2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(2)

2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（ ） A ．3B ．1C ．−12D ．133．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（ ） A ．−2425B ．−725C ．1625D ．854．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →=−2FB →，则|AB |＝（ ） A ．3B ．6C ．9D ．126．（5分）为计算S ＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入（ ）A ．i ≤101和N ＝N +（i +1）3B ．i ＜99和N ＝N +（i +1）2C ．i ≤99和N ＝N +（i +1）2D ．i ＜101和N ＝N +（i +1）37．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ） A ．f （x ）＝xlnx B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝sin2xD ．f （x ）＝x 3﹣x8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →⋅AB →=（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．4D ．99．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．√105C ．√155D ．√6310．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2+√2C ．2D ．√2+√211．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x 3f′(x)+f(x)＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x|−1＜x ＜−13}C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞−13}12．（5分）如图，正三棱锥S ﹣ABC 中，侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角等于α，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，PQ ＝PS •sin α，则动点P 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆C ．一段圆弧D ．一段抛物线二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．（3分）若a =∫ ln3e x dx ，则(x 2−ax )6）展开式的常数项为 ．14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种（用数字回答）．15．（3分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4．若f （x ）＜1在区间（m ﹣1，﹣2m ）上恒成立．则实数m 的取值范围是 ．16．（3分）在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 ．三．解答题（共5小题，满分24分）17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1＝S n +2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜136．18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ． （Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）若∠BAC =π2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．乙生产线样本的频数分布表质量指标值[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]合计频数2184811162100（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据，①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计合格品 不合格品 合计附： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．20．已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值． 21．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1−t y =2t ，（t 为参数）．（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|．（1）若不等式f （x ）＝x +m 有解，求实数m 的取值范围：（2）函数f （x ）的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝n ，证明：4ab +bc +ac ≥8abc ．2020年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）i 是虚数单位，x ，y 是实数，x +i ＝（2+i ）（y +yi ），则x ＝（ ） A ．3B ．1C ．−12D ．13【解答】解：（2+i ）（y +yi ）＝y +3yi ， 所以3y ＝1，x ＝y =13， 故选：D ．3．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P （﹣3，4），则sin2α＝（ ） A ．−2425B ．−725C ．1625D ．85【解答】解：∵终边上点P （﹣3，4），∴sin α=45，cos α=−35， ∴sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425． 故选：A ．4．（5分）空气质量指数AQI 是反应空气质量状况的指数，AQI 越小，表明空气质量越好．如表： AQI 指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某城市5月1日～5月20日AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于200B ．这20天中的重度污染及以上的天数占110C ．该城市5月前半个月的空气质量越来越好D ．该城市5月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【解答】解：A 选项中高于200的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占320，错误；C 选项4号到15号空气污染越来越严重，错误；对于D 选项，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确． 故选：D ．5．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA →=−2FB →，则|AB |＝（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0）和准线l ：x ＝﹣1， 设A （﹣1，a ），B （m ，n ），∵FA →=−2FB →，可得|F A |：|AB |＝2：3，|FD |：|BC |＝2：3，|BC |＝3， ∴m ＝2，n 2＝4×2，n ＝2√2，a ＝﹣4√2，AB =√32+(6√2)2=9， 故选：C ．6．（5分）为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在和两个空白框中分别可以填入（）A．i≤101和N＝N+（i+1）3B．i＜99和N＝N+（i+1）2C．i≤99和N＝N+（i+1）2D．i＜101和N＝N+（i+1）3【解答】解：程序框图为计算S＝1+23+32+43+52+…+992+1003，则终止程序运行的i值为101，∴判断框处应为i＜101，又知偶数列加的是立方和，所以应填N＝N+（i+1）3，故选：D．7．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（）A．f（x）＝xlnx B．f（x）＝e x﹣e﹣xC．f（x）＝sin2x D．f（x）＝x3﹣x【解答】解：对于A，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数；对于B ，f （x ）＝﹣f （x ）奇函数，且f ′（x ）＝e x +e ﹣x ＞0，即在（0，1）上是增函数；对于C ，f （x ）＝﹣f （x ） 奇函数，正弦函数sin2x 周期为π，易知在（0，1）上先增后减；对于D ，f （x ）＝﹣f （x ） 奇函数，易知f （x ）在（0，1）上先减后增； 故选：B ．8．（5分）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点D 、E 分别在线段AB 、CD 上，且BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则BE →⋅AB →=（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．4D ．9【解答】解：如图，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，∴BE →⋅AB →=(BD →+DE →)⋅AB →=(−23AB →+13DC →)⋅AB →=[−23AB →+13(DA →+AC →)]⋅AB →=[−23AB →+13(−13AB →+AC →)]⋅AB →=(−79AB →+13AC →)⋅AB →=−79AB →2+13AB →⋅AC →=−79×9+13×3×2×12＝﹣6． 故选：B ．9．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为（ ） A ．12B ．√105C ．√155D ．√63【解答】解：如图，∵∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝BB 1＝1，∠B 1BC ＝∠B 1BA ＝90°，∴AB 1→⋅BC 1→=(−BA →+BB 1→)⋅(BC →+BB 1→) =−BA →⋅BC →−BA →⋅BB 1→+BB 1→⋅BC →+BB 1→2=−2×1×(−12)+1 ＝2，又|AB 1→|=√5，|BC 1→|=√2， ∴cos ＜AB 1→，BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→||BC 1→|=10， ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的正弦值为√155． 故选：C ．10．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．2+√2C ．2D ．√2+√2【解答】解：以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2， 联立双曲线的方程b 2x 2﹣a 2y 2＝a 2b 2，可得x 2=a 2(c 2+b 2)c 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，可得x 2＝y 2=12c 2， 即有c 4﹣4a 2c 2+2a 4＝0， 由e =ca ，可得e 4﹣4e 2+2＝0， 解得e 2＝2+√2（2−√2舍去）， 则e =√2+√2．故选：D ．11．（5分）已知定义在R 上的奇函数f （x ），其导函数f '（x ），当x ≥0时，恒有x3f′(x)+f(x)＞0，则不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为（ ）A ．{x |﹣3＜x ＜﹣1}B ．{x|−1＜x ＜−13}C ．{x |x ＜﹣3或x ＞﹣1}D ．{x |x ＜﹣1或x ＞−13}【解答】解：根据题意，不妨设g （x ）＝x 3f （x ）， 则当x ≥0时，g ′(x)=3x 2[f(x)+x 3f′(x)]≥0， 则g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 又g （x ）＝x 3f （x ）为偶函数， 则g （x ）＝g （|x |），x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0⇔x 3f （x ）＜（1+2x ）3f （1+2x ），即g （x ）＜g （1+2x ）， 可知g （|x |）＜g （|1+2x |），则|x |＜|1+2x |，解得：x ＜﹣1或x ＞−13，所以不等式x 3f （x ）﹣（1+2x ）3f （1+2x ）＜0的解集为：{x|x ＜−1或x ＞−13}， 故选：D ．12．（5分）如图，正三棱锥S ﹣ABC 中，侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角等于α，动点P 在侧面SAB 内，PQ ⊥底面ABC ，垂足为Q ，PQ ＝PS •sin α，则动点P 的轨迹为（ ）A ．线段B ．圆C ．一段圆弧D ．一段抛物线【解答】解：如图：过点P 作AB 的垂线段PR ，连接RQ ，则RQ 是PR 在面ABC 内的射影，由三垂线定理得逆定理得，QR ⊥AB ，∠PRQ 为侧面SAB 与底面ABC 所成的二面角α，直角三角形PRQ 中，sin α=PQPR ，又已知 PQ ＝PS •sin α，∴sinα=PQPS，∴PQPR=PQPS，∴PS＝PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为一段抛物线，故选：D．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）若a=∫ln3e x dx，则(x2−a x)6）展开式的常数项为240．【解答】解：若a=∫ln3e x dx=e x|0ln3=e ln3﹣e0＝2，则(x2−a x)6=(x2−2x)6，它的展开式通项公式为T r+1=C6r•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为C64•16＝240，故答案为：240．14．（3分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有135种（用数字回答）．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，A不坐自己的位置，有3种坐法，假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，剩下C、D，只有一种坐法，则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；故答案为：135．15．（3分）已知函数f（x）＝x2﹣4x﹣4．若f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立．则实数m的取值范围是[0，13）．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣4x﹣4，所以f（x）＜1⇔x2﹣4x﹣5＜0⇔﹣1＜x＜5，即解集为（﹣1，5）．因为f（x）＜1在区间（m﹣1，﹣2m）上恒成立，所以（m﹣1，﹣2m）⊆（﹣1，5），所以﹣1≤m﹣1＜﹣2m≤5，且两个等号不同时成立，所以0≤m＜1 3，故答案为：[0，13 )．16．（3分）在△ABC中，角A的平分线交BC于D，BD＝3，CD＝2，则△ABC面积的最大值为15．【解答】解：如图，由角平分线可得：ABBD =ACDC，即AB3=AC2，设AB＝3x，AC＝2x，则cosA=9x2+4x2−2512x2=13x2−2512x2，则有sinA=√1−(13x2−2512x2)2=512x2√−x4+26x2−25，∴S△ABC=12AB•AC•sin A=12⋅3x⋅2x⋅512x2•√−x4+26x2−25 =54√−x4+26x2−25=54√−(x2−13)2+144≤15，当x＝13时，取得最大值15．故答案为：15．三．解答题（共5小题，满分24分）17．（12分）已知等差数列{a n }满足a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，2S n +1＝S n +2．（1）求{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n2，n 为偶数，证明：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜136．【解答】解：（1）（基本量法求等差等比通项）等差数列{a n }的公差设为d ， a 2＝2a 1，a 4+a 5＝9，可得a 1+d ＝2a 1，2a 1+7d ＝9，解得a 1＝d ＝1， 可得a n ＝n ；由2S n +1＝S n +2得2S n ＝S n ﹣1+2，n ≥2， 两式相减整理得2b n +1＝b n ，可得公比q =12， 由2（b 1+12b 1）＝b 1+2，解得b 1＝1，∴b n =12n−1；（2）证法1：（应用放缩和错位相减求和证明不等式）c n ={34a n b n ，n 为奇数1a n 2，n 为偶数=={34n ⋅12n−1，n 为奇数1n 2，n 为偶数， ∁n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ，A k ＝c 1+c 3+…+c 2k ﹣1，B k ＝c 2+c 4+…+c 2k ， A k =34（14+34+⋯+2k−14），14A k =34（14+34+⋯+2k−14），两式相减整理得34A k =34（1+12+18+⋯+122k−3−2k−14k ）=34（1+12(1−14k−1)1−14−2k−14k ）， 可得A k =53−(2k +53)14k ＜106， 又因为（2k ）2＞（2k ﹣1）（2k +1），∴B k =122+142+⋯+1(2k)2＜12(11−13+13−15+⋯12k−1−12k+1)＜12=36． 所以B k =122+142+⋯+1(2k)2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=136． 证法2：（应用放缩和裂项求和证明不等式） 令d n =(an +b)14n−1，2n−14=d n+1−d n 化简整理得：d n =(−83n +49)14n−1，∴A k=d k+1−d 1=53−(2k +53)14k ＜106，T n =112+122+132+⋯+12＜1+11×2+12×3+⋯1(n−1)×n =2−1n ＜2，122T n =122+14+⋯+1(2n)＜12−14n＜12，所以B k =122+142+⋯+1(2k)2＜36，∴C n =A k +B k ＜106+36=136． 18．如图，已知平面BCE ⊥平面ABC ，直线DA ⊥平面ABC ，且DA ＝AB ＝AC ． （Ⅰ）求证：DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）若∠BAC =π2，DE ⊥平面BCE ，求二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，∵平面BCE ⊥平面ABC ，又平面BCE ⊥平面ABC ＝BC ，EH ⊂平面BCE ， ∴EH ⊥平面ABC ，又∵DA ⊥平面ABC ，∴AD ∥EH ， ∵EH ⊂平面BCE ，DA ⊄平面BCE ， ∴DA ∥平面EBC ；（Ⅱ）∵DE ⊥平面BEC ，∴∠DEB ＝∠DEC =π2，又∵DB ＝DC ，DE ＝DE ，∴△DEB ≌△DEC ，则BE ＝CE ， ∴点H 是BC 的中点，连接AH ，则AH ⊥BC ， ∴AH ⊥平面EBC ，则DE ∥AH ，AH ⊥EH ． ∴四边形DAHE 是矩形．以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设DA ＝2a ，则E （a ，a ，2a ），C （2a ，0，0），D （0，0，2a ）， 设平面DEC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， ∵DE →=(a ，a ，0)，DC →=(2a ，0，−2a)．由{n →⋅DE →=ax +ay =0n →⋅DC →=2ax −2az =0，取x ＝1，得n →=(1，−1，1)； 又平面DAC 的一个法向量为m →=(0，1，0)， 设二面角A ﹣DC ﹣E 的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√33，又∵二面角A ﹣DC ﹣E 是钝角，则二面角A ﹣DC ﹣E 的余弦值为−√33．19．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品． 乙生产线样本的频数分布表质量指标值 [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） [40，45] 合计 频数2184811162100（1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于25的产品中任取2件，求两件都为合格品的概率；（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， ①绘制两条生产线合格率的等高条形图（图2）；②完成下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关？若有97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？甲生产线乙生产线合计 合格品 不合格品 合计附： P （K 2≥k 0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.879K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【解答】解：（1）由频率约等概率可得答案为：18×1720×19=153190，（2）条形图如下：根据题目所给的数据填写2×2列联表如下：甲生产线 乙生产线 合计 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计100100200K 2=200(86×4−96×14)2182×18×100×100≈6.105＞5.024所以有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关， 甲生产线的合格率86100，乙产线的合格率96100，因此保留乙生产线较好． 故答案为：（1）153190，（2）有97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关，保留乙生产线较好， 20．已知函数f(x)=x 2−2ax −ln 1x，a ∈R ． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），求f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值．【解答】解：（1）f ′（x ）＝2x ﹣2a +1x =2x 2−2ax+1x，x ＞0，令y ＝2x 2﹣2ax +1，当△＝4a 2﹣8≤0，即−√2≤a ≤√2时，y ≥0，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＜−√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个负根，此时f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞√2时，2x 2﹣2ax +1＝0有两个正根，分别为x 1=a−√a 2−22，x 2=a+√a 2−22，此时f （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减． 综上可得：a ≤√2时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增， a ＞√2时，f （x ）在（0，a−√a 2−22），（a+√a 2−22，+∞）上单调递增，在（a−√a 2−22，a+√a 2−22）上单调递减．（2）由（1）可得x 1+x 2＝a ，x 1•x 2=12，a ＞√2， 2ax 1＝2x 12+1，2ax 2＝2x 22+1， ∵a ＞√2，a2＞√22， ∴x 1∈（0，√22），x 2∈（√22，+∞），f （x 2）﹣2f （x 1）=x 22−2ax 2+lnx 2﹣2（x 12−2ax 1+lnx 1） =−x 22+2x 12+lnx 2﹣2lnx 1+1 =−x 22+2(12x 2)2+lnx 2+2ln 12x 2+1=−x 22+12x22+32ln x 22+1+2ln 2， 令t =x 22，则t ＞12，g （t ）＝﹣t +12t +32lnt +1+2ln 2，g ′（t ）＝﹣1−12t 2+32t =−2t 2+3t−12t 2=−(2t−1)(t−1)2t2， 当12＜t ＜1时，g ′（t ）＞0；当t ＞1时，g ′（t ）＜0，∴g （t ）在（12，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减 g （t ）max ＝g （1）=1+4ln22f （x 2）﹣2f （x 1）的最大值为1+4ln22．21．已知动圆C 与圆C 1：(x −2)2+y 2=1外切，又与直线l ：x ＝﹣1相切．设动圆C 的圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）在x 轴上求一点P （不与原点重合），使得点P 关于直线y =12x 的对称点在曲线E 上．【解答】解：解法一：（1）依题意得圆心C 到于直线x ＝﹣2的距离等于到圆C 1圆心的距离，所以C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线x ＝﹣2为准线的抛物线， 设其方程y 2＝2px （p ＞0），则p2=2，p ＝4，所以曲线E 的方程为y 2＝8x ．（2）设P （t ，0），P 关于直线y =12x 的对称点为P 1（m ，n ），则{nm−t=−2，n 2=12(m+t 2)，即{2m +n =2t ，2n −m =t ，解得{m =35t ，n =35t.代入曲线E 得1625t 2=245t ，解得t ＝0（舍去），t =152，即点P 的坐标为(152，0)． 解法二：（1）设圆心C （x ，y ），依题意x ≥﹣1， 因为圆C 与直线l ：x ＝﹣1相切，所以r ＝x +1， 又圆C 与圆C 1外切，所以|CC 1|＝r +1， 即√(x −2)2+y 2=x +2， 化简得曲线E 的方程为y 2＝8x ． （2）同解法． 四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l 的参数方程是{x =1−ty =2t ，（t 为参数）．（Ⅰ）求椭圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 的交点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），求线段MN 的长度． 【解答】解：（Ⅰ）椭圆C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．所以c ＝1，a =√2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ2=21+sin 2θ．第21页（共21页）（Ⅱ）直线l 的参数方程是{x =1−t y =2t，（t 为参数）．转换为直角坐标方程为2x +y ﹣2＝0． 设交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），所以{2x +y −2=0x 22+y 2=1，整理得9x 2﹣16x +6＝0， 所以x 1+x 2=169，x 1x 2=69，所以|MN|=√1+(−2)2|x 1﹣x 2|=√5√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=109√2． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|．（1）若不等式f （x ）＝x +m 有解，求实数m 的取值范围：（2）函数f （x ）的最小值为n ，若正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝n ，证明：4ab +bc +ac ≥8abc ．【解答】解：（1）设g （x ）＝f （x ）﹣x ＝|x ﹣3|+|x ﹣1|﹣x ，则g(x)={−3x +4，x ≤1−x +2，1＜x ＜3x −4，x ≥3，所以g （x ）在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）单调递增．故g （x ）min ＝g （3）＝﹣1∵g （x ）≤m 有解，∴m ≥﹣1综上所述：m ∈[﹣1，+∞）证明（2）：由（1）可知，n ＝2，即a +b +c ＝2，欲证原不等式，只需证：4c+1a +1b ≥8， 只需证：(4c +1a +1b )(a +b +c)≥8×2，只需证：4a c +1+a b +4b c +b a +1+4+c a +c b ≥16，因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式易得上式成立，当且仅当c ＝2a ＝2b 时取等． 所以4ab +bc +ac ≥8abc 成立。