高考状元数学错题本：第9章复数易错题含解析

我的高考数学错题本
第9章 复数易错题
易错点1．对复数的相关概念混淆不清
【例1】 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若C z ∈，则02≥z ；（3）若,,21C z z ∈且021>-z z ，则21z z >;（4）221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==．其中正确的有 个．
【错解】4个
【错因】（1）当得到bi z z 2=-时就认为是纯虚数，忽略了b 可以为0的条件．
（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中．（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中．（4）把等式性质错误的推广到复数中．
【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为bi a z +=及bi a z -=（R b a ∈,），则bi z z 2=-或bi z z 2-=-，当0≠b 时，z z z z --,是纯虚数，当0=b 时，0,0=-=-z z z z ；（2）错，反例设i z =则0122<-==i z ；（3）错，反例设i z i z +=+=2,321满足0121>=-z z 但21,z z 不能比较大小；（4）错，设11z =，2z i =，31z =-，则221223()()0z z z z -+-=，但它们并不相等．故答案是0个．
易错点2．对复数的几何意义理解不够
【例2】【2016高考新课标2理数】已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）
（A ）(31)
-， （B ）(13)-， （C ）(1,)∞+ （D ）(3)∞--， 【错解】要使复数对应的点在第四象限应满足：3010
m m +<⎧⎨->⎩，无解.
【错因】没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的点对应.
【正解】要使复数对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩
，解得3m 1-<<，故选A.
易错点3．对复数的模理解不透
【例3】.【2016新课标理】设(1)=1+,x i yi +其中x ,y 实数,则i =x y +( )
（A ）1 （B （C （D ）2
【错解】因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,x xi yi x y x +==，=112x yi ++=，故选D.
【答案】不理解复数的模的公式
【正解】因为(1)=1+,x i yi +
所以=1+,=1,1,||=|1+|x xi yi x y x x yi i +==+=故选B.
易错点4．复数相等的条件应用出错
【例4】已知是实数，y 是纯虚数，且满足(21)(1)x i y y i ++=+-，求x 与y 的值．
【错解】根据复数相等的充要条件，可得2111x y y +=⎧⎨=-⎩，解得122
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。

【正解】依题意设(,0)y bi b R b =∈≠，带入关系式(21)(1)x i y y i ++=+-，整理得：
(21)(1)x i b b i ++=-+-，根据根据复数相等的充要条件，可得2111x b b +=-⎧⎨=-⎩，解得322x b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则有322x y i
⎧=-⎪⎨⎪=⎩．
易错点5．复数的“模”与“绝对值”混淆出错
【例5】在复数范围内解不等式2431z z z -+<-． 【错解】原不等式311z z z ⇔--<-1(31)0z z ⇔---<，10z -≥ ，31z ∴-<． 131z ∴-<-<即有24z -<<． 【错因】把实数中绝对值的性质“)0(><<-⇔<a a x a a x ”生搬硬套到复数模中来． 【正解】原不等式311z z z ⇔--<-1(31)0z z ⇔---<，10z -≥ ，31z ∴-<，且1≠z ． 其解为以点（3，0）为圆心，1为半径的圆内部，且去除点（1，0）．
易错点6．方程有解的条件判断出错
【例6】已知关于x 的方程02)2(2=++++ki x i k x 有实数根，求实数k 应满足的条件．
【错解】由于方程有实数根，得0)2(4)2(2≥+-+=∆ki i k ，解得32≥k 或32-≤k
【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件0≥∆，方程有实数根时，可把实数根0x x =代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出0x 和的值即可．
【正解】设0x x =是方程的实数根，代入方程并整理得0)2()2(002
0=++++i k x kx x ，
由复数相等的充要条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++02020020k x kx x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2220k x 或⎪⎩⎪⎨⎧-==2220k x ．
易错点7．对复数的运算不熟悉致错。