平面向量历年高考题汇编——难度高

数 学

平面向量 平面向量的概念及其线性运算

1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是 ( )

A ．p ∨q

B ．p ∧q

C ．)()(q p ?∧?

D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL ) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB

→

与AC →

的夹角为________．

3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、

E 、

F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ）

A ． B.

21 C. D. 2

1

5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ）

A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的

平行四边形的面积为

1

2

，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

x y x x y

≥?=?

r r 为平面向量，则（ ）

A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤

B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥

C.2

222min{||

,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2

222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+

8. ★★ (2013广东W)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：

①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；

②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；

③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .

上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 9. ★★（2010浙江L ）已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹

角为120°，则α的取值范围是__________________ .

10. ★★(2010安徽L)设向量(1,0)a =，11

(,)22

b =，则下列结论中正确的是

（A ）a b = (B)2

·

a b = (C) a b -与b 垂直 （D ）a b ∥ 11. ★★ (2013课标全国Ⅱ，理)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD

?u u u r u u u r

＝__________.

12. ★★（2013山东卷L ）已知向量AB 与AC 的夹角为0

120，且3=AB ,2=AC ，若

AC AB AP +=λ，且BC AP ⊥，则实数λ的值为 。

13. ★★（2012山东L ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，

的坐标为______________。

14. ★★（2010浙江W ）已知平面向量,,1,2,(2),

αβαβααβ==⊥-则

2a β

+的值

是 。

15. ★★★(2013重庆L)在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜1

2

，则|OA u u u r |的取值范围是( )．

A ．52? ??

B ．5722?

?

?

C ．522

? ? D ．7

22? ? 16. ★★★(2014浙江 W) 设θ为两个非零向量,的夹角，已知对任意实数t ，

a b 的最小值为1.则（ ）

A.若θa

B.若θb 唯一确定

C.a θ唯一确定

D.b 确定，则θ唯一确定

平面向量基本定理及向量坐标运算

1．★(2014·重庆卷) 已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实

数k ＝( )

A ．－9

2

B ．0

C ．3

2．★(2014·福建卷 )在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)

3. ★（2014山东W ）已知向量3),(3,)a b m ==r r . 若向量,a b r r 的夹角为6

π

，则实

数m =

(A) 23

(B)

3

(C) 0

(D) 34. ★（2014广东W ）已知向量)2,1(=，)1,3(=，则=-a b

(A) 23

(B)

3

(C) 0

(D) 35. ★（2014北京W ）已知向量)1,1(),4,2(-==b a ，则=-2 A ．（5,7） B. (5,9) C. (3,7) D. (3,9)

6. ★（2013辽宁卷L ）已知点)3,1(A ，)1,4(-B ，则与向量AB 同方向的单位向量为

.A )54,53(- .B )53,54(- .C )54,53(- .D )5

3,54(-

7. ★（2013陕西卷W ）已知向量),1(m a =，)2,(m b =，若∥，则实数m 等于

.A 2- .B 2 .C 2-或2 .D 0

8. ★（2012广东W ）若向量AB u u u r

=（1,2），BC uuu r =（3,4），则AC u u u r =（ ）

A （4,6

B (-4，-6)

C (-2，-2)

D (2,2) 9. ★★（2013福建卷L ）在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为

.A 5 .B 52 .C 5 .D 10

10. ★★（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m +（m ∈R ），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ） ． A ．﹣2

B ． ﹣1

C ． 1

D ． 2

11. ★★（2013浙江卷L ）设0,P ABC ?是边AB 上一定点，满足AB B P 4

1

0=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00?≥?。则

A. 090=∠ABC

B. 0

90=∠BAC C. AC AB = D.BC AC =

12. ★★（2012安徽L ）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP uuu r

按逆时针旋转34

π

后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是（ ）

()A (72,2)-- ()B (2,2)- ()C (46,2)-- ()D (6,2)- 13. ★★（2011广东w ） 已知向量(1,2),(1,0),(3,4)a b c ===．若λ为实

数,()//,a b c λλ+=则 A ．

14 B .1

2

D . 2 14. ★★（2010新课标全国W ） a ，b 为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于

（A ）

865 （B ）865- （C ）16

65

（D ）1665-

15. ★★（2013山东卷L ）已知向量AB 与AC 的夹角为0

1203=AB 2=AC ，

若+=λ，且⊥，则实数λ的值为 。

16. ★★（2013江苏L ）设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且

12

,23

AD AB BE BC ==。若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r (1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值

为 。

17. ★★（2011北京L ）已知向量a =（3，1），b =（0，-1），c =（k ，3）。若a -2b 与c 共线，则k=___________________。

18. ★★（2010陕西L ）已知向量a=（2，-1），b=（-1，m ），c=（-1,2），若（a+b ）∥c

则m= . 19. ★（2012福建W ）若向量a=（1,1），b=（-1,2），则a ·b 等于_____________.

20★（2014北京L ） 已知向量u r α、r

b 满足1=r a ，()2,1=r b ，且()λλ+=∈0R r r a b ,则

λ= ．

21. ★★（2014陕西L ）设2

0π

θ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==r r ，，，，若b a ρρ//，

则=θtan _______.

22. ★★（2014?江西W ）已知单位向量与

的夹角为α，且cos α=，若向量=3

﹣

2

，则||= _________ ．

23．★★[2014·江西卷L] 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－

2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________． 24．★★(2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点??

??π12，3和点???

?2π

3，－2. (1)求m ，n 的值；

(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．

25．★★(2014·陕西卷L)设0<θ<π

2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，

则tan θ＝________．

26．★★(2014·陕西卷L) 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．

(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；

(2)设OP →＝mAB →＋nAC →

(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．

平面向量的数量积及应用

1．★(2014·北京卷) 已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．

2．★★(2014·湖北卷) 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．

3．★★(2014·江西卷) 已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1

3，向量a ＝3e 1

－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．

5．★★(2014·新课标全国卷Ⅱ) 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则

=?( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

6. ★★★(2014安徽L)设,a b r r 为非零向量，2b a =r r ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r

和

1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r 均由2个a r 和2个b r 排列而成，

若11223344x y x y x y x y ?+?+?+?u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r

所有可能取值中的最小值为24a r ，则a r 与b r

的夹角为（ ）

A.23π

B.3π

C.6

π

7. ★★(2014重庆L)已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===r r r

，且()

c b ⊥-32，则实数

=k （ ）

9

.2A - .0B .C 3 2

15.D

8. ★★（2014山东L ）在ABC ?中，已知tan AB AC A ?=u u u r u u u r ，当6

A π

=时，ABC ?的面

积为 .

9．★★（2014·天津卷） 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别

在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →

＝－23，则λ＋μ＝( )

10. ★★（2014湖北L ）设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r

，若()()

a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实

数λ=________.

11. ★★（2014陕西）设2

0π

θ<

<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若

0=?b a ，则=θtan ______.

12. ★★★（2013湖南卷L ）已知b a ,是单位向量，0=?b a ，若向量c 满足b a c --=1，

则c 的取值范围是

.A ]12,12[+- .B ]22,12[+- .C ]12,1[+ .D ]22,1[+

13. ★★ （2011·广东卷L ） 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

14. ★★ （2011·湖南卷L ） 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →

，则AD →·BE →＝________.

15. ★★ （2011·辽宁卷L ） 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )

－1 B ．1 D ．2

16. ★★ （2011·全国卷）设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－1

2

，〈a －c ，b －c 〉＝

60°，则|c |的最大值等于( )

A ．2 D ．1 17. ★( 2011·重庆卷) 已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

18. ★★ （2011·江苏卷） 已知e 1，e 2是夹角为2π

3

的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1

＋e 2, 若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．