河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)
一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{y |y ＞0}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，0）B ．（﹣1，0]C ．（0，1）D ．[0，1）【解答】解：∁R B ＝{y |y ≤0}； ∴A ∩（∁R B ）＝（﹣1，0]． 故选：B ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足2z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．5B ．√5C ．√55D ．15【解答】解：由2z 1−z=i ，得2z ＝i ﹣iz ，则z =i2+i =i(2−i)(2+i)(2−i)=15+25i ， ∴|z |=√(15)2+(25)2=√55． 故选：C ．3．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f （x ）＝2019x 2018+2018x 2017+…+2x +1，程序框图设计的是f （x ）的值，在M 处应填的执行语句是（ ）A ．n ＝iB ．n ＝2019﹣iC ．n ＝i +1D ．n ＝2018﹣i【解答】解：由题意，n 的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1， 由程序框图可知，处理框处应该填入n ＝2019﹣i ． 故选：B ． 4．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√2，则它的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣6x ＝0截得的线段长为（ ） A ．32B ．3C ．3√22D ．3√2【解答】解：∵双曲线的离心率e =√2， ∴双曲线是等轴双曲线， 则双曲线的一条渐近线为y ＝x ， 代入x 2+y 2﹣6x ＝0得x 2+x 2﹣6x ＝0， 即x 2﹣3x ＝0，得x ＝0或x ＝3， 对应的y ＝0或y ＝3，则交点坐标为A （0，0），B （3，3）， 则|AB |=√32+32=3√2， 故选：D ．5．（5分）将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲乙两队得分的极差相等【解答】解：对于A ，甲的平均数为15（26+28+29+31+31）＝29，乙的平均数为15（28+29+30+31+32）＝30，故错误；对于B ，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C ，甲成绩的方差为：s 2=15×[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=185． 乙成绩的方差为：s 2=15×[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]＝2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D ，甲的极差是31﹣26＝5．乙的极差是32﹣28＝4，两者不相等，故错误． 故选：C ．6．（5分）将函数f （x ）＝2sin x 的图象向左平移π6个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g （x ）的图象，下面四个结论正确的是（ ） A ．函数g （x ）在[π，2π]上的最大值为1B ．将函数g （x ）的图象向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称C ．点(π3，0)是函数g （x ）图象的一个对称中心D ．函数g （x ）在区间[0，2π3]上为增函数 【解答】解：将函数f （x ）＝2sin x 的图象向左平移π6个单位，然后纵坐标不变，可得y＝2sin （x +π6）的图象，再把横坐标变为原来的2倍，得到g （x ）＝2sin （12x +π6）的图象，在[π，2π]上，x2+π6∈[2π3，7π6]，g （x ）＝2sin （12x +π6）的最大值为√3，故A 错误；将函数g （x ）的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应函数的解析式为 y ＝2sin （12x +π12）， 它不是奇函数，图象不 关于原点对称，故B 错误；当x =π3时，g （x ）=√3≠0，故点(π3，0)不是函数g （x ）图象的一个对称中心，故C 错误；在区间[0，2π3]上，x 2+π6∈[π6，π2]，故函数g （x ）在区间[0，2π3]上为增函数，故D 正确，故选：D ．7．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3，已知函数f(x)=2x+32x +1，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（ ） A ．{0，1，2，3}B ．{0，1，2}C ．{1，2，3}D ．{1，2}【解答】解：f(x)=2x+32x +1=2x+1+22x +1=1+22x +1，∵2x ＞0，∴1+2x ＞1，0＜12x+1＜1， 则0＜22x+1＜2，1＜1+22x +1＜3， 即1＜f （x ）＜3，当1＜f （x ）＜2时，[f （x ）]＝1，当2≤f （x ）＜3时，[f （x ）]＝2， 综上函数y ＝[f （x ）]的值域为{1，2}， 故选：D ．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．√3B ．4√33C ．5√33D ．2【解答】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P ﹣ABCD ， 所以几何体的体积为：13×1+22×2×√3=√3．故选：A ．9．（5分）已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点（A ，B 均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．32D ．4【解答】解：设直线AB 的方程为：x ＝my +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x =my +t y 2=2x⇒y 2﹣2my ﹣2t ＝0⇒y 1y 2＝﹣2t 由OA ⊥OB ⇒x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24+y 1y 2=0⇒y 1y 2＝﹣4，∴t ＝2，即直线AB 过定点（2，0）．∴抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为2−12=32． 故选：C ．10．（5分）已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →−b →|=√7，若对于任意实数k ，不等式|ka →+tb →|＞1恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−√3)∪(√3，+∞) B ．(−∞，−√33)∪(√33，+∞)C ．(√3，+∞)D ．(√33，+∞)【解答】解：由|a →|=1，|b →|=2，|a →−b →|=√7，得a →⋅b →=−1， 又对于任意实数k ，不等式|ka →+tb →|＞1恒成立，即对于任意实数k ，不等式k 2a →2+2kta →⋅b →+t 2b →2＞1恒成立， 即对于任意实数k ，不等式k 2﹣2tk +4t 2﹣1＞0恒成立， 即△＝4t 2﹣4（4t 2﹣1）＜0， 解得：t ＜−√33或t ＞√33， 故选：B ．11．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝DD 1＝1，AB =√3，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 没有公共点，则三角形PBB 1面积的最小值为（ ） A ．√32B ．1C ．√34D ．12【解答】解：：补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，设BR ⊥AC ， ∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点， ∴D 1P ∥平面EFGHQR ， 易知平面ACD 1∥平面EFGHQR ， ∴P ∈AC ，且当P 与R 重合时，BP ＝BR 最短，此时△PBB 1的面积最小， 由等积法：12BR ×AC =12BE ×BF ，12BR ×√√=12×1×√3，∴BP =√32，又BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥BP ，△PBB 1为直角三角形，∴△PBB 1的面积为：12×√32×1=√34，故选：C ．12．（5分）函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数，若xf '（x ）+f （x ）＝e x （x ﹣2）且f （3）＝0，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（2，3）D ．（3，+∞）【解答】解：函数f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f '（x ）为其导函数， 令φ（x ）＝xf （x ），则φ′（x ）＝x •f '（x ）+f （x ）＝e x （x ﹣2），可知当x ∈（0，2）时，φ（x ）是单调减函数，并且0•f '（0）+f （0）＝e 0（0﹣2）＝﹣2＜0，即f （0）＜0x ∈（2，+∞）时，函数是单调增函数，f （3）＝0， 则φ（3）＝3f （3）＝0，则不等式f （x ）＜0的解集就是xf （x ）＜0的解集， 不等式的解集为：{x |0＜x ＜3}． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知O 为坐标原点，向量OA →=(1，2)，OB →=(−2，−1)，若2AP →=AB →，则|OP →|=√22． 【解答】解：∵OA →=(1，2)，OB →=(−2，−1)，2AP →=AB →； ∴2(OP →−OA →)=OB →−OA →； ∴OP →=12(OA →+OB →)=12(−1，1)； ∴|OP →|=√22．故答案为：√22． 14．（5分）设实数x ，y 满足{x −3y +10≤0x +2≥0x +2y −5≤0，则z =y x 的取值范围为 [﹣3，−43] ．【解答】解：实数x ，y 满足{x −3y +10≤0x +2≥0x +2y −5≤0约束条件的平面区域如图所示，A （﹣2，83），B （﹣1，3），z =y x的几何意义可行域上的点是到原点的斜率； 当直线为OA 时，z 有最大值为：−43；当直线为OB 时，z 有最小值为﹣3；所以，z =yx 的取值范围为：[﹣3，−43]． 故答案为：[﹣3，−43]．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin C +2sin C cos B ＝sin A ，C ∈(0，π2)，a =√6，cosB =13，则b ＝125．【解答】解：∵sin C +2sin C cos B ＝sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， ∴可得：sin C +sin C cos B ＝sin B cos C ， ∴sin C ＝sin B cos C ﹣sin C cos B ＝sin （B ﹣C ），∵C ∈(0，π2)，a =√6，cosB =13，可得B 为锐角，sin B =√1−cos 2B =2√23， ∴B ﹣C ∈（−π2，π2），∴C ＝B ﹣C ，可得：B ＝2C ，∴cos B ＝cos2C ＝1﹣2sin 2C =13，可得：sin C =√33，cos C =√63， ∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C =2√23×√63+13×√33=5√39， ∴由正弦定理可得：b =a⋅sinB sinA =√6×2√23539=125．故答案为：125．16．（5分）已知函数f(x)=ae x −12x 2−b(a ，b ∈R)，若函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 2x 1≥2，则实数a 的取值范围是 （0，ln22] ．【解答】解：∵函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2， ∴∴f ′（x ）＝ae x ﹣x ＝0有两个零点x 1，x 2， ∴aex 1=x 1，aex 2=x 2，两式作比，得e x 2e x 1=x 2x 1=e x 2−x 1，令x 2﹣x 1＝t ，①，则x 2x 1=e t ，②∴x 2=x 1e t ，代入①，得：x 1=te t −1，由②，得x 2x 1=e t ≥2，∴t ≥ln 2，令g （t ）=t e t −1，t ≥ln 2，则g ′（t ）=e t −1−te t(e t −1)2， 令h （t ）＝e t ﹣1﹣te t ，则h ′（t ）＝﹣te t ＜0， ∴h （t ）单调递减，∴h （t ）≤h （ln 2）＝1﹣2ln 2＜0， ∴g （t ）单调递减，∴g （t ）≤g （ln 2）＝ln 2，即x 1≤ln 2， ∵a =x 1e x 1，令μ（x ）=x e x ，则μ′(x)=1−xe x ＞0， ∴μ（x ）在x ≤ln 2上单调递增， ∴μ（x ）≤ln22，∴a ≤ln22， ∵f ′（x ）＝ae x ﹣x 有两个零点x 1，x 2，μ（x ）在R 上与y ＝a 有两个交点， ∵μ′(x)=1−xe x，在（﹣∞，1）上，μ′（x ）＞0，μ（x ）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x ）＜0，μ（x ）单调递减，∴μ（x ）的最大值为μ（1）=1e，大致图象为：∴0＜a ＜1e ，∵1e ≈0.368，ln22≈0.347，∴0＜a ≤ln22．∴实数a 的取值范围是（0，ln22]． 故答案为：（0，ln22]．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程． 17．（12分）数列{a n }满足：a 12+a 23+⋯+a n n+1=n 2+n ，n ∈N *．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =1a n，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n ＞920的最小正整数n ．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a 12+a 23+⋯+a n n+1=n 2+n ，当n ≥2时，a 12+a 23+⋯+a n−1n=(n −1)2+n −1，两式相减得，a nn+1=2n ，即a n ＝2n （n +1）（n ≥2）．当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴a n ＝2n （n +1）； （Ⅱ）b n =1a n =12n(n+1)=12(1n −1n+1)，∴S n =12(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=12(1−1n+1)=n 2(n+1)． 由S n =n 2(n+1)＞920，解得n ＞9．∴满足S n ＞920的最小正整数n ＝10． 18．（12分）四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =π3，△P AD 是等边三角形，F 为AD 的中点，PD ⊥BF ． （Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若E 在线段BC 上，且EC =14BC ，能否在棱PC 上找到一点G ，使平面DEG ⊥平面ABCD ？若存在，求四面体D ﹣CEG 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接PF ， ∵△P AD 是等边三角形，∴PF ⊥AD ，又底面ABCD 是菱形，∠BAD =π3，∴BF ⊥AD ， 又PF ∩BF ＝F ，∴AD ⊥平面BFP ，则AD ⊥PB ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AD ⊥BF ，又PD ⊥BF ，AD ∩PD ＝D ， ∴BF ⊥平面P AD ，则平面ABCD ⊥平面P AD ，∵平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，PF ⊥AD ，∴PF ⊥平面ABCD ，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD，又∵GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD，∵CHHF =CEDF=12，∴CGGP=12，∴GH=13PF=√33，则V D−CEG=V G−CDE=13S△CDE⋅GH=112．19．（12分）为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1．将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；电子阅读纸质阅读合计青少年中老年合计（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，10×（0.01+0.015+a +0.03+0.01）＝1，解得a ＝0.035， 所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5； （Ⅱ）根据题意填写列联表如下，电子阅读 纸质阅读 合计 青少年 90 20 110 中老年 60 30 90 合计15050200计算K 2=200×(90×30−60×20)2150×50×110×90≈6.061＞5.024，所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关． 20．（12分）椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△AF 1F 2的周长为4+2√3，且面积的最大值为√3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 是椭圆C 上两动点，线段AB 的中点为P ，OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2（O 为坐标原点），且k 1k 2=−14，求|OP |的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a +c ）＝4+2√3， 所以a +c ＝2+√3⋯①，当A 在上（或下）顶点时，△AF 1F 2的面积取得最大值， 即最大值为bc =√3⋯②，由①②及a 2＝c 2+b 2联立求得a ＝2，b ＝1，c =√3， 可得椭圆方程为x 24+y 2＝1，（Ⅱ）当直线AB 的斜率k 不存在时，直线OA 的方程为y =12x ， 此时不妨取A （√2，√22），B （√2，−√22），P （√2，0），则|OP |=√2． 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx +m ， 联立{y =kx +m x 2+4y 2=4，消y 得：（4k 2+1）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0， △＝64k 2m 2﹣4（4k 2+1）（4m 2﹣4）＝16（4k 2﹣m 2+1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2．∵k 1k 2=−14，∴4y 1y 2+x 1x 2＝0，⇒4（kx 1+m ）（kx 2+m ）+x 1x 2═（1+4k 2）x 1x 2+4km （x 1+x 2）+4m 2＝4m 2﹣4−32k 2m 21+4k2+4m 2＝0．整理，得：2m 2＝4k 2+1，∴m 2≥12，△＝16m 2＞0． 设P （x 0，y 0），x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =12m， ∴|OP |2=x 02+y 02=4k 2m 2+14m 2=2−34m2∈[12，2)． |OP |的取值范围为[√22，√2）． 综上，|OP |的取值范围为[√22，√2]．21．（12分）已知函数f （x ）＝axlnx ﹣bx 2﹣ax ．（Ⅰ）曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y +12=0，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ≤0，b =12时，∀x 1，x 2∈（1，e ），都有|f(x 1)−f(x 2)||x 1−x 2|＜3，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，f ′（x ）＝a （1+lnx ）﹣2bx ﹣a ＝alnx ﹣2bx ， 由f ′（1）＝﹣2b ＝﹣1，得b =12，又f （1）＝﹣b ﹣a =−32，∴a ＝1． 即a ＝1，b =12；（Ⅱ）当a ≤0，b =12时，f ′（x ）＝alnx ﹣x ＜0， f （x ）在（1，e ）上单调递减，不妨设x 1＜x 2，则f （x 1）＞f （x 2），原不等式即为f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1＜3．即f （x 1）﹣f （x 2）＜3x 2﹣3x 1，即f （x 1）+3x 1＜f （x 2）+3x 2． 令g （x ）＝f （x ）+3x ，则g （x ）在（1，e ）上为单调增函数， ∴有g ′（x ）＝f ′（x ）+3＝alnx ﹣x +3≥0在（1，e ）上恒成立． 即a ≥x−3lnx ，x ∈（1，e ），令h （x ）=x−3lnx ，x ∈（1，e ），h ′（x ）=lnx+3x −1(lnx)2， 令t （x ）＝lnx +3x −1，t ′（x ）=1x −3x 2=x−3x 2＜0． ∴t （x ）在（1，e ）上单调递减，t （x ）＞t （e ）=3e， 则h ′（x ）＞0，h （x ）在（1，e ）上为单调增函数， ∴h （x ）＜h （e ）＝e ﹣3，即a ≥e ﹣3． 综上，e ﹣3≤a ≤0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为{x =−2+√22ty =√22t (t为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． （1）若点P 的极坐标为（2，π），求|PM |•|PN |的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ＝12， 转换为直角坐标方程为：x 212+y 24=1．点P 的极坐标为（2，π）， 转换为直角坐标为（﹣2，0）．把直线l 的参数方程为{x =−2+√22t y =√22t(t 为参数）．代入椭圆的方程为：t 2−√2t −4=0（t 1和t 2为A 、B 对应的参数） 所以：t 1•t 2＝﹣4． 故：|PM |•|PN |＝|t 1•t 2|＝4（2）由椭圆的直角坐标方程转换为（2√3cosθ，2sinθ），所以：以A 为顶点的内接矩形的周长为4（2√3cosθ+2sinθ）＝16sin （θ+π3）（0＜θ＜π2） 所以：当θ=π6时，周长的最大值为16． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣a |（a ＞0），g （x ）＝x 2﹣x ． （Ⅰ）当a ＝1时，求不等式g （x ）≥f （x ）的解集； （Ⅱ）已知f （x ）≥2恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，g （x ）≥f （x ）⇔{x ≤−1x 2−x ≥−x −1−x +1或{−1＜x ＜1x 2−x ≥2或{x ≥1x 2−x ≥x +1+x −1， 解得x ≤﹣1或x ≥3，所以原不等式的解集为{x |x ≤﹣1或x ≥3}（2）f （x ）={−(a +1)x −1+a ，x ≤−1a (a −1)x +1+a ，−1a ＜x ＜a (a +1)x +1−a ，x ≥a ， 当0＜a ≤1时，f （x ）min ＝f （a ）＝a 2+1≥2，a ＝1； 当a ＞1时，f （x ）max ＝f （−1a ）＝a +1a ≥2，a ＞1， 综上：a ∈[1，+∞）。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷和答案(文科)
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．（5分）已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by ＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sinA+cosA）b，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x1234566.6 6.777.17.27.4年产量（万吨）（I）根据表中数据，建立y关于x 的线性回归方程＝x+a （II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i ﹣）（y i ﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．【解答】解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【解答】解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A 的三角函数，则最大值可求．【解答】解：∵b＝，c＝（sinA+cosA）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．【解答】解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．【解答】解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A 1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB 为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．【解答】解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷含解析
2025届河南省郑州市高考数学二模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．20 B．27 C．54 D．642．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（）A．764B．1132C．5764D．11163．已知双曲线2222:1x ya bΓ-=(0,0)a b>>的一条渐近线为l，圆22:()4C x c y-+=与l相切于点A，若12AF F∆的面积为3Γ的离心率为（）A．2B．33C．73D214．已知函数()(2)3,(ln2)()32,(ln2)xx x e xf xx x⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m∈+∞时，()f x的取值范围为(,2]e-∞+，则实数m的取值范围是（）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]5．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或86．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a7．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．608．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(2,2]-C ．{1}D ．{1,0,1,2}-9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．28210．函数()()ln 12f x x x=+-的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()()1,22,-⋃+∞C ．()1,2-D ．1,211．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．y x =±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南省郑州市高考(文科)数学第二次模拟试卷 含解析
2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n ＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n 的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x （x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4）D．（1，4]2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 3．定义运算||=ad﹣bc，则符合条件||=0的复数z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（）A．B．C．﹣D．﹣5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2020 B．2020 C．2020 D．20206．经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=17．平面内满足约束条件的点（x，y）形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称9．如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=log x，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（）A．8 B．10 C．12 D．1611．若数列{a n}中，满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n+（n+1）a n+1，则a10的值是﹣1（）A．4B．4C．4D．412．对∀α∈R，n∈[0，2]，向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．14．已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=．15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是．16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）•sin（﹣C）．（1）求角A的值；（2）若a=且b≥a，求2b﹣c的取值范围．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a= c=不支持b= d=合计参考数据：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥E﹣APD的体积．20．已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1，y1），=（x2，y2），且•=0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若m∈（0，），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R）（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
河南省郑州市高考数学二模试卷文(含解析)
一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．i2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1 B．C．D．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．（5分）执行如图所示的程序图，输出的S值是（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣1﹣9．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．10．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π11．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．C．15．（5分）已知实数x，y满足，设b=x﹣2y，若b的最小值为﹣2，则b的最大值为．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若16．M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．三.解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．18．（12分）最近2015届高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新2015届高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣ABC侧棱柱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°点M，N分别为A′B和B′C′的中点．（1）证明：MN∥平面AA′C′C；（2）设AB=λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．20．（12分）设椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|﹣|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1+lnx，其中a为常数．（1）当a∈（﹣∞，﹣）时，若f（x）在区间（0，e）上的最大值为﹣4，求a的值；（2）当a=﹣时，若函数g（x）=|f（x）|﹣﹣存在零点，求实数b的取值范围．四.选做题：选修4-1：集合证明选讲22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．选做题：4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（t为参数）．（Ⅰ）求曲线M和N的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．不等式选讲24．已知函数f（x）=|3x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＜4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）已知m+n=1（m，n＞0），若|x﹣a|﹣f（x）≤+（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i，∴z的虚部为1．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）集合U={1，2，3，4，5，6}，A={2，3}，B={x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，5，6} B．{1，4，5，6} C．{2，3，4} D．{1，6}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可得到答案．解答：解：集合B中的不等式x2﹣6x+5＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3，4}，∵A={2，3}，∴A∪B={2，3，4}，∵集合U={1，2，3，4，5，6}，∴∁∪（A∪B）={1，5，6}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．3．（5分）“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．解答：解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．点评：考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．4．（5分）已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若他们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值=（）A．1 B．C．D．考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，求出乙的中位数，得出甲的中位数，求出m的值；再计算甲的平均数，得出乙的平均数，从而求出n的值．解答：解：根据茎叶图中的数据知，乙的中位数是=33，∴甲的中位数也是33，故m=3；又甲的平均数是=33，∴乙的平均数也是33，即=33，解得n=8；∴=．故选：C．点评：本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．（5分）将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．解答：解：函数f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函数图象向左平移a个单位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函数的图象关于原点对称，则：，解得：a=（k∈Z），当k=0时，，故选：B．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的图象变换，函数图象关于原点对称的条件．6．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=24y的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30℃，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．解答：解：抛物线x2=24y的焦点为（0，6），即有双曲线的焦点为（0，±6），设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则c=6，由渐近线方程为y=±x．则有=tan30°=，又a2+b2=c2，解得a=3，b=3，则双曲线的方程为﹣=1．故选B．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．7．（5分）已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）。
河南省郑州市高三第二次模拟考试文数试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A ＝{x ｜x ≥4}，B ＝{x ｜－1≤2x －1≤0}，则C R A ∩B ＝( ) A ．（4，＋∞） B ． C ．（12，4] D ．（1，4] 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，[4,)A =+∞，1[0,]2B =，∴1[0,]2U C A B =，故选B ．【考点】本题主要考查集合的关系．2．命题“0x ∃≤0，使得20x ≥0”的否定是( )A ．x ∀≤0，2x ＜0B ．x ∀≤0，2x ≥0 C ．0x ∃＞0，20x ＞0 D ．0x ∃＜0，20x ≤0 【答案】A.【解析】试题分析：根据特称命题的否定是全称命题可知选A ，故选A ． 【考点】本题主要考查特称命题的否定． 3．定义运算,,a b c d＝ad －bc ，则符合条件,12,1z i ＋＝0的复数z 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)022z i z i -+=⇒=+，故在第一象限，故选A ． 【考点】本题主要考查复数的计算与复平面的概念． 4．设θ为第四象限的角，cos θ＝45，则sin2θ＝( ) A ．725B ．2425C ．－725D ．－2425【答案】D. 【解析】试题分析：∵θ是第四象限角，∴3sin 5θ==-，∴24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选D ． 【考点】本题主要考查三角恒等变换．5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是( ) A ．2014 B ．2015C ．2016D ．2017【答案】D. 【解析】试题分析：分析程序框图可知，当i 为偶数时，2017S =，当i 为奇数时，2016S =，而程序在0i =时跳出循环，故输出2017S =，故选D ．【考点】本题主要考查程序框图．6．经过点（2，1），且渐近线与圆22(2)x y ＋－＝1相切的双曲线的标准方程为( )A ．22111113x y －＝B ．2212x y －＝C ．22111113y x －＝D ．22111113y x －＝ 【答案】A. 【解析】【考点】本题主要考查双曲线的标准方程与直线与圆的位置关系．7．平面内满足约束条件1,218y y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤－＋≤，的点（x ，y ）形成的区域为M ，区域M 关于直线2x ＋y＝0的对称区域为M '，则区域M 和区域M '内最近的两点的距离为( ) A．5 B．5 C．5 D．5【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-，A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()82g π=-，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ． 【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质． 8．将函数f （x ）＝－cos2x 的图象向右平移4π个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝2π对称 B ．在（0，4π）上单调递减，为奇函数 C ．在（38π－，8π）上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点（38π，0）对称【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，()sin[2()]sin(2)sin 242g x x x x πππ=--=-=-， A ：最大值为1正确，而()02g π=，不关于直线2x π=对称，故A 错误；B ：当(0,)4x π∈时，2(0,)2x π∈，满足单调递减，显然()g x 也是奇函数，故B 正确；C ：当3(,)88x ππ∈-时，32(,)44x ππ∈-，不满足单调递增，也不满足偶函数，故C 错误；D ：周期22T ππ==，3()82g π=-，故不关于点3(,0)8π对称，故选B ． 【考点】本题主要考查三角函数的图象变换与三角函数的性质．9．如图是正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C. 【解析】试题分析：由三视图可知，正三棱锥的侧棱长为4，底面边长为，∴高h =162S =⨯=，故选C ．【考点】本题主要考查空间几何体的三视图．10．已知定义在R 上的奇函数y ＝f （x ）的图像关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f （x ）＝12log x ，则方程f （x ）－1＝0在（0，6）内的零点之和为( )A ．8B ．10C ．12D ．16 【答案】C. 【解析】试题分析：∵奇函数()f x 关于直线1x =对称，∴()(2)()f x f x f x =-=--， 即()(2)(4)f x f x f x =-+=+，∴()f x 是周期函数，其周期4T =，又∵当[1,0)x ∈-时，12()log ()f x x =--，故()f x 在(0,6)上的函数图象如下图所示，∴可知方程1()02f x -=在(0,6)的根共有4个，其和为123421012x x x x +++=+=，故选C ．【考点】本题主要考查函数与方程．11．设数列{n a }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2n n a ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋，则a 20的值是( ) 【答案】D.【解题思路】∵112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，∴数列{}n na 是以11a =为首项，2125a a -=为公差的等差数列，∴202024420151996455a a =+⋅=⇒==，故选D ． A ．415 B ．425 C ．435 D ．445【考点】本题主要考查数列的通项公式．12．对α∀∈R ，n ∈，向量c ＝（2n ＋3cos α，n －3sin α）的长度不超过6的概率为( )A C D【答案】C. 【解析】试题分析：||c =r ==，∴要使||6c ≤对任意R α∈都成立，6成立即可，即25936n n ++≤⇒≤≤又∵[0,2]n ∈，∴05n ≤≤，故所求概率为0520=-，故选A ．【考点】本题主要考查平面向量的模长与几何概型．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题,每个试题考生都必须作答．第22－24题为选考题．考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线f （x ）＝3x －x ＋3在点P （1，3）处的切线方程是_________． 【答案】210x y -+=. 【解析】试题分析：∵2'31y x =-，∴当1x =时，'2y =，3y =，∴切线方程为32(1)y x -=-， 即210x y -+=，故填：210x y -+=. 【考点】本题主要考查导数的运用．14．已知{n a }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝_________． 【答案】1-. 【解析】试题分析：由题意得，2253111111(4)(2)(10)1a a a a a a a =⇒+=++⇒=-，故填：1-.【考点】本题主要考查等差数列等比数列的性质及其运算.15．已知正数x ，y 满足2x ＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是___________． 【答案】3. 【解析】试题分析：由题意得，232x y x -=，∴223333122()3222x x x y x x x x x-++=+==+≥， 当且仅当1x y ==时，等号成立，故填：3. 【考点】本题主要考查基本不等式求最值.16．在正三棱锥V —ABC 内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于__________．【答案】【解析】试题分析：由题意，设侧棱长为a ，底面边长为b ，∴211132332V ABC V -==⨯⨯，化简可得4222363(48)b b a b -=-， ∴113232V ABCV -=⨯⨯===， 令2480b t -=>，3(48)()t f t t +=，∴23223(48)(48)2(48)(24)'()t t t t t f t t t+-++-==， 故可知min ()(24)f t f =，即当22482472b b -=⇒=时，三棱锥体积取到最小值，此时高422236363(48)b b a b -==-，h ===【考点】本题主要考查球的性质与导数的运用．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos2C －cos2A ＝2sin （3π＋C ）·sin （3π－C ）． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a 且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．【答案】（1）233A ππ=或；（2）. 【解析】试题分析:本题主要考查正余弦定理解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用倍角公式以及两角和与差的正弦公式化简表达式，解出sin A =，再确定角；第二问，由正弦定理将边转化成角，再利用内角和将C 转化为B ，最后求三角函数值域.试题解析：（1）由已知得222sin 2sin A C -=22312cos sin 44C C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，………2分化简得sin A =，故233A ππ=或．………………………………5分 （2）由正弦定理2sin sin sin b c aB C A ===，得2sin ,2sin b B c C ==，…7分 因为b a ≥，所以233B ππ≤<，662B πππ≤-<，………9分故224sin 2sin 4sin 2sin()3b c B C B B π-=-=--=3sin B B -).6π=-B ……………………………11分所以2)6b c B π-=-∈． ………12分考点：本题主要考查：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变换. 18．（本小题满分12分）为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有99％的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异；（Ⅱ）若对年龄在∴0434)3(23441412222=++-⋅++-++-k k k k k k …………10分 即2,022±==-k k ................12分考点：本题主要考查：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝x e x m－．（Ⅰ）讨论函数y ＝f （x ）在x ∈（m ，＋∞）上的单调性； （Ⅱ）若m ∈（0，12]，则当x ∈时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在函数 g （x ）＝2x ＋x 图象上方?请写出判断过程．【答案】（1）()∞f x m m m 在(,+1)上单调递减，在（+1,+）上单调递增.；（2）证明详见解析. 【解析】试题分析: 本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，利用'()0f x >和'()0f x <，判断并求出函数的单调区间；第二问，将m ∈（0，12]，则当x ∈时，函数y ＝f （x ）的图象是否总在函数 g （x ）＝2x ＋x 图象上方转化为min max ()()f x g x >，先求出最值，再比较两个最值的大小，构造函数()m x ，通过二次求导，判断函数()m x 的最小值，确定()m x 的最小值的正负，从而确定前面两个最值的大小.试题解析：（1）'22()(1)(),()()----==--x x x e x m e e x m f x x m x m '(,1)()0x m m f x ∈+<当时，，'(1,)()0x m f x ∈++∞>当时，，所以()∞f x m m m 在(,+1)上单调递减，在（+1,+）上单调递增..…………4分 （2）由（1）知()f x m m 在(,+1)上单调递减，所以其最小值为1(1)m f m e++=.因为1(0,]2m ∈，()g x 在[,1]x m m ∈+最大值为2(1) 1.+++m m …………6分所以下面判断(1)f m +与2(1)1m m +++的大小，即判断xe 与x x )1(+的大小，其中311,.2⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦x m令x x e x m x )1()(+-=，12)('--=x e x m x ，令'()()h x m x =，则'()2,=-x h x e 因311,2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，)('x m 单调递增；…………8分 所以03)1('<-=e m ，04)23(23'>-=e m 故存在13.2-x ≥ 使得012)(00'0=--=x e x m x所以)(x m 在()0,1x 上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0x 单调递增 …………10分所以112)()(020*********++-=--+=--=≥x x x x x x x e x m x m x 所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,10x 时，01)(0200>++-=x x x m 即x x e x )1(+>也即2(1)(1)1f m m m +>+++所以函数()y f x =的图象总在函数2()g x x x =+图象上方．……………..12分考点：本题主要考查导数的运用.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结BF 并延长交CD 于点E ．（Ⅰ）求证：E 为CD 的中点；（Ⅱ）求EF ·FB 的值．【答案】（1）证明详见解析；（2）45.【解析】得5CF ==…………………………8分又在Rt BCE ∆中，由射影定理得24.5EF FB CF ⋅==……………………10分 学科网考点：本题主要考查：1.圆的基本性质；2.切线的性质；3.相似三角形的判定与性质.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为6π．O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值． 【答案】（1）22cos ρρθ=；12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）1,11m =+【解析】试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用222x y ρ+=，cos x ρθ=化简表达式，得到曲线C 的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出m 的值.试题解析：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即22cos ρρθ=, :2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为. …………2分().12x m l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 …………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入222,x y x +=中2220,t t m m ++-=得2122t t m m =-所以, …………8分2|2|1,1,11m m m -==+由题意得得 …………10分考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f （x ）＝｜x ＋6｜－｜m －x ｜（m ∈R ）．（Ⅰ）当m ＝3时，求不等式f （x ）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）{}|1x x ≥；（2）[13,1]-.【解析】试题分析: 本题主要考查绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用零点分段法去掉绝对值，将绝对值不等式转化为不等式组求解；第二问，将不等式f （x ）≤7对任意实数x 恒成立，转化为max ()7f x ≤，利用不等式的性质求()f x 的最大值，代入后解绝对值不等式得到m 的取值范围. 试题解析：（1）当3m =时，()5f x ≥即|6||3|5x x +--≥，①当6x <-时，得95-≥，所以x φ∈；②当63x -≤≤时，得635x x ++-≥，即1x ≥，所以13x ≤≤；③当3x >时，得95≥，成立，所以3x >.…………………………………4分故不等式()5f x ≥的解集为{}|1x x ≥.…………………………………5分（Ⅱ）因为|6||||6|x m x x m x +--≤++-＝|6|m + 由题意得67m +≤，则767m -≤+≤，…………8分 解得131m -≤≤,故m 的取值范围是[13,1]-.……………………………………………10分 学科网 考点：本题主要考查：1.绝对值不等式；2.恒成立问题.。
河南省郑州市2024届高三下学期二模试题 数学含答案
2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数()221i z m m m =+---是纯虚数,m ∈R ,i 是虚数单位,则()A.1m ≠且2m ≠-B.1m =C.2m =-D.1m =或2m =-2.集合{}180(1)90,n A x x n n ==⋅︒+-⋅︒∈Z ∣与{}36090,B xx m m ==⋅︒+︒∈Z ∣之间的关系是()A.A BÜ B.B AÜ C.A B= D.A B =∅3.已知ϕ为第一象限角，若函数()()2cos cos f x x x ϕ=-+，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A B ．C ．34-D 4.有一块半径为2,圆心角为45︒的扇形钢板,从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大值为()A.2+B.2C.2- D.2+6.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,*n ∈N ,且21230a a =≠,也是等差数列,则n a =()A.nB.1n + C.89n D.8(1)9n +7.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1AB =，BC =O 的表面积为4π，则SA =()A.2B.18.如图,M 为四面体OABC 的棱BC 的中点,N 为OM 的中点,点P 在线段AN 上,且2AP PN =,设OA a = ,OB b = ,OC c = ,则OP = ()A.111366OP a b c=++ B.21131212OP a b c =++C.111366OP a b c=-+ D.2113126OP a b c =+-二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中，将一条xOz 平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz 平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，则下列说法正确的是()A.用平行于xOy 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B.用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C.用垂直于y 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D.用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知()f x 满足()()8f x f x =+,当[)0,8x ∈,()[)[)422,0,428,4,8x x f x x x ⎧--∈⎪=⎨-∈⎪⎩,若函数()()()21g x f x af x a =+--在[]8,8x ∈-上恰有八个不同的零点,则实数a 的取值范围为__________.13.记ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,()sin sin sin a A b B c C -=-,若ABC △外接圆面积为 π ,则ABC △面积的最大值为______.14.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品；有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张,求:（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值 ξ(元)的概率分布列和期望()E ξ.16.(15分)若数列{}n x 满足：存在等比数列{}n c ,使得集合{}*n n x c n +∈N 元素个数不大于k ()*k ∈N ,则称数列{}n x 具有()P k 性质.如数列1n x =,存在等比数列(1)n n c =-,使得集合{}{}*0,2nn xc n +∈=N ,则数列{}n x 具有(2)P 性质.若数列{}n a 满足10a =,()*11(1)22n n n a a n +=-+-∈N ,记数列{}n a 的前n 项和为n S .证明：（1）数列{}(1)n n a +-为等比数列；（2）数列{}n S 具有(2)P 性质.17.(15分)如图所示,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AB AD ⊥且1AB AD ==,2CD =,1AA =,M 是1DD 的中点.(1)证明1BC B M ⊥；(2)求点B 到平面1MB C 的距离.18.(17分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22,且过点()2,2P .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0M -作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且椭圆C 的左,右焦点分别为1F ,2F ,12F AF △,12F BF △的面积分别为1S ,2S ,求12S S -的最大值.19.(17分)已知函数()22(ln )(1)f x x a x =--,a ∈R .（1）当1a =时,求()f x 的单调区间；（2）若1x =是()f x 的极小值点,求a 的取值范围.2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：C解析：由复数()221i z m m m =+---是纯虚数,得22010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩,解得2m =-.故选：C.2.答案：C解析：当2()n k k =∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ；当21()n k k =+∈Z 时，36090()x k k =⋅︒+︒∈Z ，所以A B =.3.答案：D解析：由题意可得：()()2cos cos 2cos cos 2sin sin cos f x x x x x xϕϕϕ=-+=++()()2sin sin 2cos 1cos x x x ϕϕα=++=+，则=1cos 4ϕ=，且ϕ为第一象限角，则15sin 4ϕ=，故πππ132cos cos cos 33324f ϕϕϕ+⎛⎫⎛⎫=-+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.答案：C 解析：如图:在Rt OCB △中,设COB α∠=,则2cos ,2sin OB BC αα==,在Rt OAD △中,tan 451DAOA︒==,所以2sin OA DA α==,2cos 2sin AB OB OA αα∴=-=-,设矩形ABCD 的面积为S ,则()212cos 2sin 2sin 4(sin 2sin )2S AB BC ααααα=⋅=-⋅=-π2(sin 2cos 2)2224ααα⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,由于π04α<<,所以当π8α=时,2S 最大,故选:C解析：设{}n a 的公差为d ,由2123a a =,得12a d =,211(1)111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫+=++=+-+ ⎪⎝⎭,由题意知,此式为完全平方形式,全平方形式,故21202d a d ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得89d =或0(舍去),则1169a =,则n a =8(1)9n +.故选：D.7.答案：B解析：如下图所示：由SA ⊥平面ABC 可知SA AB ⊥，SA BC ⊥，又AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别为SA ，AB ，BC 三边长的长方体的外接球半径，设外接球半径为R ，由球O 的表面积为4π，可得24π4πR =，即1R =；又1AB =，BC =22224R AB BC SA =++，所以1SA =.故选：B.8.答案：A 解析：由题意,221211()333333OP OA AP OA AN OA ON OA OA ON ON OM=+=+=+-=+=+111()332OA OB OC =+⨯+111366a b c =++ 故选:A.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.答案：AB解析：因为马鞍面的标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，对于A，平行于xOy 平面的面中为常数，不妨设为()000z z ≠，得220222x y z a b-=，故所得轨迹是双曲线.，故A 正确；对于B，法向量为(1,0,0)的平面中为常数，不妨设为0x ，则222222b x y b z a=-+，为抛物线方程，故B 正确；对于C，垂直于y 轴的平面中y 为常数，不妨设为0y ，则222222a y x a z b=+，为抛物线方程，故C 错误；对于D，不妨设平面上的点坐标为(,,)A x y z ，因为平面过原点且法向量为(1,1,0)=n ，由0OA ⋅=n ，得0x y +=，故y x =-，代入马鞍面标准方程，得222112x z a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭，当a b =时，方程为0z =，不是物物线，故D 错误.故选：AB.10.答案：ACD解析：画出函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数()2f x x =,()2x g x =,()2log h x x =中,当(4,)x ∈+∞时,函数()2x g x =增长速度最快,()2log h x x =增长速度最慢.所以选项B 正确；选项ACD 不正确.故选：ACD.11.答案：AB解析：对于幂函数y x α=,若函数在()0,+∞上单调递增,则0α>,若函数在()0,+∞上单调递减,则0α<,所以0n <,D 选项错误；当1x >时,若y x α=的图象在y x =的上方,则1α>,若y x α=的图象在y x =的下方,则1α<,所以1p >,1m >,01q <<,C 选项错误；因为当1x >时,指数越大,图象越高,所以p m >,综上,10p m q n >>>>>,AB 选项正确.故选:AB三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.答案：95a -<<-解析：因为()()8f x f x =+,所以()f x 为周期是8的周期函数,则()()8042020f f --===,由()()()()()()21110g x f x af x a f x f x a =+--=-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,得()1f x =或()1f x a =--,作出函数()f x 在[]8,8x ∈-上的大致图象,如图,由图可知,在[]8,8x ∈-上,函数()f x 的图象与直线1y =有六个交点,即()1f x =时,有六个实根,从而()1f x a =--时,应该有两个实根,即函数()f x 的图象与直线1y a =--有两个交点,故418a <--<,得95a -<<-.故答案为：95a -<<-.13.答案：24+解析：由已知及正弦定理得222a b c =-,所以222a c b +-=,所以222cos 22a c b B ac +-==,又()0,πB ∈,所以6B π=.由ABC △的外接圆面积为 π ,得外接圆的半径为1.由正弦定理得2sin 1b B ==,所以221a c +-=,所以2212a c ac +=+≥,解得2ac ≤ABC △的面积112sin 244S ac B ac +==≤,当且仅当a c =时等号成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.答案：（1）23（2）分布列见解析,数学期望为:16.解析：（1）解法一:26210C 15211C 453P =-=-=,即该顾客中奖的概率为23.解法二:112464210C C C 302C 453P +===,即该顾客中奖的概率为23.（2）ξ的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).∴()26210C 10C 3P ξ===,()1136210C C 210C 5P ξ===()23210C 120C 15P ξ===,()1116210C C 250C 15P ξ===()1113210C C 160C 15P ξ===ξ∴的分布列为:ξ010205060P 1325115215115从而期望()121210102050601635151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.∴数学期望为:16.16.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析解析：（1）设(1)n n n b a =+-,则11b =-,111111(1)(1)(1)(1)22222n n n n n n n n n a a b a b +++=+-=-+---=---=-.因此数列{}(1)n n a +-是首项为1-,公比为12-的等比数列,且11(1)2n n n a -⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭；（2）由（1）,111(1)2n n n a --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,所以111(1)11212(1)11(1)623212n n n n n S ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=-=---+- ⎪--⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭,取数列2132n n r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,则{}n r 是等比数列,并且11(1)62n n n S r +=---,因此集合{}*21,33n n S r n ⎧⎫+∈=-⎨⎬⎩⎭N ∣,所以数列{}n S 具有(2)P 性质.17.答案：(1)见解析(2)233解析：(1)如图、连接BD,1AB AD == ，2 CD =，BD BC ∴==222BD BC CD ∴+=，BC BD ∴⊥，1BB ⊥ 平面ABCD ,1BB BC ∴⊥，又1BB BD B = ，BC ∴⊥平面11B BDD ,1B M ⊂ 平面11B BDD ，1BC B M ∴⊥.(2)连接BM ，11B D .由已知可得12,B M CM ====1B C ==，22211CM B M B C ∴+=，1B M CM∴⊥设点B 到平面1MB C 的距离为h ,由(1)知BC ⊥平面11B BDD ,∴三棱锥1C MBB -的体积111133MBB MB O BC S h S ⨯⨯=⨯△△，即111123232h =⨯⨯解得3h =,即点B 到平面1MB C的距离为3.18.答案：（1）221126x y +=解析：（1）由椭圆C 的离心率为22,且过点()2,2P得222222441c aa b a c b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2212,6,a b ⎧=⇒⎨=⎩椭圆C 的方程为221126x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时,12S S =,则120S S -=；当直线l 斜率存在且不等于零时,设直线()1:l y k x =+,联立()221,1,126y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22221242120k x k x k +++-=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则2122412kx x k +=-+,212221212k x x k-=+,1112S y =⨯,2212S =⨯,显然A ,B 在x 轴两侧,1y ,2y 异号,所以()()12121211S S y x k x -=+=+++224212k k k ⎛⎫=-+= ⎪+⎝⎭当且仅当12k k =,2k =±时,取等号.所以12S S -19.答案：（1）()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）(),1a ∈-∞解析：（1）当1a =时,()22ln 2()2(1)ln x f x x x x x x x '=--=-+,设2()ln g x x x x =-+,则1(21)(1)()21x x g x x x x -+-'=-+=,所以当(0,1)x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减,当1x =时,()g x 取得极大值(1)0g =,所以()(1)0g x g ≤=,所以()0f x '≤,()f x 在(0,)+∞上单调递减；（2）()22ln 2()2(1)ln x f x a x x ax ax x x'=--=-+设2()ln h x x ax ax =-+,则2121()2ax ax h x ax a x x-++'=-+=,(i)当0a <时,二次函数2()21F x ax ax =-++开口向上,对称轴为14x =,28a a ∆=+,当80a -≤<时,280a a ∆=+≤,()0F x ≥,()h x 单调递增,因为(1)0h =,所以当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点.当8a <-时,280a a ∆=+>,又104F ⎛⎫<⎪⎝⎭,(1)10F a =->,所以存在01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00F x =,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x >,()h x 单调递增,又(1)0h =,所以当()0,1x x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(ii)当0a =时,2ln ()x f x x'=,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =是()f x 的极小值点；(iii)当01a <<时,2()21F x ax ax =-++开口向下,对称轴为14x =,280a a ∆=+>,此时(1)10F a =->,故0(1,)x ∃∈+∞,使()00F x =,当01,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0F x >,()0h x '>,因此()h x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又(1)0h =,当1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减,当()01,x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以1x =为()f x 的极小值点；(iv)当1a >时,(1)10F a =-<,01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()00F x =,当()0,x x ∈+∞时,()0F x <,()0h x '<,因此()h x 在()0,x +∞上单调递减,又(1)0h =,当()0,1x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调递增,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 单调递减,所以1x =为()f x 的极大值点；(v)当1a =时,由（1）知1x =非极小值点.综上所述,(,1)a ∈-∞.。
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高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|-1＜x＜1}，B={y|y＞0}，则A∩（∁R B）=（）A. （-1，0）B. （-1，0]C. （0，1）D. [0，1）2.已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=（）A. 5B.C.D.3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知f（x）=2019x2018+2018x2017+…+2x+1，程序框图设计的是f（x）的值，在M处应填的执行语句是（）A. n=iB. n=2019-iC. n=i+1D. n=2018-i4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆x2+y2-6x=0截得的线段长为（）A. B. 3 C. D.5.将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等6.将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数g（x）在[π，2π]上的最大值为1B. 将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数g（x）图象的一个对称中心D. 函数g（x）在区间上为增函数7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如：[-2.1]=-3，[3.1]=3，已知函数，则函数y=[f（x）]的值域为（）A. {0，1，2，3}B. {0，1，2}C. {1，2，3}D. {1，2}8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 29.已知抛物线C：y2=2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为（）A. 2B. 3C.D. 410.已知平面向量满足，，，若对于任意实数k，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=1，，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则三角形PBB1面积的最小值为（）A. B. 1 C. D.12.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若xf'（x）+f（x）=e x（x-2）且f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（）A. （0，2）B. （0，3）C. （2，3）D. （3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知O为坐标原点，向量，，若，则=______．14.设实数x，y满足，则的取值范围为______．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C+2sin C cos B=sin A，，，，则b=______．16.已知函数，若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足：，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为S n，求满足的最小正整数n．18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若E在线段BC上，且，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D-CEG的体积．19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1．将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；电子阅读纸质阅读合计青少年中老年合计（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k0 2.0722.7063.8415.0246.635K2=．20.椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△AF1F2的周长为，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A，B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA，OB的斜率分别为k1，k2（O为坐标原点），且，求|OP|的取值范围．21.已知函数f（x）=ax lnx-bx2-ax．（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求a，b的值；（Ⅱ）若a≤0，时，∀x1，x2∈（1，e），都有，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，直线l的参数方程为为参数）．直线l与曲线C分别交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．23.设函数f（x）=|ax+1|+|x-a|（a＞0），g（x）=x2-x．（Ⅰ）当a=1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁R B={y|y≤0}；∴A∩（∁R B）=（-1，0]．故选：B．进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得2z=i-iz，则z=，∴|z|=．故选：C．3.【答案】B【解析】解：由题意，n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n=2019-i．故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．4.【答案】D【解析】解：∵双曲线的离心率e=，∴双曲线是等轴双曲线，则双曲线的一条渐近线为y=x，代入x2+y2-6x=0得x2+x2-6x=0，即x2-3x=0，得x=0或x=3，对应的y=0或y=3，则交点坐标为A（0，0），B（3，3），则|AB|==3，故选：D．根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线，得到双曲线的渐近线方程为y=x，联立方程求出交点坐标即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质以及直线和圆相交的弦长的计算，根据双曲线的离心率得到双曲线是等轴双曲线是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：对于A，甲的平均数为（26+28+29+31+31）=29，乙的平均数为（28+29+30+31+32）=30，故错误；对于B，甲队得分的中位数是29，乙队得分的中位数是30，故错误；对于C，甲成绩的方差为：s2=×[（26-29）2+（28-29）2+（29-29）2+（31-29）2+（31-29）2]=．乙成绩的方差为：s2=×[（28-30）2+（29-30）2+（30-30）2+（31-30）2+（32-30）2]=2．可得甲队得分的方差大于乙队得分的方差，故正确；对于D，甲的极差是31-26=5．乙的极差是32-28=4，两者不相等，故错误．故选：C．根据中位数，平均数，极差，方差的概念计算比较可得．本题考查了考查茎叶图的性质等基础知识，考查中位数，平均数，极差，方差的概念计算及运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=2sin x的图象向左平移个单位，可得y=2sin（x+）的图象，然后纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=2sin（x+）的图象，在[π，2π]上，+∈[，]，g（x）=2sin（x+）的最大值为，故A错误；将函数g（x）的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的解析式为y=2sin（x+），它不是奇函数，图象不关于原点对称，故B错误；当x=时，g（x）=≠0，故点不是函数g（x）图象的一个对称中心，故C错误；在区间上，+∈[，]，故函数g（x）在区间上为增函数，故D正确，故选D．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数值域的计算，结合分式函数的分子常数法先求出f（x）的取值范围是解决本题的关键，属于基础题.利用分式函数分子常数化，结合指数函数的性质先求出f（x）的取值范围，结合[x]的定义进行求解即可．【解答】解：==1+，∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，则0＜＜2，1＜1+＜3，即1＜f（x）＜3，当1＜f（x）＜2时，[f（x）]=1，当2≤f（x）＜3时，[f（x）]=2，综上函数y=[f（x）]的值域为{1，2}，故选：D．8.【答案】A【解析】解：几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，所以几何体的体积为：=．故选：A．画出几何体的直观图，是长方体的一部分，棱锥P-ABCD，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．9.【答案】C【解析】解：设直线AB的方程为：x=my+t，A（x1，y1），B（22，y2）．由⇒y2-2my-2t=0⇒y1y2=-2t由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=⇒y1y2=-4，∴t=2，即直线AB过定点（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．故选：C．利用由OA⊥OB⇒y1y2=-4，即可得直线AB过定点（2，0）．即可求抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为2-=．本题考查了抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由，，，得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，即△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，故选：B．由向量的模的运算得：易得=-1，又对于任意实数k，不等式恒成立，即对于任意实数k，不等式k22+t22＞1恒成立，即对于任意实数k，不等式k2-2tk+4t2-1＞0恒成立，由二次不等式恒成立问题得：△=4t2-4（4t2-1）＜0，解得：t或t，得解．本题考查了向量的模的运算、平面向量数量积的性质及其运算及二次不等式恒成立问题，属中档题11.【答案】C【解析】解：：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，设BR⊥AC，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与R重合时，BP=BR最短，此时△PBB1的面积最小，由等积法：BR×AC=BE×BF，=，∴BP=，又BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥BP，△PBB1为直角三角形，∴△PBB1的面积为：=，故选：C．由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．此题考查了线面平行，面面平行，有探索性质，设计较好，难度适中．12.【答案】B【解析】解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e x（x-2），可知当x∈（0，2）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e0（0-2）=-2＜0，，所以f（0）＜0，x∈（2，+∞）时，函数φ（x）是单调增函数，且f（3）=0，则φ（3）=3f（3）=0，则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，所以不等式f（x）＜0的解集为：{x|0＜x＜3}．故选：B．构造函数，φ（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】【解析】解：∵，；∴；∴；∴．故答案为：．根据即可求出，带入的坐标即可求出的坐标，从而求出．考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量坐标的加法运算．14.【答案】[-3，-]【解析】解：实数x，y满足约束条件的平面区域如图所示，A（-2，），B（-1，3），的几何意义是可行域上的点到原点的斜率；当直线为OA时，z有最大值为；当直线为OB时，z有最小值为-3；所以，的取值范围为：[-3，-]．故答案为：[-3，-]．先根据约束条件画出可行域，根据的几何意义求最值．本题主要考查了用平面区域表示二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．画出可行域，的几何意义是可行域上的点到原点的斜率，由图即可求解．15.【答案】【解析】解：∵sin C+2sin C cos B=sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，∴可得：sin C+sin C cos B=sin B cos C，∴sin C=sin B cos C-sin C cos B=sin（B-C），∵，，，可得B为锐角，sin B==，∴B-C∈（-，），∴C=B-C，可得：B=2C，∴cos B=cos2C=1-2sin2C=，可得：sin C=，cos C=，∴sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C==，∴由正弦定理可得：b===．故答案为：．由两角和与差的正弦函数公式化简已知等式可得sin C=sin（B-C），结合角的范围可求B=2C，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用二倍角公式可求sin C，进而可求cos C的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，根据正弦定理即可解得b 的值．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】（0，]【解析】解：∵函数f（x）有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x有两个极值点x1，x2，∴f′（x）=ae x-x=0有两个零点x1，x2，∴=x1，=x2，两式作比，得==，令x2-x1=t，①，则，②∴，代入①，得：，由②，得，∴t≥ln2，令g（t）=，t≥ln2，则g′（t）=，令h（t）=e t-1-te t，则h′（t）=-te t＜0，∴h（t）单调递减，∴h（t）≤h（ln2）=1-2ln2＜0，∴g（t）单调递减，∴g（t）≤g（ln2）=ln2，即x1≤ln2，∵a=，令μ（x）=，则＞0，∴μ（x）在x≤ln2上单调递增，∴μ（x）≤，∴a≤，∵f′（x）=ae x-x有两个零点x1，x2，μ（x）在R上与y=a有两个交点，∵，在（-∞，1）上，μ′（x）＞0，μ（x）单调递增，在（1，+∞）上，μ′（x）＜0，μ（x）单调递减，∴μ（x）的最大值为μ（1）=，大致图象为：∴0＜a＜，∵，，∴0＜a．∴实数a的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．由题意可得=x1，=x2，作比，得=，令x2-x1=t，结合条件将x1定成关于t的函数，求导分析得到x1的范围，再结合a=得到a的范围，与函数f（x）有两个极值点时a的范围取交集即可．本题考查利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用整体换元方法，体现了减元思想，是难题．17.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，当n≥2时，，两式相减得，，即a n=2n（n+1）（n≥2）．当n=1时，a1=4也符合，∴a n=2n（n+1）；（Ⅱ），∴=．由＞，解得n＞9．∴满足的最小正整数n=10．【解析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得（n≥2），与原递推式作差可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入，然后利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和为S n，再求解不等式得答案．本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD，又底面ABCD是菱形，∠BAD=，∴BF⊥AD，又PF∩BF=F，∴AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AD⊥BF，又PD⊥BF，AD∩PD=D，∴BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，∵平面ABCD∩平面PAD=AD，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，∴GH⊥平面ABCD，又∵GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD，∵，∴，∴，则=．【解析】（Ⅰ）连接PF，由已知可得PF⊥AD，BF⊥AD，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BFP，则AD⊥PB；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BF⊥平面PAD，则平面ABCD⊥平面PAD，进一步得到PF⊥平面ABCD，连接CF交DE于H，过H作HG∥PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，得到平面DEG⊥平面ABCD，然后利用等积法求四面体D-CEG的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）=1，解得a=0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01=41.5；（Ⅱ）根据题意填写列联表如下，电子阅读纸质阅读合计青少年9020110中老年603090合计15050200计算K2=≈6.061＞5.024，所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．【解析】（Ⅰ）根据频率和为1，列方程求出a的值，再计算数据的平均值；（Ⅱ）根据题意填写列联表，计算观测值，对照数表得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，所以a+c=2+…①，当A在上（或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即最大值为bc=…②，由①②及a2=c2+b2联立求得a=2，b=1，c=，可得椭圆方程为+y2=1，（Ⅱ）当直线AB的斜率k不存在时，直线OA的方程为，此时不妨取A（，），B（，-），P（，0），则|OP|=．当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，联立，消y得：（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=64k2m2-4（4k2+1）（4m2-4）=16（4k2-m2+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．∵，∴4y1y2+x1x2=0，⇒4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2═（1+4k2）x1x2+4km（x1+x2）+4m2=4m2-4-+4m2=0．整理，得：2m2=4k2+1，∴，△=16m2＞0．设P（x0，y0），，，∴|OP|2=．|OP|的取值范围为[，）．综上，|OP|的取值范围为[，]．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．（Ⅰ）由椭圆的定义可得2（a+c）=4+2，bc=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆方程，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，利用韦达定理，结合题设条件能求出|OP|的取值范围．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=a（1+ln x）-2bx-a=a ln x-2bx，由f′（1）=-2b=-1，得b=，又f（1）=-b-a=-，∴a=1．即a=1，b=；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3．即f（x1）-f（x2）＜3x2-3x1，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2．令g（x）=f（x）+3x，则g（x）在（1，e）上为单调增函数，∴有g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立．即a≥，x∈（1，e），令h（x）=，x∈（1，e），h′（x）=，令t（x）=ln x+，t′（x）=．∴t（x）在（1，e）上单调递减，t（x）＞t（e）=，则h′（x）＞0，h（x）在（1，e）上为单调增函数，∴h（x）＜h（e）=e-3，即a≥e-3．综上，e-3≤a≤0．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，利用f′（1）=-2b=-1，求得b，再由f（1）=-b-a=-求解a；（Ⅱ）当a≤0，时，f′（x）=a ln x-x＜0，f（x）在（1，e）上单调递减，不妨设x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），原不等式即为＜3，即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2，构造函数g（x）=f（x）+3x，得到g′（x）=f′（x）+3=a ln x-x+3≥0在（1，e）上恒成立，分离参数a，得到a≥，x∈（1，e），再由导数求函数h（x）=，x∈（1，e）的最值，可得a的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查化归与转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，转换为直角坐标方程为：．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（-2，0）．把直线l的参数方程为为参数）．代入椭圆的方程为：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：t1•t2=-4．故：|PM|•|PN|=|t1•t2|=4（Ⅱ）由椭圆的直角坐标方程转换为（），所以：以A为顶点的内接矩形的周长为4（2）=16sin（）（）所以：当时，周长的最大值为16．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程为进行转换，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.【答案】解：（1）当a=1时，g（x）≥f（x）⇔或或，解得x≤-1或x≥3，所以原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}（2）f（x）=，当0＜a≤1时，f（x）min=f（a）=a2+1≥2，a=1；当a＞1时，f（x）max=f（-）=a+≥2，a＞1，综上：a∈[1，+∞）【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．（1）分3种情况去绝对值，解不等式组再相并；（2）按照0＜a≤1和a＞1求出分段函数的最小值，由最小值大于等于2可得．。