇔ 1 ∥2

2、两直线垂直的判定：

（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直； （2）如果两条直线1 、2 的斜率都存在，且都不为0，则1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1

已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.

直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b

=+叫做直线的斜截式方程.

已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为

11

12122121

(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式

已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则

直线l 的方程1=+b

y

a x 叫做直线的截距式方程.

注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.

关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form ）．

注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线

已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y

，则12PP 特殊地：(,)P x y

与原点的距离为OP =：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为

：

d =

.

已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l

20Ax By C ++=，则1l 与2l

的距离为d =

1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组

111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨

++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行

2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.

3.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.

点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

一、直线与方程 （1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 当[

) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈时，0

②过两点的直线的斜率公式：)(21121

2

x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：

11

2121

y y x x y y x x --=

--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a

b

+

= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别

为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）

注意：○

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为

常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系

平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系

（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；

（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为