万有引力定律知识点含复习资料

万有引力定律

一、开普勒行星运动定律

开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了

行星运动的规律。

K值只取决于中心天体的质

量

通常椭圆轨道近似处理为圆

轨道

也适于用卫星绕行星的运动

1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小及物体

的质量m1和m2的乘积成正比、及它们之间距离r的二次方成反比．

2．表达式：，G为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2.

3．适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为

质点．

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

三、环绕速度

1．第一宇宙速度又叫环绕速度．

得：＝7.9 km/s.

第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．

第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．

第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

特别提醒:

(1)两种周期——自转周期和公转周期的不同

(2)两种速度——环绕速度及发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度

(3)两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同

四、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题

1．近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较

ω3＝ω自

＝

GM

R＋h3

a3＝ω23(R＋h)

＝

GM

R＋h2

五、天体的追及相遇问题

两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。

图甲图乙

当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。

经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。

1. 两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)

2. 两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)

3. 常用结论：

（1n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。

（2n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。

考点一天体质量和密度的计算

1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路

(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即（g表示天体表面的重力加速度)．在行星表面重力加速度：，所以

在离地面高为h的轨道处重力加速度：，得

2．天体质量和密度的计算

(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于，故天体质量

天体密度：

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.

①由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量；

②若已知天体半径R，则天体的平均密度

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．

3.黄金代换公式：GM＝gR2

例1.(多选)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )

A．v1＞v2＞v3B．v1＜v3＜v2

C．a1＞a2＞a3D．a1＜a3＜a2

【答案】BD

例2.（多选）“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月1日成功发射，目前正在月球上方100km 的圆形轨道上运行。已知“嫦娥二号”卫星的运行周期、月球半径、月球表面重力加速度、万有引力恒量G。根据以上信息可求出：（）

A．卫星所在处的加速度 B．月球的平均密度

C ．卫星线速度大小

D ．卫星所需向心力 【答案】ABC

例3.（多选）2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础．已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器及月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则 ： （ ） A ．航天器的轨道半径为

s

θ B ．航天器的环绕周期为

θ

πt

2

C ．月球的质量为

D ．月球的密度为 【答案】BC

例4.（多选）若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L ．已知月球半径为R ，万有引力常量为G ．则下列说法正确的是： （ ） A ．月球表面的重力加速度 B ．月球的质量 C ．月球的第一宇宙速度 D ．月球的平均密度 【答案】ABC 【解析】

平抛运动的时间．再根据h=

12

gt 2

得，得，故A 正确；由及，可得：．故B 正确；第一宇宙速度：，解得故C 正确；月球的平均密度，故D 错误；故选ABC.

【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用。 考点二 卫星运行参量的比较及运算 1．卫星的动力学规律

由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m r

Mm G ====222

2)2(πω 2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

⎪⎪

⎩⎪⎪⎨

⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫===

=

减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM

v ωπ

ω2

3

32 例5.据报道，2016年2月18日嫦娥三号着陆器玉兔号成功自主“醒来”，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士介绍说，自2013年12月14日月面软着陆以来，中国嫦娥三号月球探测器创造了全世界在月工作最长记录。假如月球车在月球表面以初速度0v 竖直上抛出一个小球，经时间t 后小球回到出发点，已知月球的半径为R ，引力常量为G ，下列说法正确的是： （ ）

A 、月球表面的重力加速度为0

v t

B 、月球的质量为

C 、探测器在月球表面获得的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动

D 、探测器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为0

Rt v 【答案】C