河南省开封市高考数学一模试卷(理科)及答案

河南省开封市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）

2．（5分）若复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=1﹣2i，则复数在复平面内对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（5分）若，则sin2α的值为（）

A．B．C．D．

5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且9S3=S6，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2

6．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）

A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=2

7．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）

A．B．

C．D．

8．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）

A．B．C．D．

9．（5分）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3 的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（）

A．B．C．D．

10．（5分）函数y=的图象大致是（）

A．B． C．

D．

11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）

A．B．C．D．

12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（）

A．B．445πC．455πD．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．

14．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为．

15．（5分）设f（x）=，且f（f（a））=2，则满足条件的a

的值有个．

16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．

18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；

（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商

品和服务都做出好评的交易为80次．

（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？

对服务好评对服务不满意合计

对商品好评

对商品不满意

合计200

（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：

（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；

（2）求X的数学期望和方差．

附：

P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

（，其中n=a+b+c+d）

20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；

（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．

（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；

（2）求证：线段MN的长为定值．

21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．

（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．

选修4-4：极坐标与参数方程