历年平面向量高考试题汇集
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分）1.已知向量，则＝（）A. B. C. 4 D. 52.若向量，，若，则A. B. 12 C. D. 33.已知平面向量，，且，则＝（）A. B. C. D.4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.5.在中，的中点为，的中点为，则（）A. B. C. D.6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A. B. C. D.7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（）A. 0B.C. 2D. 18.已知，则的取值范围是（）A. [0，1]B.C. [1，2]D. [0，2]9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A. B. C. 5 D.10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共8分）11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________．12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________．13.已知正方形的边长为1，，，，则________.14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________．15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________.16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________.17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________.18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则________.三、解答题（共6题；共60分）19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）已知直线：与曲线交于两点，若，求的值.21.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）已短直线与椭交于A、B两点，点P的坐标为，且,求实数m 的值.22.已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图,在平面直角坐标系中,己知抛物线的焦点为,点是第一象限内抛物线上的一点,点的坐标为（1）若,求点的坐标;（2）若为等腰直角三角形,且,求点的坐标;（3）弦经过点,过弦上一点作直线的垂线,垂足为点,求证:“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“ 为弦的中点”.24.已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.答案一、单选题1. D2. D3. B4. C5. B6. C7. D8. D9. B 10. C二、填空题11. （﹣1，﹣3）12. 13. 14. 15.16. 17. 18.三、解答题19. 解：（Ⅰ）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.20. （1）解：设，.且点，由点为的中点，所以整理得.即，化为极坐标方程为.（2）解：设直线：的极坐标方程为.设，，因为，所以，即.联立整理得.则解得.所以，则.21. （1）解：设椭圆的焦距为，由已知有，又由，可得，由点在椭圆上，有，由此可得，椭圆的方程为（2）解：设点A的坐标，点B的坐标,由方程组，消去y，整理可得，①由求根公式可得，②由点P的坐标为，可得，故，③又，，代入上式可得，由已知，以及②，可得，整理得，解得，这时，①的判别式，故满足题目条件，.22. （1）解：由题意可知，，又，解得，所以，所以椭圆的方程为．（2）解：若直线不l垂直于x轴，可设的方程为．由得．．设，，则，．设，则，，要使得（为常数），只要，即．对于任意实数k，要使式恒成立，只要，解得．若直线l垂直于x轴，其方程为，此时，直线l与椭圆两交点为，，取点，有，，．综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得．23. （1）解：点是第一象限内抛物线上的一点,且设,则解得: ,即.（2）解：设,由,可得: ,①又等腰,得点在轴投影为、中点,即: .将, 代入①得: , (舍去)点坐标为.（3）解：过点设为: ,点,点,其中点,可得: 联立直线与抛物线得,消掉可得:根据韦达定理可得:设点处抛物线得切线为联立直线与抛物线得: ,消掉可得:,可得: 过处切线方程为化简得求切线与直线得交点可得轴,与相切时, 为中点以上各步骤,均可逆“直线与抛物线相切”的一个充要条件是“ 为弦的中点”.24. （1）解：设，，则，，两式相减得：，由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，设其斜率为，由式得，即.由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得. 又，所以斜率的取值范围为.（2）解：由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，所以，，设，则，，，，同理可得，因为点在椭圆上，所以，解得.当时，，直线的方程为，代入得，由根与系数关系得.则.由对称性知，当时也成立，.。
高考数学真题汇编---平面向量(有解析)
高考数学真题汇编---平面向量学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=||C．∥D．||＞||2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．23．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣14．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=•，I2=•，I3=•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I35．（2016•新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C ．6 D．87．（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（2016•山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．（2016•四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，•=•=•=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）11．（2017•山东）已知向量=（2，6），=（﹣1，λ），若，则λ=．12．（2017•新课标Ⅲ）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．13．（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．15．（2017•山东）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是．16．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．17．（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为．18．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．19．（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．20．（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m=．21．（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．22．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．23．（2016•山东）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为．24．（2016•新课标Ⅰ）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．25．（2016•浙江）已知平面向量，，||=1，||=2，=1，若为平面单位向量，则||+||的最大值是．26．（2016•上海）如图，已知点O（0，0），A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是．27．（2016•江苏）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，•=4，•=﹣1，则•的值是．28．（2016•北京）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为．29．（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点A i，A j，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是．30．（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三．解答题（共1小题）31．（2017•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，= =3，求A和a．﹣6，S△ABC高考数学真题汇编---平面向量参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】由已知得，从而=0，由此得到．【解答】解：∵非零向量，满足|+|=|﹣|，∴，解得=0，∴．故选：A．2．【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC•CD=BD•r，∴r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．3．【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣，故选：B．4．【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选：C．5．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC 的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：C．【分析】若⊥（t+），则•（t+）=0，进而可得实数t的值．【解答】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．【分析】由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．运用向量的数量积定义可得△ABC的边长，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，求得B，C的坐标，再设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由中点坐标公式可得M的坐标，运用两点的距离公式可得BM的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由==，可得D为△ABC的外心，又•=•=•，可得•（﹣）=0，•（﹣）=0，即•=•=0，即有⊥，⊥，可得D为△ABC的垂心，则D为△ABC的中心，即△ABC为正三角形．由•=﹣2，即有||•||cos120°=﹣2，解得||=2，△ABC的边长为4cos30°=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，﹣），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则||2=（3﹣）2+（+）2=+==，当sin（θ﹣）=1，即θ=时，取得最大值，且为．故选：B．10．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC中点N，MN=，从而M轨迹为以N为圆心，为半径的圆，B，N，M三点共线时，BM为最大值．所以BM最大值为3+=．故选：B．二．填空题（共20小题）11．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴﹣6﹣2λ=0，解得λ=﹣3．故答案为：﹣3．12．【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解．【解答】解：∵向量=（﹣2，3），=（3，m），且，∴=﹣6+3m=0，解得m=2．故答案为：2．13．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．14．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．15．【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），则﹣=（，﹣1），+λ=（1，λ）；又夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=﹣λ=2××cos60°，即﹣λ=，解得λ=．【方法二】，是互相垂直的单位向量，∴||=||=1，且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°，∴（﹣）•（+λ）=|﹣|×|+λ|×cos60°，即+（﹣1）•﹣λ=××，化简得﹣λ=××，即﹣λ=，解得λ=．故答案为：．16．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．17．【分析】设P（cosα，sinα）．可得=（2，0），=（cosα+2，sinα）．利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．18．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．19．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．20．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：﹣6．21．【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），=cosα+sinα+1=，∴•的取值范围是[0，1+]．故答案为：[0，1+]．22．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．23．【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴•（t+）=t+6+t+4=0，解得t=﹣5，故答案为：﹣5．24．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．25．【分析】由题意可知，||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，||+||取得最大值，即．【解答】解：||+||=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值．∴=．故答案为：．26．【分析】设出=（x，y），得到•=x+，令x=cosθ，根据三角函数的性质得到•=sinθ+cosθ=sin（θ+），从而求出•的范围即可．【解答】解：设=（x，y），则=（x，），由A（1，0），B（0，﹣1），得：=（1，1），∴•=x+，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则•=sinθ+cosθ=sin（θ+），θ∈[0，π]，故•的范围是[﹣，1，]，故答案为：[﹣1，]．27．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，结合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴•=2﹣2=﹣1，•=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴•=42﹣2=，故答案为：28．【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：．29．【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．满足++=，且点P落在第一象限，对应的A i，A j，为：（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．30．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|≤2，符合题意，综上•的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|•|+|•|=||+||≥||+|=||=|+|，∵|•|+|•|≤，∴|+|≤，即（+）2≤6，即||2+||2+2•≤6，∵||=1，||=2，∴•≤，即•的最大值是．法三：设=，=，=，则=+，=﹣，|•|+|•|=||+||=||≤||，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，第21页（共22页）由于|+|2+|﹣|）2=2（||2+||2）=10，于是（﹣）2取得最小值4，则•=，•的最大值是．故答案为：．三．解答题（共1小题）31．【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA=﹣1，求出A和c的值，再根据余弦定理即可求出a．【解答】解：由=﹣6可得bccosA=﹣6，①，由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=3，②∴tanA=﹣1，∵0＜A＜180°，∴A=135°，∴c==2，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=9+8+12=29∴a=第22页（共22页）。
全国卷历年高考平面向量真题归类分析
全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由， 则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________． 解：由题可得 ，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ．因为，．所以．因为切于点． 所以⊥．所以是斜边上的高．， 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，． 因为， 所以，． 两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)， 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,， 则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。
(文科)平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案.docx
平面向量专题r r r r1．已知向量a( 5,6) ， b(6,5) ，则 a 与 bA ．垂直B ．不垂直也不平行C．平行且同向 D ．平行且反向2、已知向量a(1， n)， b( 1， n) ，若2a b与b垂直，则a（）A ．1B．2C．2D． 4r r r r r r r r r r3、若向量a, b满足| a | | b |1， a,b 的夹角为60°，则 a a a b =______ ；4、在直角ABC 中， CD 是斜边 AB 上的高，则下列等式不成立的是uuur （A ）ACuuur （C）AB22uuur uuur uuur 2uuur uuurAC AB（ B）BC BA BCuuur uuur uuur 2uuur uuur uuur uuur( AC AB)(BA BC) AC CD（ D）CD uuur 2AB5、在 ? ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD =2 DB，CD =1CA CB ,则= 3211(D) -2(A)(B)(C) -33336、设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点， A 、B 、 C 为该抛物线上三点，若FA FB FC =0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C) 4(D) 3uuur uuur uuur1uuur uuur7、在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD，CA CB，则（）2DB CD321C．12A ．B．3D．333 8、已知O是△ABC所在平面内一点，uuur uuur uuur0 ，那么（D 为 BC 边中点，且2OA OB OC）uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurＡ． AO ODＢ． AO2ODＣ． AO3ODＤ． 2AO OD9、设a，b是非零向量，若函数 f (x)( xa b) g(a xb) 的图象是一条直线，则必有（）A ．a⊥b B．a∥b C．|a | | b |D．| a | | b |10、若 O、 E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是uuur uuur uuurB .uuur uuur uuur uuur uuur uuurA ．EF OF OE EF OF OE C. EF OF OE D .11、设 a=(4,3), a 在 b 上的投影为52,b 在 x 轴上的投影为2,且 |b|＜1,则 b 为2A.(2,14)B.(2,-22D.(2,8)) C.(-2,)77uuur uuur uuurEF OF OE12、已知平面向量a(11)，， b(1， 1) ，则向量 1 a 3b （）22Ａ． (2， 1)Ｂ． ( 2，1)Ｃ． (1，0)Ｄ． (1，2) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur13、已知向量OA(4,6), OB(3,5), 且 OC OA, AC // OB, 则向量 OC 等于（ A ） 3 , 2（ B） 2 , 4（C）3,2（D ）2,4777217772114、若向量a与b不共线，agb0 ，且c = a -aga b，则向量 a 与 c 的夹角为（）agbA ． 0πC．ππB ．3D ．62uuur uuur uuur15、设A(a,1)，B(2, b)，C (4,5)O 为坐标原点，若为坐标平面上三点，OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，则 a 与b满足的关系式为（）（ A ）4a5b3（B）5a4b3（ C）4a 5b14（ D）5a4b 14uuur r uuur r uuur r16、在四面体 O-ABC 中，OA a,OB b,OC c, D 为BC的中点，E为AD的中点，则 OE =（用a， b，c 表示）17、已知向量a = 2，4，b = 11，．若向量b(a +b) ，则实数的值是．r r60 ，r r，则r r r，的夹角为a b1ag a b．18、若向量 a b19、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB ， AC 于不同的两点 M ，N ，若uuur uuuur uuur uuurn 的值为AB mAM ， AC nAN ，则m．ANB O CM20、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线 OB 的两端点uuur uuur分别为 O(0，0) ， B(11)，，则 ABgAC．平面向量专题r r r r1．已知向量 a ( 5,6) ， b (6,5) ，则 a 与 bA ．垂直解．已知向量B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向r rr rr ra( 5,6) ， b (6,5) ， a b 30 30 0，则 a 与 b 垂直，选 A 。
平面向量高考试题精选含详细答案)
平面向量高测试题精选〔一〕一.选择题〔共14小题〕1. 〔2021?河北〕设D 为△ ABC 所在平面内一点,前二3五,那么〔〕A疝-仁小产:豆2. 〔2021?福建〕正_L 正,|标肝, |正|二t ,假设P 点是△ ABC 所在平面内一点,A. 13B. 15C. 19D. 213. 〔2021?四川〕设四边形 ABCCfe 平行四边形,|画二6, |面=4,假设点M N 满足就二3元,而二2说,那么标•疝二〔〕A. 20B. 15C. 9D. 64. 〔2021?安徽〕△ ABC 是边长为2的等边三角形,向量 E 满足靛=2；,AC =2a +b,那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. | b|=1 B. alb C. a?b=1 D. 〔4a+b 〕,前5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔 〕A. |l^b |<|a || b|B, H-b |<|| ；| 一 |E||C. 〔 a+b 〕 2=| a+b | 2D. 〔a+b 〕 ? 〔 ； Y 〕<2 -百6. 〔2021?重庆〕假设非零向量 a, 七满足|1二组1:|可,且〔1-%〕 ± 〔 3a+2b 〕,那么3 !与E 的夹角为〔〕A. —B. —C. —D.冗 4 247. 〔2021?重庆〕非零向量 * b 满足|b|=4| J ,且a ,〔2a+b 〕那么占与b A J B J C _I D __L 3 2 368. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O 为原点,A 〔- 1, 0〕, B 〔0,立〕,C 〔3, 0〕,动点D 满足|而|=1 ,那么| OA +OB +OD l 的取值范围是〔〕且」 .「|AB| |AC| 那么再•衣的最大值等于〔A. [4, 6]B. [V19-1, V19+1]C. [2 立,2书]D.[由-1,,+1]9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量%,工满足| a |= |b |=1,二后二,V ■a- c, b-c>=60° ,那么l A的最大值等于〔〕A. 2B. Vs C .& D . 110. 〔2021?天津〕菱形ABCD勺边长为2, /BAD=120 ,点E、F分别在边BGDC上,施"前,谄.,假设凝?谆1赤?正谓,那么入+尸〔〕A. B.二 C.二D 二2 3 6 1211. 〔2021?安徽〕设,,E为非零向量,|而2|十,两组向量*,离,寓,巧和宝, 斤三,斤均由2个；和2个E排列而成,假设耳?宣+中卫+E?三+五?五所有可能取值中的最小值为4| a|2,那么！与芯的夹角为〔〕A 二B 二C 二D. 0 3 3612. 〔2021?四川〕平面向量最〔1, 2〕, b= 〔4, 2〕, c=m+b 〔mGR〕,且彳与1的夹角等于W与Z的夹角,那么m=〔〕A. - 2B. - 1C. 1D. 213. 〔2021?新课标I 〕设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么直+而=〔〕A 二B. 一DC. : D. 一：2 214. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么赢+5S+无+而5等于〔〕A. i"B. 2 i“C. 3 i"D. 4 i"二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设司、.为单位向量,非零向量岸x q+y., x、yGR假设司、同的夹角为30.,那么集的最大值等于_________________ .lb |16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足点二次/+Nm〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为.17. 〔2021?湖南〕如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么AP .正=.18. 〔2021?北京〕己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么而•百的值为.19. 〔2021?天津〕直角梯形ABC前,AD// BC / ADC=90 , AD=2 BC=1, P 是腰DC上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 .20. 〔2021?浙江〕平面向量五,百〔五产万,五卉万〕满足IT 1=1,且五与下的夹角为120.,那么|三|的取值范围是 .21. 〔2021?天津〕如图,在^ ABC中,ADLAB,前4菽那么AC ,箴=.22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为2加,平面内一点M满足而^^总正,那么6 3而,而=.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量0M= (a, b)的“相伴函数〞为f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx的“相伴向量〞为赢=(a, b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为S.(1)设g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模；(3)M(a, b) (b乎0)为圆C: (x - 2) 2+y2=1上一点,向量超的“相伴函数〞f (x)在x=x.处取得最大值.当点M 在圆C上运动时,求tan2x.的取值范围._一、_________ 2 n...........................24. (2007?四川)设F I、F2分别是椭圆工+,=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且西・后己二-总,求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角 (其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.平面向量高测试题精选(一)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1 . (2021?河北)设D为△ ABC所在平面内一点,BC-3CD,那么( )A归工:岳B折,13 0 *s, 0八一 4 一 1 - r —1 4―1 —C—,'4'. D.解：由得到如图由仙二处+8口=标亨岸冠4 国-靛)=-掷号正;应选：A.2. (2021?福建)正1京,I店|[, |正|二t,假设P点是△ ABC所在平面内一点,,那么无•五的最大值等于(A. 13B. 15C. 19D. 21解：由题意建立如下图的坐标系, 可得 A (0, 0), B (工0) , C (0, t),・•・P (1, 4),PB= (-- 1, - 4) , pc= ( - 1 , t -4),PB*PC=- (1-1) - 4 (t -4) =17-(1+4t),t由根本不等式可得l+4t>2^T^=4,.•.17-(1+4t) < 17- 4=13,当且仅当上4t即t6时取等号, .二有•五的最大值为13, 应选：A.3. 〔2021?四川〕设四边形ABCDfe平行四边形,|画二6, |初=4,假设点M N满足而二3元,而二2前,那么氤,而i=〔A. 20B. 15C. 9D. 6解：「四边形ABCM平行四边形,点M N满足面i=3元,丽二2束,.二根据图形可得：= + ?--= . ： . II,4 4洲二MI -蝴,V或•而二标？〔记-讪〕二俞-嬴•福.-1|2=・"2 . : •",・小।-r -.-,-1= ：."21二卜,2. ；3 4 2 '| 'B|=6 , | -1||=4 ,..」「'/二,：：：「12=12-3=9应选：C4. 〔2021?安徽〕△ ABC是边长为2的等边三角形,向量京E满足屈=2£AC=2g+b,那么以下结论正确的选项是〔〕A. | b|=1B. a±bC. a?b=1D. 〔4a+b〕,前解：由于三角形ABC的等边三角形,；,E满足靛=2；,应=2：+%,又正=7B+前, 所以‘：..；,・‘,所以-=2, - ；.=1X2Xcos120 =- 1,4a・b=4X 1X2Xcos120° =- 4,寸=4,所以狐・石+］士=0,即〔4a+b〕*B=0,即〔G+E〕•前=0,所以〔4；+芯〕1BC；应选D.5. 〔2021?陕西〕对任意向量！、b,以下关系式中不恒成立的是〔〕A. |a-b|<|；|| b|B. | a-b l<ll ^l -I bllC 〔髓〕2=| a+b| 2 D. 〔a+b〕? 〔a-b〕=?- b2解：选项A正确,丁 | a p b|=| 君|| b||cos < " Z>|,又|cosv；, b>| <1,,|.讶&G| %| 恒成立；选项B错误,由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|g-E l >ll』-|芯|| ；选项C正确,由向量数量积的运算可得〔a+b〕2=|a+b|2;选项D正确,由向量数量积的运算可得〔彳+E〕?〔1-b〕二2-%2.应选：B6. 〔2021?重庆〕假设非零向量a, 七满足|』=竺|可,且〔：-％〕± 〔3a+2b〕,那么3!与E的夹角为〔〕A.三B.C. 12£D.冗4 2 4解：二 ( a - b) ± ( 3 a+2b),(5-b) ? ( 3 a+2b) =0,即 3.；— 2：,2- ? =0,即就=3；-2寸金2, 3即V a, E>=三, 4应选：A7. 〔2021?重庆〕非零向量b满足lbl=4| J,且a,〔2a+b〕那么祖与b的夹角为〔〕A二B二C三D三3 2 3 6解：由非零向量之,b满足lbl=4| a l ,且a,〔2a+b〕,设两个非零向量a, b的夹角为°,所以a? 〔 2 a+ b〕=0,即2$十| |b|C os9 =.,所以cos 9 =-.,9 Q0 ,九],所以eW；应选C.8. 〔2021?湖南〕在平面直角坐标系中, O为原点,A〔- 1, 0〕, B 〔0,右〕,C 〔3, 0〕,动点D满足l而l=1 ,那么l m+55+55l的取值范围是〔〕A. [4 , 6]B. [ V19- 1, V19+1] C . [2 遮,2<7] D.[邛-1,道+1]】解：•••动点D满足|而|=1 , C 〔3, 0〕,「•可设 D (3+cos 9 , sin 9 ) (6 q0 , 2 兀)).又 A ( - 1, 0), B (0,立),, + 1+ 1= 1 - - - - ■一』I 「+"+0」= 一：:」二二二•,一F"船…,•:飞不、」=倔公斤京西河丁,〔其中sin 6二焉,8s小嚼- 1<sin 〔 9 +〔［〕〕 &1,•,•〔"-1〕 2= * - W748+2VV sin 〔 9 + 小〕< 8+2沂=〔^+1〕2,「.I OA+OB+OD|的取值范围是W7 - I,近+11.应选：D.9. 〔2021?桃城区校级模拟〕设向量I,工满足|l|=|b |=1,.泰-L V b-c>=60°,那么1看的最大值等于〔〕A. 2B.g C . & D . 1解：「I aI二I b |二1,乱〞二一, -W二.W, %的夹角为120° ,设赢二W, OB=b,0C=c那么不二^一与；CB=1一工贝4/AOB=120 ; / ACB=60丁./AOB+ ACB=180・•.A,O, B, C四点共圆.一2• • AB /. AB^/3由三角形的正弦定理得外接圆的直径当OC 为直径时,模最大,最大为 2 应选A10 . 〔2021?天津〕菱形 ABCD 勺边长为2, /BAD=120 ,点E 、F 分别在边BG DC 上,BE = k BC, DF =〔1DC,假设标?m =1, CE ?CF =- 贝U 入+医=〔〕3A. 'B. :C. ' D — 2 3 6 12解：由题意可得假设.•,？•, = 〔 ",+神〕?〔川+】,〕=",, '1+三二 + ■ - -,-i +^-D?' =2X2Xcos120° + 屈,■屈+ 入 75?菽+入标?医 7S = 一 2+4医+4入 + 入d X2X2Xcos120° =4入+4医一2入医—2=1, 「•4人+4d 一2入医=3①CE ?CF =- EC ?〔-而〕=EC*FC = 〔1 -入〕前？〔1 -医〕DC = 〔1 -入〕而？〔1 -医〕总=〔1 一入〕〔1 —医〕X2X2Xcos120° = 〔1一入一医+入医〕〔一2〕= - 2, 3即一人一〔1 +入［L = ~ —②.3 由①②求得入+医=总 故答案为：!11 .〔2021?安徽〕设己,b 为非零向量,| b|=2| a| ,两组向量工,器,工,V?和行, 々,¥3' V/均由2个日和2个b 排列而成,假设町？为+工2?方+工3?%+%？%所有可 能取值中的最小值为4|；|2,那么：与E 的夹角为〔解：由题意,设！与E 的夹角为民, 分类讨论可得]? y I + X?? y ?+工3?y § + Xq ?% =为？为+ a ?2+b ?b+b? b=10| 君| ,不满足2KA — B.3 C. D. 0②T^^T+T^r+F?丁+『??=：?；+：?%+%?：+Z?Z=5| a|1 2+4| a| 2cos 民,不满足；1 J12 J23 734 J4③7j?元+7；?卫+三?同+3?耳=4!?岸8| a| 2cos a =4| a| ：满足题意,此时COS a」2・•. W与E的夹角为—. 3应选：B.12. (2021?四川)平面向量短(1, 2), b= (4, 2), c=m+b (m GR),且W与；的夹角等于W与E的夹角,那么m=( )A. - 2B. - 1C. 1D. 2解：二向量a= (1, 2), b= (4, 2),=m + = (m+4, 2m+2 ,又丁［与；的夹角等于1与Z的夹角,k I • | a | I c |* |b |•••飞一’ — f )lai |b|二’解得m=2应选：D13. (2021?新课标I )设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点,那么冠+而= ( )A. . ।B. DC. ：,D.2 2【解答】解：:D, E, F分别为AABC的三边BC, CA, AB的中点, .•.而+而=(丽+丽+ ( FE+EC) =FB+EC=1 (屈+近)=15,应选：A14. 〔2021?福建〕设M为平行四边形ABCD寸角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,那么加+而+枳+而等于〔〕A. I"B. 2 i"C. 3 I" D〕. 4 I"解：丁0为任意一点,不妨把A点看成O点,那么加+无+权+玩=1+/+而+元,・「M是平行四边形ABCD勺对角线的交点,,0 + AB+AC+AD=2AC=4OM应选：D.二.选择题〔共8小题〕15. 〔2021?浙江〕设二司为单位向量,非零向量E=x6+y G,x、yGR.假设]、, 的夹角为30.,那么集的最大值等于 2 .Ib| -------解：为单位向量,T和U的夹角等于30° ,,U・£=1X1X cos30.二亚•「非零向量Z=x4+y',•./而后二J/+ 2工y T] W +产J X2+我盯旷,. 44=,.—=I」= | I 2 = I1 2 ,旧寸J+V^v+v? *+行中+,,l打巧工0〕V〔7垮〕£故当2=-立时,&取得最大值为2,x 2 |b故答案为2 .16. 〔2021?北京〕点A 〔1, -1〕, B 〔3, 0〕, C 〔2, 1〕.假设平面区域D由所有满足获:人五+P•豆〔1＜入02, 0＜医01〕的点P组成,那么D的面积为 3 .解：设P的坐标为〔x, y〕,那么靛二(2, 1), AC= (1, 2), AP= (x—1, y+1), < 7?二工m+U 正,\ - 1=2 + |A 宿万一/ 日_解N得,y+l= X+2Uy+11<?|工-当-1<2,- K入02, 0<医01, ..•点P坐标满足不等式组,04 - £工+"|^1<1作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDE极其内部其中C (4, 2), D (6, 3), E (5, 1), F (3, 0)二|CF|二；一丁一卜：二 _ 二,,点E (5, 1)到直线CF: 2x—y—6=0的距离为d1上士工^1二■还V5 5「•平行四边形CDEF勺面积为S=|CF|X d=V^x2四=3,即动点P构成的平面区域D 5的面积为3故答案为：317. (2021?湖南)如图,在平行四边形ABC前,APIBD垂足为P,且AP=3,那么族•近二18 .【解答】解：设AC与BD交于点O,那么AC=2AO/APIBD AP=3,在Rt^APO中,AOcos/ OAP=AP=3・•・I 面cos /OAP=2|瓦| XcosZOAP=2|AP|=6 ,由向量的数量积的定义可知, 6•正二|6||正|cos/PAO=3 6=18故答案为：1818. (2021?北京)己知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点.那么DE-CB 的值为1 .【解答】解：由于血,后=而瓜=应卜iXlcosC正♦瓦>=5丁=1.故答案为：119. (2021?天津)直角梯形 ABC 前,AD// BG / ADC=90 , AD=2 BC=1, P是腰DC 上的动点,那么|位+3瓦|的最小值为 5 .解：如图,以直线 DA DC 分另U 为x, y 轴建立平面直角坐标系,那么 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设 P (0, b) (0<b<a)那么m =(2, - b), PB = (1, a- b),PA+3PB = (5, 3a-4b)•- IPA+3PB l =/25+ (3a-4b) 2>5-故答案为5.20. (2021?浙江)平面向量 五,J (五通,五产下)满足|T 1=1,且五与 方-五的夹角为120° ,那么|无|的取值范围是 (0,当鸟_.3解：令用 屈二无、AC =T,如以下图所示：那么由萩书-五,又二云与E-W 的夹角为120° ,・ ./ABC=60又由AC=|下一-：| 向 G (0, ^p ］ 故|五|的取值范围是(0, 二］故答案：(0,芋］21. (2021?天津)如图,在4ABC 中,ADLAB,前一画,|75 I =1,那么说・75=_立【解答】解：AC-A S=|AC IHADicosZDAC,■-n ,由正弦定理sinC sin60.得:..一•一■. .. ■:: II-,.-- . .A,,cos/DAC=sinZ BAQAC *AD= lAC |-|AD|cosZDAC= | AC|-cosZDAC= | AClsinZBAC ,在△ ABC中,由正弦定理得里L=变形得|AC|sin / BAC=|BC|sinB, sinB sin/BACAC*AD=| AC !* | AD|cosZEAC= | AC |-cosZDAC= | AC|sinZBAC ,二|BC|sinB= |BC|・-需-=V5,故答案为V3 •22. 〔2021?天津〕假设等边△ ABC的边长为273,平面内一点M满足而卫司+2而,那么6 3瓦,诬=-2 .解：以C点为原点,以AC所在直线为x轴建立直角坐标系,可得C 10,01, R 〔2"^,.〕,B〔V3,3〕,• • CB =三〕,CA二〔2^3 〕.〕,••乐翔翁二〔¥,y,“：■ , 1,"」1,MA*MB=〔亚,--〕?〔-近,-〕=-2.2 2 2 2故答案为：-2.三.选择题〔共2小题〕23. (2021?上海)定义向量 0M = (a, b)的“相伴函数〞为 f (x) =asinx+bcosx , 函数f (x) =asinx+bcosx 的“相伴向量〞为 赢=(a, b)(其中O 为坐标原点).记 平面内所有向量的“相伴函数〞构成的集合为 S.(1)设 g (x) =3sin (x+21) +4sinx ,求证：g (x) GS; 2(2)h (x) =cos (x+a ) +2cosx,且h (x) GS,求其“相伴向量〞的模； (3)M(a, b) (b 乎0)为圆C: (x - 2) 2+y 2=1上一点,向量超的“相伴函数〞 f (x)在x=x .处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时,求tan2x .的取值范围.【解答】 解：(1) g (x) =3sin (x+—) +4sinx=4sinx+3cosx ,其‘相伴向量'0M = (4, 3), g (x) GS.(2) h (x) =cos (x+a) +2cosx =(cosxcos a - sinxsin a ) +2cosx =-sin a sinx+ (cos a +2) cosx 函数 h (x)的‘相伴向量’ 丽=(-sin a , cos a +2).那么 | 皿=q (一式11al —= ( cos a+2)―2=5+4曲口 .(3) OM 的'相伴函数'f ( x) =asinx+bcosx= ^^^sin (x+([)),其中cos 小=> ^ sin 小=Va 2 + b Z —,kGZ 时,f (x)取到最大值,故 x0=2k % +—-小,kGZ. 2 2-'.tanx 0=tan (2k % +- -([)) =cot ([)—, 2 b2tan x 口tan2x 0二 1-tan x o 1-(① b 也为直线OM 勺斜率,由几何意义知：-q -VI, 0) u (0, a a 3a 2 + b 2当 x+([)=2k % +___= r a b令m=,贝U tan2x0=—mq —亚,0) U ( 0,立｝.③川」 3 3rr当-亚0m<0 时,函数tan2xo=—J单调递减,,0< tan2xo<Vs；3IT当0Vm<立时,函数tan2x 0=—片单调递减,/.- 加&tan2x0<0.rr综上所述,tan2x°q -遮,0) U (0,a]. .............. 、 c 24. (2007?四川)设Fi、F2分别是椭圆工+/=1的左、右焦点.4(I)假设P是第一象限内该椭圆上的一点,且可■玩二-求点P的作标；(II)设过定点M (0, 2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO的锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.】解：(I)易知a=2, b=1,钎我.•• Fi (一〃,0),F2(如,0) •设P 那么PF；・PF；二(-百一工,-y)(伤一小x +y =4 x2=i m联立,2 ,解得" 2 3n a,P?儿卜=4(n)显然x=0不满足题设条件.可设l V..V 2联立,瓦+y n = (kx+2) gn (1+£y=kx+2. 一12 * 16k1 • #1 K n- °,及i + 乂力一r.1^1+4/ 1上l+4k Z^△= (16k) 2-4? (1+4k2) ?12>016k2- (x, y) (x>0, y>0).2一/二K./- 3二- "1,又亍+yJl,£1,喙)•的方程为y=kx+2,设 A (x1, y., B (x2, Ik") z2+16kx+12=03 (1+4k2) >0, 4k2- 3>0,得①),又yM二(kxi+2) (kx2+2) =k2XiX2+2k(X1+X2) +4 ..xiX2+yiy2= (1 +k2) xiX2+2k (X1+X2) +4=(1+k2) ,—(--^5) +4 1+41 1+4 k 2_12 (1+ k2) 2k*16k .------------ 2- ------------ r+4l+4k2l+4k2l+4k2综①②可知••.k的取值范围是(-2, -亨)U (亨2)•。
2022届全国高考数学真题分类(平面向量)汇编(附答案)
2022届全国高考数学真题分类（平面向量）汇编一、选择题 1.（2022∙全国乙（文）T3） 已知向量(2,1)(2,4)a b ==- ，，则a b -r r （ ）A. 2B. 3C. 4D. 52.（2022∙全国乙（理）T3） 已知向量,a b 满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅= （ ） A. 2- B. 1- C. 1 D. 2 3.（2022∙新高考Ⅰ卷T3） 在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB =（ ）A. 32m n -B. 23m n -+C. 32m n +D. 23m n +4.（2022∙新高考Ⅱ卷T4） 已知(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<> a c b c ，则t =（ ）A. 6-B. 5-C. 5D. 6二、填空题 1.（2022∙全国甲（文）T13） 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+ ．若a b ⊥ ，则m =______________．2.（2022∙全国甲（理）T13） 设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．参考答案一、选择题1.【答案】D【答案解析】【名师分析】先求得a b - ，然后求得a b -r r .【答案详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以5-== a b .故选：D2.【答案】C【答案解析】【名师分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【答案详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+ a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-= a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ， ∴1a b ⋅= 故选：C.3. 【答案】B【答案解析】【名师分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【答案详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA = ，即()2CD CB CA CD -=- ， 所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．4.【答案】C【答案解析】【名师分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【答案详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即931635t t c c+++= ,解得5t =, 故选：C二、填空题1. 【答案】34-或0.75- 【答案解析】 【名师分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【答案详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++= ，解得34m =-. 故答案为：34-. 2. 【答案】11【答案解析】【名师分析】设a 与b 的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【答案详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=， 又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ， 所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ． 故答案为：11．。
平面向量高考试题精选(含详细答案)
2JT7t平面向量高考试题精选（一）.选择题（共14小题）1. （ 2015?可北）设D 为厶ABC 所在平面内一点，肘一「「，则（）~* 1—► 4—* —* 1—* d —*A. • B . ；/- -■C .「 JD .「 ''2. （ 2015?畐建）已知^，若P 点是△ ABC 所在平面内一点,t且.' ' ：'，则-'•-的最大值等于（ ）I AB | | AC |A . 13B . 15C . 19D . 21■i i ■ ■|.「|=6, |二 1|=4,若点 M 、N 满足—:V, 、； — •’「，则小-/ =（ ） A . 20 B . 15 C . 9 D . 64. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量b-满足一 =2 「'=2i+ ：，,则下列结论正确的是（）=* =* =* ■=*—*A . | J=1B . |丄，C . i ?b =1D . （4 i+，）丄 3：A .丨 r 冃忙'IB .丨.- ；ML 丨：'||夹角为（ ）3. （2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形, 5. （ 2015?陕西）对任意向量 •|、下列关系式中不恒成立的是（—* —W Q —* —W QC . （ •川）=| •川 |D . （一）? （一 :.） =—26. （ 2015?重庆）若非零向量一 T 2A /2 -:■满足 | 1|= T'|,且（丄（3^+2b ）,贝y ◎与b 的A .B .7. （ 2015?重庆）已知非零向量…•满足IT=4|丄 且•丄（八「」）则花一.二的夹角 为（ ） A .〒 B . 丁 C .「厂 D .'「3 2 36& （ 2014?湖南）在平面直角坐标系中， O 为原点，A （- 1, 0） , B （0, V3）, C （ 3, 0）, 动点D 满足|丨||=1，则|示+丨.+丘的取值范围是（ ） A . [4, 6] B .站〕I - 1，甘1 E+1]C . [2 :, 2] D . [- 1 ,+1]9. （ 2014?桃城区校级模拟）设向量…满足才- ■■ 1-1 ,・._,<g-；> =60 °则|；|的最大值等于（）A . 2B .'； C . ■: D. 110. (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为2,Z BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 上，二—X- :； 7;=卩二若.■■.■■'.^■■'=1，刁？ I =-y 廿尸()3125 7A. -B.' C .二 D .23 6 12]-F 2]计，两组向量・,',、,、和「.，…一，,，均由2个•和2个 排列而成，若「？”. + ,.?“ + ：「？「+,.?.•:所有可能取值r\中的最小值为4| i|，贝U 1与 •'的夹角为（）a= (1, 2), b = (4, 2), c =m ^+b (m €R ),且右与◎的夹角等 于与b 的夹角，贝U m=（ ）A . - 2B . - 1C . 1D . 213. (2014?新课标I )设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点，则 无'+兀= ( )—1 —* —* 1 —*A .小B .小 C.<' D.:'2211. （2014?安徽）设1, 「为非零向量,「，12. （2014?四川）平面向量 D . 0'1=14. （ 2014?福建）设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平 面内任意一点，则二.选择题（共8小题）15. （2013?浙江）设.一、为单位向量，非零向量：〔=x.「+y.. , x 、y€R •若.的 夹角为30°则丄丄的最大值等于Ib|1）, B （3, 0）, C （2, 1）.若平面区域D 由所有满足AP=^AB+^AC (1 w/2手 0<^1)的点 P 组成，则17. （2012?湖南）如图，在平行四边形 ABCD 中，AP 丄BD ，垂足为P ,且AP=3，则18. （2012?北京）己知正方形 ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点U 「I ，的值 为 ____________ .19. （2011?天津）已知直角梯形 ABCD 中，AD // BC ,Z ADC=90 ° AD=2 , BC=1 , P 是腰 DC 上的动点，则 亍〕+ ：壬丨的最小值为 _____________ .20. （2010?浙江）已知平面向量，: '满足丨＞ -I ,且门与N 的夹角为120°则| □ |的取值范围是 _________________21. （2010?天津）如图，在 △ ABC 中，AD 丄AB ，「-〒|「1, 匕•，则16. (2013?北京)已知点 A (1 ,D 的面积为B . 2 1'C . 3 fD . 4 i"三-< = _____________22. (2009?天津)若等边 △ ABC 的边长为••乙平面内一点 M 满足I则6 3三•选择题(共2小题)23. ( 2012?上海)定义向量 f'= ( a ，b )的相伴函数"为f (x )=asinx+bcosx ，函数f (x )=asinx+bcosx 的相伴向量"为f'= (a , b )(其中O 为坐标原点).记平面内所有向量的 相伴函数"构成的集合为S .(1 )设 g (x ) =3sin (x+ 1) +4sinx ，求证：g (x ) €S ;2(2) 已知h (x ) =cos (x+ a) +2cosx ，且h (x ) €S ，求其 相伴向量"的模；2 2—►(3) 已知M (a ，b ) (b 老)为圆C : (x -2) +y =1上一点，向量 ⑴的 相伴函数” f (x ) 在x=X 0处取得最大值.当点 M 在圆C 上运动时，求tan2x °的取值范围.(n)设过定点 M (0, 2)的直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围.24. (2007?四川)设F 1、F 2分别是椭圆(I)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P 的作标;：，=1的左、右焦平面向量高考试题精选（一）参考答案与试题解析一•选择题（共14小题）1. （2015?可北）设D ABC所在平面内一点，-厂I,则（）1 —* 4"^^ 1 *A •；.■.... :B •辿C 汁D•亦*解：由已知得到如图由m—―上H 1…：:卍二丄比二，/故选：A.|厂_i ,若P点是△ ABC所在平面内一点, ——* AR 4 AC —*且「. ■.,则-•-，的最大值等于( )|AB| |AC|A . 13B . 15C . 19D . 21解：由题意建立如图所示的坐标系，可得 A (0, 0), B (丄0), C (0, t),二P (1, 4),---- »1 -------------------------------- *••• PB=(丄-1,- 4) , PC= (- 1 , t-4), t-—* —* 1 i-=-(-1)- 4 (t- 4) =17 -( +4t),t t由基本不等式可得-y+4t呈=4,17 -(丄+4t) <17 -4=13 ,当且仅当 =4t 即t=时取等号, t 2的最大值为13,3. （2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形,卜八|=6，| • i|=4，若点M 、N 满足匚匸'1 '，'，则小-/'=（）A . 20B . 15C . 9D . 6解：•••四边形 ABCD 为平行四边形，点 M 、N 满足•”•.•J -（理 门）=匸［2_叶・，【|,：尸=U . 「：『， 汕…【1= '2 J ［「・汕,42pl-|=6, pl'|=4, •」；・」=、「2二小2=12 - 3=931&故选：C•根据图形可得• 丁匕讦-则下列结论正确的是（ A . |，|=1 B . f 丄， C . i ?b =1 D . （4 i+ J 丄 二 解：因为已知三角形 ABC 的等边三角形，1, •满足糾，=2|, L=2i+「，又「 所以.二-工hi所以 ：=2, . -：,=1 >2>Cos120°= - 1, 4a ・b =4X1 >2>Cos120° - 4, E =4，所以=0，即（4a+b ） ■ b=0,即■-.I I ，・=0 ,所以 J 廿 h ： .故选D .5. （2015?陕西）对任意向量 * bF 列关系式中不恒成立的是（I ■:■冃忙'I B .丨.一制 1|- Ml C . （-'）2 • • 2 • ■ • 2 112=| .川 | D .（.川）?（二「）=二-■解: 选项A —fr —fci T T T T正确，T | •■:'|=| i|p'||COS < i,■ >|, 又|cos v I,b >|<1，二|a ・b |哼创|b |恒成立;选项B 错误, 由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|〔 - ；」训1|-卜||;选项C 正确, 由向量数量积的运算可得（• •：,）2=|・•：『;选项D 正确, i —* —* Q由向量数量积的运算可得（丨,）？（一 .■,）=/-:■故选：B6. （ 2015?重庆）若非零向量b 满足| '|= i 「|,且（ 自-切丄（3£+2b ）,贝y 3与b 的夹角为（ ） 兀 兀3兀A .B .C .D . n4 2 42的等边三角形，已知向量I, I ］满足门=2 |,=2 1 + ',4. （2015?安徽）△ ABC 是边长为解：T ( I — •，)丄(3 i +2j ),(—lj ) ? (3 i+2 卜)=0,、2、2即 3 i — 2 . - .|?^=0,即＜「＞「, 4故选：A7. （2015?重庆）已知非零向量…•满足| T=4|丄且•丄（.| •）则.•的夹角 为（解：由已知非零向量 .“-满足I ■ |=4| . |,且.丄（.| ），设两个非零向量.，•的夹角为0, 所以匸？（ 1 ） =0，即 2「| | . =0,所以 cos 0=丁，0 €[0 ,冗]，所以；故选C .O 为原点，A (- 1, 0) , B (0, "),C (3, 0),动点D 满足|川=1，则|「+丨，+11|的取值范围是( )A . [4, 6]B . [ . ■，：|- 1 ,：I+1]C . [2 \ 2 _] D . [ " - 1 , 一+1]•••可设 D (3+cos 0, sin 0) ( 0€[0, 2n)). 又 A (- 1, 0), B (0, 一)••• .+ 丨.+ |i= 1 -- -sin 9 )•I 心+了+口二：；二汀「=…一 ■ •:二门=厶口- :sin ( 0+ 0) w —：. 一=•_]-,JTJTB .57T& （ 2014?湖南）在平面直角坐标系中,】解：：•动点满足| li|=1 ,C (3, 0),,T- 1 Win ( 0+ ^) W ,•'•I I -.+ |+ |l| 的取值范围是 L - | ■,故选：D .9. （ 2014?桃城区校级模拟）设向量］,•满足 胡―卜丄，・. ,<K U =60 °则心的最大值等于（ ）A. 2B.: C.: D. 1 解：Tm | _ A | -1,-:-— 2• \ 「的夹角为120 °设；一 ‘ 「一：1,二二则；一 一 ； !■=：'-.如图所示则/ AOB=120 ° / ACB=60 •••/ AOB+ / ACB=180 ° • A , O , B , C 四点共圆. ■ 2 —* 2 _ —* —* —* 2 ---. - - ": ■ I _ •••龙二由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R=——辻—— -■sinZACB &当OC 为直径时，模最大，最大为 2 故选A10. (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为2,/ BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 上，，I =入：’，I =肌 1 ,若 i L ? ^ =1 ,1 ii ? I =——,贝U 7+ p=()3C .=2X2 >Cos120°+""卩 打•+ 入.：|i?树1+ 入•，i?.=12解: 由题意可得若| I = (| + ■ I ) ? pl 1+ I ) =1+ | “ 卜 +」・ T . 1+ _.|l -:-—2+4(1+4 ?+ 入 >Cos120°=4 Z+4 卩―2 入 p ； 2=1 , 二 4 A+4 p — 2 入=3 ①.'■_■也？iF= — E C? (- FC )=乱国 FC = (1 —入 EC? (1 - p) DC= (1 -入)AD ? (1 — p) AB =(1 -》(1 — p) >2 >2 >Cos120 ° (1 —入—p + 入)(—2)=——, 即一入一p +入p _ —②.3 由①②求得A+ p=—, 611. （2014?安徽）设1, ■■为非零向量，|"=2| 1|,两组向量，.，，.，，，一和「，…A .「「B . 丁C .〒D .3 36「，均由2个刑2,2中的最小值为4| i|，则I 与I;的夹角为（ ）解：由题意，设■＜与•，的夹角为a, 分类讨论可得①)_?「+・.？ T - + . ?廿-.+ ).? — . | = *? 1+ I? ■ l+ L ：? L ： + L ： ? t ： =10| * I |，不满足②：，-?”.+ ・. ？T.+ ・？ ” 一 + ：,二？「= |? i+ i ?b +，?i+ '? '=5| 叫 +4| i| cosa, 不满足;③：「？”.+ ,.?，. -+, ?「- + ：‘ ？〔 =4 '? '=81『 cos a =4| 叫2,满足题意，此时 cos a = 2「与:的夹角为" 故选：B .12. （2014?四川）平面向量 N —* T T T T T3= (1, 2) , b = (4, 2), C =m 3+b (m€R ),且 c 与自的夹角等 于与b 的夹角，贝U m=（ A . - 2 B . - 1 C . 1故答案为：1个「排列而成，若解：•••向量 3= (1, 2) , b = (4, 2), /• =m 1+| = ( m+4 , 2m+2), 又•••与•的夹角等于 与氏的夹角,.硏4+2（2硏2） _4 （硏4）+2 （2硏2） 忑 2^5解得m_2, 故选：D14. （2014?福建）设M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平 面内任意一点，则；• I 「■ ' ■ I ：等于（ ）A. fB. 2 「C. 3 fD. 4f j'A 点看成 O 点，^y 丄 + ： -- ' -1_ 11 + 丄「_ .t..•/ M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,13. （2014?新课标I ）设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点,A . -I' 【解解：••• D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点,•••=+」_ n：+ T ■）+ （:「+可■）_ 讣+苛_ •（树•+.「）_：」,解：••• O 为任意一点，不妨把故选：A点E ( 5 , 1)到直线 CF : 2x - y - 6=0的距离为d=|2X5-1-61=3^5=T15. (2013?浙江)设，「、：为单位向量，非零向量ir =x ,「+y.. , x 、y€R .若.’的 夹角为30°则卫L 的最大值等于2 .lb I解：：丁、二 为单位向量，二和：的夹角等于30° •••：■ ~=1 X! >Cos30°业.C | C 2 C | C 2 C I C 2 2•••非零向量 —+y .：「=:,=L + _J ，AP= AB+I^ AC (1 WA2手0<^1)的点P 组成，则D 的面积为3 解：设P 的坐标为(x , y ),则■1= ( 2, 1), - = (1, 2) , -1= (x - 1, y+1) , •••/-： ■- ■',作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形 CDEF 及其内部其中 C (4, 2), D (6 , 3), E ( 5 , 1), F (3 , 0)•|CF|=-L= ■,:■:=：・b I 很?+逅可+/1=2X+^ jH-l= X +2 H•/ 1 w 心0 w 口手•••点P 坐标满足不等式组w 厂心-如+^y+l 盂 1故选：D .二.选择题(共8小题)故当=-「时，，：取得最大值为2,x 2|b|故答案为2.16. (2013?北京)已知点 A (1 , - 1), B (3, 0), C (2, 1).若平面区域 D 由所有满足19卩二-于+評1•••平行四边形CDEF的面积为S=|CF|X!=Jg X城=3，即动点P构成的平面区域D的面积为53故答案为：317. （2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP丄BD ,垂足为P,且AP=3,则，-'■'=18【解答】解：设AC与BD交于点O,则AC=2AO•/ AP 丄BD , AP=3 ,在Rt △ APO 中，AOcos / OAP=AP=3. , '|cos/ OAP=2| ' i|XCos/ OAP=2| 讣'|=6,由向量的数量积的定义可知，「-】’=|.「|| ：：'|cos/ PAO=3 >6=1818. （2012?北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则"丨，的值为 1 .【解答】解：因为jm=“—一=）：厂=「故答案为：1D故答案为：1819. (2011?天津)已知直角梯形ABCD 中，AD // BC ,Z ADC=90 ° AD=2 , BC=1 , P 是腰DC上的动点，则|的最小值为 5 .解：如图，以直线DA , DC分别为x, y轴建立平面直角坐标系，则 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0)设P ( 0, b) ( 04)毛) 则莎=(2,- b), PB= (1, a- b),-：A"-55= .15+ ：匕一止；.故答案为5.20. (2010?浙江)已知平面向量一F J「I . '满足「-I ,且甬与/ ='■?.［的夹角为120°则|门|的取值范围是解：令用M = H\ …八，如下图所示: 则由2二=「- W又••• J与下’"O勺夹角为120°•••/ ABC=60 °又由AC= |T由正弦定理一：.'得：sinC sinoO故I .的取值范围是（故答案：（0, —一］21. （2010?天津）如图，在△ ABC 中，AD 丄AB，「一一；|」，•；" .，则「・'=_ 「；【解答】解：厂・「一r・|「I r ,石，| 叩 | ^：' | .-, ' | ・:；.'H：,••丄［二一［亠―：■匸• cos/ DAC=sin / BAC ,AC*AD=| AC |- | AD|cosZDAC= | AC | AC|sinZBAC ,在厶ABC中，由正弦定理得I 变形得|AC|sin/ BAC=|BC|sinB ,sinB sinZBACAC ■亦二|AC |-|ADl cosZDAO | AC|-cosZDAC= | AClsinZBAC,AD r~=|BC|sinB= |BC 卜DP,=V3,DU故答案为二.厂—* i ^―»2^—*22. （2009?天津）若等边△ ABC的边长为，乙平面内一点M满足.,,则6 3解：以C 点为原点，以AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得…F ■-=•M诗)，诫=(「孕号)，■l'..-"1=(二，:)?(2 2故答案为：-2. 三•选择题(共2小题)「，\ = - 2.23. (2012?上海)定义向量!'= (a , b )的相伴函数"为 f (x ) =asinx+bcosx ，函数=asinx+bcosx 的 相伴向量"为!'= (a , b )(其中 O 为坐标原点).记平面内所有向量的伴函数"构成的集合为S .(1 )设 g (x ) =3sin (x+ 1) +4sinx ,求证：g2(2 )已知 h (x ) =cos (x+ a) +2cosx ，且 h (x )(x ) €S;€S ，求其相伴向量”的模;(3 )已知M (a , b ) (b 老)为圆C : (x - 2) 2+y 2=1上一点，向量 ⑴的 相伴函数” (x )相(X)在X=X 0处取得最大值.当点M 在圆C 上运动时，求tan2x °的取值范围.【解答】 解：(1) g (x ) =3sin (x+ ) +4sinx=4sinx+3cosx ,2其相伴向量'M = (4, 3) , g ( x ) €S .(2) h (x ) =cos (x+ a) +2cosx=(cosxcos a- sinxsin a) +2cosx=-sin asinx+ (cos a +2) cosx• ••函数h (X )的相伴向量'0归(-sin a, COS a +2). 则〔"F- -2「'= \；:(3) !' 的 相伴函数'(x ) =asinx+bcosx=其中 cos 0= sin 0=当 x+ 0=2k n + H~2,k C Z 时，f (x )取到最大值，故TTX 0=2k n + -0, k C Z .•- 112令 m=t ，贝V tan2x°=—匚,m €[-西，0) U( 0,3 叶丄3IT当--'^m v 0 时，函数 tan2xo=—:—单调递减，二 0v tan2x°w3 旷丄IT当0v m w 时，函数tan2xo=—:一单调递减，•-*1电n2xo < 0.IT综上所述，tan2xo €[ - ^3, 0 )U( 0，"了].24. (2007?四川)设Fi 、F2分别是椭圆' J =1的左、右焦点.4(I)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且.\ ' •，求点P 的作标；ri1 ri 24M (0, 2)的直线l 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角(其中 求直线I的斜率的取值范围. a=2, b=1，:.二:.,⑴•设 P (x , y ) (x >0, y >0).2 则：「・：1 _ I _ …… --■ •:一 厂一二J 又■'2丄2 T * +y =42，解得“ 北丄2 j v +y =1(n)显然x=0不满足题设条件.可设 I 的方程为y=kx+2，设A (X1, y 。
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b 垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1B ．2C ．2D ．43、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；答案：32；4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值范围是(A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则=(A)32 (B)31(C) -31 (D) -32 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 38、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-9（全国2文9）把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是A 若，则a ＝0或b ＝0B 若，则λ＝0或a ＝0C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若，则b ＝c13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b14、（湖南文2）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =--15、（湖北理2）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭16、（湖北文9）设a =(4,3),a 在b 上的投影为225,b 在x 轴上的投影为2,且|b|＜1,则b 为 A.(2,14)B.(2,-72) C.(-2,72) D.(2,8)答案：选B17、（浙江理7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b18、（浙江文9） 若非零向量，a b 满足-=a b b ，则（ ） Ａ．22>-b a b Ｂ．22<-b a b Ｃ．2>-2a a bＤ．2<-2a a b19、（海、宁理2文4）已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 20、（重庆理10）如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →→→→→→→++=⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）B. 22 D.2421、（重庆文9）已知向量(4,6),(3,5),OA OB ==且,//,OC OA AC OB ⊥则向量OC 等于（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛-72,73（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,7222、（辽宁理3文4）若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫⎪⎝⎭a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．π6C ．π3D ．π223、（辽宁理6）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ） A ．(12)--，B ．(12)-，C ．(12)-，D ．(12)， 24、（辽宁文7）若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）A ．(12)-，B ．(12)，C ．(12)-，D ．(12)-， 25、（四川理7文8）设(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（ ）（A ）453a b -= （B ）543a b -= （C ）4514a b += （D ）5414a b += 26、（全国2理9）把函数y =e x的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2(B) e x +3－2(C)e x -2+3(D) e x +2－3B ACD二、填空题1、（天津文理15） 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________. .2、(安徽文理13) 在四面体O-ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E为AD 的中点，则= （用a ，b ，c 表示）3、（北京文11）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是．4、（上海文6）若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ． 5、（江西理15）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．6、（江西文13）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．三、解答题：1、（宁夏，海南17）（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．．2、（福建17）（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 3、（广东16）（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值; （2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.4、（广东文16）(本小题满分14分)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值5、（浙江18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数． ，6、（山东20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航 行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距,问乙船每小时航行多少海里7、（山东文17）（本小题满分12分）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ； （2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．8、（上海17）（本题满分14分）在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ．9、（全国Ⅰ文17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．10、（全国Ⅱ17）（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安徽省2012届高考平面向量热点题型预测 题组一 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( ) A.14 B .12 C．1 D．2
【解析】 因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝12. 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 【解析】 因为a∥b且a⊥c，所以b⊥c，所以c·(a＋2b)＝c·a＋2b·c＝0.
3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝( ) A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→
【解析】 BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→－BC→＝BF→－BC→＝CF→，所以选D. 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝( ) A.2 B.3 C.5 D.7 【解析】 ||a＋2b2＝(a＋2b)2＝||a2＋4a·b＋4||b2＝3，则||a＋2b＝3，故选B. 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 【解析】 因为2a＋b＝()2，4＋()1，－1＝()3，3，a－b＝()0，3，所以||2a＋b＝32，||a－b＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝()2a＋b·()a－b||2a＋b||a－b＝()3，3·()0，332×3＝22，又θ∈[]0，π，所以θ＝π4. 6．【2011课标理数辽宁卷】若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) A.2－1 B．1 C.2 D．2 【解析】 |a＋b－c|＝a＋b－c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，由于a·b＝0，所以上式＝3－2c·a＋b，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝3－2c·a＋b≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( ) A．－12 B．－6 C．6 D．12 【解析】 a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，即10－(k－2)＝0，所以k＝12，故选D.
8．【2011大纲理数1全国卷】设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，〈a－c，b－c〉＝60°， 则|c|的最大值等于( ) A．2 B.3 C.2 D．1 【解析】 设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知条件得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝3，由正弦定
理得△AOB外接圆的直径是3sin120°＝2，||c的最大值是2，故选A. 9．【2011课标理数北京卷】已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________. 【解析】 因为a－2b＝(3，3)，由a－2b与c共线，有k3＝33，可得k＝1. 10．【2011·课标文数湖南卷】设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a 的坐标为________． 【解析】 因为a与b的方向相反，根据共线向量定义有：a＝λb(λ<0)，所以a＝(2λ，λ)． 由||a＝25，得2λ2＋λ2＝25⇒λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a＝(－4，－2)． 11．【2011·课标理数天津卷】已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC
上的动点，则|PA→＋3PB→|的最小值为________． 【解析】 建立如图1－6所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．
设P(0，y)，(0≤y≤h) 则PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，h－y)， ∴||PA→＋3PB→＝25＋3h－4y2≥25＝5.
12．【2011·课标理数浙江卷】 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【解析】 由题意得：||α||βsinθ＝12，∵||α＝1，||β≤1，∴sinθ＝12||β≥12. 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈[]π6，5π6. 13．【2011·新课标理数安徽卷】已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b 的夹角为________．
【解析】 设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为
0≤θ≤π，故θ＝π3. 14．【2011·课标文数福建卷】若向量a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b等于________． 【解析】 由已知a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得a·b＝1×(－1)＋1×2＝1.
15．【2011·课标理数湖南卷】在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________. 【解析】 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，可得A0，32，D(0,0)，B()－12，0，E13，36，故AD→＝0，－32，BE→＝56，36，
所以AD→·BE→＝－32×36＝－14. 16．【2011课标理数江西卷】已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 【解析】 设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)(a－b)＝－2得 |a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝12，∴θ＝π3. 17．【2011·课标文数江西卷】已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2
＝________.
【解析】 |e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－8＝－6. 18．【2011课标文数全国卷】 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 【解析】 由题意，得(a＋b)·(ka－b)＝k||a2－a·b＋ka·b－||b2＝k＋(k－1)a·b－1 ＝(k－1)(1＋a·b)＝0，a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.
19．【10安徽文数】设向量(1,0)a,11(,)22b,则下列结论中正确的是
(A)ab (B) 22•ab (C)//ab (D)ab与b垂直 【解析】11(,)22ab=，()0abbg，所以ab与b垂直. 20.【10重庆文数】若向量(3,)am，(2,1)b，0abg，则实数m的值为D （A）32 （B）32 （C）2 （D）6 21.【10重庆理数】已知向量a，b满足0,1,2,abab•，则2ab A. 0 B. 22 C. 4 D. 8 解析：2ab22844)2(222bbaaba 22．【10湖南文数】若非零向量a，b满足||||,(2)0ababb，则a与b的夹角为C A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
23.【10全国卷理数】ABCV中，点D在AB上，CD平方ACB．若CBauur，CAbuur，1a，2b，则CDuuur（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355ab
【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=DBCB1，所以D为AB的三等分点，且22ADAB(CBCA)33uuuruuuruuuruuur，所以2121CDCA+ADCBCAab3333
uuuruuuruuuruuuruuurrr
，选B.
24. 【10辽宁文数】平面上,,OAB三点不共线，设,OAaOBbuuurruuurr,则OAB的面积等于 （A）222()ababrrrr （B）222()ababrrrr （C）2221()2ababrrrr （D）2221()2ababrrrr 22
22
111()||||sin,||||1cos,||||1222||||OABabSabababababab
rrrrrrrrrrrr
rr
222
1
()2abab
rrrr
25.【10全国卷】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CBuuur= a , CAuuur= b , a= 1 ， b= 2, 则CDuuur=（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b
∵ CD为角平分线，∴ 12BDBCADAC，∵ ABCBCAabuuuruuuruuurrr，∴ 222333ADABabuuuruuurrr，∴ 22213333CDCAADbababuuuruuuruuurrrrrr 26.【10山东理数】定义平面向量之间的一种运算“e”如下，对任意的a=(m,n)r，bp,q)r（，令ab=mq-nprre，下面说法错误的是（ ）
A.若ar与br共线，则ab=0rre B.ab=barrrree
C.对任意的R，有a)b=(rre（ab)rre D. 2222(ab)+(ab)=|a||b|rrrrrre
【解析】若ar与br共线，则有ab=mq-np=0rre，故A正确；因为bapn-qmrre，而
ab=mq-nprre，所以有abbarrrree，故选项B错误，故选B。
27.【10四川理数】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216,BCABACABAC
uuuruuuruuuruuuruuur
则AMuuuur （A）8 （B）4 （C） 2 （D）1w_w w. k#s5_u.c o*m 解析：由2BCuuur＝16，得|BC|＝4 ABACABACBCuuuruuuruuuruuuruuur＝4 而ABACAMuuuruuuruuuur 故AMuuuur2 28.【10天津文数】如图，在ΔABC中，ADAB，3BCuuurBDuuur，1ADuuur，则ACADuuuruuur= （A）23 （B）32 （C）33 （D）3