【精选】新课标Ⅱ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析理

专题09 圆锥曲线一．基础题组1. 【2012全国，理3】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为( ) A． B．C． D．【答案】 C【解析】∵焦距为4，即2c＝4，∴c＝2.又∵准线x＝－4，∴.∴a2＝8.∴b2＝a2－c2＝8－4＝4.∴椭圆的方程为，故选C项．2. 【2006全国2，理5】已知△ABC的顶点B, C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是（）A.2B.6C.4D.12【答案】:C3. 已知双曲线的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】:A【解析】:的渐近线方程为±=0.∴y=±x.由y=x,可知=,设a=3x,b=4x,则c=5x,∴E=.∴选A.4. 【2005全国2，理6】已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为（）(A) (B) (C) (D)【答案】C5. 【2011新课标，理14】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．【答案】【解析】6.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为A．2B．C．D．【答案】A【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7. 【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．【答案】6【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．二．能力题组1. 【2014新课标，理10】设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O 为坐标原点，则△OAB的面积为（）A. B. C. D.【答案】D2. 【2012全国，理8】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )A． B． C． D．【答案】C【解析】3. 【2011新课标，理7】设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A．B．C． 2 D．3【答案】B【解析】4. 【2005全国3，理9】已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M 到x轴的距离为（）A．B．C．D．【答案】C5. 【2010全国2，理15】已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若＝，则p＝________.【答案】：26. 【2014全国2，理20】设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【解析】（Ⅰ）由题意知，，所以，由勾股定理可得：，由椭圆定义可得：=，解得C的离心率为。

（Ⅱ）由题意，原点O为的中点，∥y轴，所以直线与y轴的交点D（0，2）是线段的中点，故，即，由得，设，由题意知，则，即，代入C的方程得，将及代入得：，解得，.7. 【2013课标全国Ⅱ，理20】(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：(a＞b ＞0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．【解析】：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则，，，由此可得.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为.由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝.由已知，四边形ACBD的面积.当n＝0时，S取得最大值，最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.8. 【2011新课标，理20】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，，M点的轨迹为曲线C．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值【解析】：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)． 所以＝(－x ，－1－y )，＝(0，－3－y )，＝(x ，－2)．再由题意可知，即(－x ，－4－2y )·(x 1，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.9. 【2010全国2，理21】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切． 【解析】：(1)由题设知，l 的方程为y ＝x ＋2. 代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0， 设B (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝－， ①由M (1,3)为BD 的中点知＝1，故×＝1，即b2＝3a2，②故c＝＝2a，所以C的离心率e＝＝2.(2)由①②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－＜0，故不妨设x1≤－a，x2≥a.|BF|＝＝＝a－2x1，|FD|＝＝＝2x2－a.10. 【2005全国3，理21】（本小题满分14分）设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.【解析】：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，∴上述条件等价于∵，∴上述条件等价于即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理11】设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【答案】：C【解析】：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.2. 【2013课标全国Ⅱ，理12】已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．C． D．【答案】：B【解析】：3. 【2010全国2，理12】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k ＞0)的直线与C相交于A、B两点，若＝3，则k等于( )A．1 B. C. D．2【答案】：B4. 【2005全国3，理10】设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率（）A． B． C．D．【答案】D5. 【2012全国，理21】已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋(y－)2＝r2(r＞0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【解析】：(1)设A(x0，(x0＋1)2)，对y＝(x＋1)2求导得y′＝2(x＋1)，故l的斜率k＝2(x0＋1)．当x0＝1时，不合题意，所以x0≠1.圆心为M(1，)，MA的斜率.由l⊥MA知k·k′＝－1，即2(x0＋1)·＝－1，解得x0＝0，故A(0,1)，r＝|MA|＝，即.(2)设(t，(t＋1)2)为C上一点，则在该点处的切线方程为y－(t＋1)2＝2(t＋1)(x－t)，即y＝2(t＋1)x－t2＋1.若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，即，化简得t2(t2－4t－6)＝0，解得t0＝0，，.抛物线C在点(t i，(t i＋1)2)(i＝0,1,2)处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y＝2x＋1，①y＝2(t1＋1)x－t12＋1，②y＝2(t2＋1)x－t22＋1，③②－③得.将x＝2代入②得y＝－1，故D(2，－1)．所以D到l的距离.6. 【2006全国2，理21】已知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且=λ(λ>0).过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(1)证明·为定值;(2)设△ABM的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.所以·为定值,其值为0.(2)由(1)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=|AB||FM|.|FM|=== ==.因为|AF|,|BF|分别等于A,B到抛物线准线y=-1的距离,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ++2=()2.于是S=|AB||FM|=()3,由≥2,知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.7. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．8. 【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，或．（Ⅱ）四边形能为平行四边形．因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．9. 【2016高考新课标2理数】已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为（A）（B）（C）（D）2【答案】A【考点】双曲线的几何性质、离心率【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．10. 【2016高考新课标2理数】已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当时，求k的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（II）由题意，，.将直线的方程代入得.由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值范围是.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．11. 【2017课标II，理20】（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线上，且．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【答案】（1）；（2）证明略．【解析】（2）由题意知．设，则，．由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C 的左焦点F．【考点】轨迹方程的求解、直线过定点问题【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．。