历年高考数学真题精选18 平面向量的线性运算
历年高考数学真题精选18平面向量的线性运算
第1页（共 10页）A ．2B ．3C ．D ．5D ，E ，F 分别是 ABC 的边 AB ， BC ， CA 的中点，则 （uuur uuur B ． BD CF uuur DF历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算 （学生版）D ．既不平行也不垂直uuur uuur uuur uuur足|CD| 1，则|OA OB OD |的取值范围是 (uuur uuur uuuurAB AC mAM 成立，则 m1．（ 2015?新课标Ⅰ）设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD，则 （ )uuur 1 uuur 4 uuuruuur 1 uuur 4 uuurA ． AD AB AC B ． AD ABAC3 333uuur 4 uuur 1 uuuruuur 4 uuur 1 uuurC ． AD AB 1 AC D ． ADAB 1AC3 3332．（ 2008?湖南）设 D 、E 、F 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、 AB 上的点，且 uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuurCE 2EA ，AF 2FB ，则AD BE CF 与 BC()．选择题（共 13 小题）A ．反向平行B ．同向平行uuur uuuruuur uuur DC 2 BD ，3．（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中， O 为原点， A( 1,0) ， B(0, 3) ， C(3,0) ，动点 D 满C ．互相垂直 A ．[4， 6]B ． [ 19 1， 19 1]C ．[2 3 ， 2 7]D ． [ 7 1， 7 1] 4 ．（ 2011 ? 上 海 ） 设 A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是 平 面 上 给 定 的4 个不 同点 ， 则使uuuuruuuur MA MA uuu ur MAuuuur rMA 4 0 成立的点 M 的个数为 A ．0B ．1C ．D ．45 ．（ 2010 ?湖 北） 已 知 ABC 和 点 uuur M 满足 MA uuurMBuuu ur MC．若存 在 实数 m 使得6．（ 2009?湖南）如图，A ． AD DF CFuuur uuur u uur r uuur uuur uuur C ． AD CE CF 0 D ． BD BE FC则O uu C ur等于 ( )uuur uuuruuur uu 2 uuur 1 uuur1 u uu2 u uurA ． 2OA OB B ． OA 2OBC ． OA OBD ．OAOB3 3 338．（ 2006?全国卷Ⅰ） 设平面向量 a r 1 r、 a 2 、 a r 3 的和 a r 1 a r 2 a r 3 0 ．如果向量 r b 1、 r b2 r 、 b3 ，满足| b r i | 2|a r i |， 且 a r i 顺时针旋转 30 后与 b r i 同向，其中 i 1 ， 2， 3，则（)r r r rrr rrr r r rA ． b 1 b 2 b 3 0B ． b 1 b 2b 3C ． b 1 b 2b 3 0D ． b 1 b 2 b 3ur uur ur uur 9．（ 2016 ?上海）设单位向量 e 1 与 e 2 既不平行也不垂直，对非零向量a r x 1e 1 y 1e 2 、①若 x 1 y 2 x 2 y 1 0 ，则 a r / /b ；r②若 x 1x 2 y 1y 2 0，则 a b ．关于以上两个结论，正确的判断是 （ ）A ．8B ．4C ．2D ．111．（ 2018?新课标Ⅰ）在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， uuurE 为 AD 的中点，则 EB （)7．（2008?辽宁）已知 O ，A ，B 是平面上的三个点， uuur uuur直线AB 上有一点 C ，满足 2AC CB 0， x 2 e 1uur y 2 e 2 有结A ．① 成立， ② 不成立B ． ① 不成立， ②成立C ．① 成立， ② 成立D ．① 不成立， ②不成立10．（ 2010?四 川）设 点 M 是线 段 BC 的 中点， 点 A 在直线 BC 外，uuur 2BC 16 ，uuur uuur uuur | AB AC | | AB uuur uuuur AC|，则|AM | (A ． AB4AC 4B ． 12．（2011?全国）点D，E，uuur uuur uuur设 AFABAC ，则（ 4 2A ． （ ， )B ． 7 71 uuur 3 uuur 3 uuur 1AB ACC ． AB 4 4 4 4 uuur F 是 ABC 内三点，满足 AD ，)()14 41 (，)C ． ( ， )7777uuur13 uuurACD ABAC4 4uuur uuur uuur uuu r uuur DE ， BE EF ， CF FD ，2 4D（， )7 73 uuur 1 uuur则x ， y ．uuur uuur uuur16．（2013?四川）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 交于点 O ， AB AD AO ，则．17．（2013?北京）向量 a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示， 若c ra rb r （ , R ） ，13．（2010?全国大纲版Ⅱ） A BC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分uuur r uuur r ACB ，若CB a ，CA b ，1r2r2r1r A ． a b B ． a b 3333二．填空题（共 4 小题）14．（2017?江苏） 如图， 在同一个平面内，C ． 3r 4rD ． 4r 3ra ba b5555uuur uuu r uuuruu ur 向量 OB ， OC 的模分别1， 1， 2 ， OAuuur uuur uuur与 OC 的夹角为 ，且 tan 7 ， OB 与 OC 的夹角为 45．若 uuurOCuuur mOA uuurnOB (m,n R) ，uuuur15．（2015?北京）在 ABC 中，点 M ，N 满足uuuur 2MC ， uuu rBN uuur NC，若 uuuur uuur MN xAB uuur yAC ， 2 r br则m历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算 （教师版）一．选择题（共 13 小题） uuur uuur1．（ 2015?新课标Ⅰ）设 D 为 ABC 所在平面内一点， BC 3CD ，则 （ ）uuur uuur足 | CD | 1，则 | OA uuur OB uuurOD | 的取值范围是 （)A ．[4， 6]B．[ 19 1 ， 19 1] C ．[2 3 ， 2 7]D ． [ 7 1，7 1]答案】 DB(0, 3)， C(3,0) 3．（ 2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点， ，动点 D 满A( 1,0) ， 可设 D (3 cos， sin )([0 ，2))．u u A u u r C 4 3 u u A 1 u r B u u A u u r B 1 3 u u A4 u u r D u r D u u A uuAu uu r A D u uu ru r B uuA 1u uu r A C 4uuur 解析】 由uuuruuur AB BDuuu r AB 4 uuur BC 3uuu rAB 4 uuur (AC 3uuurAB) 1 uuur 4 uuurAB AC 33故选： A ．2．（2008?湖南） 设 D 、E 、 F 分别是 ABC 的三边 BC 、CA 、 AB 上的点， uuur 且 DC uuur2 BD ， uuur uuur uuur uuurCE 2EA ， AF 2FB ，则 uuur uuur AD BE uuur uuur CF 与 BC( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案】 A解析】 由定比分点的向量式得：uuu r AD uuur uuur AC 2 AB 2 uuuruuur 1 uuur 2 uuur CF 1 CA 2CB ，以上三式相加得3uu ur AD12 uuur uuur BECF1uuurAC 3 1 uuur BC，2 uuurAB ， 3 uu ur BE 1 uuur BC 3 2 uuurBA ， 3 故选： A ． uuur解析】 Q 动点 D 满足|CD| 1， C又 A( 1,0) ， B(0, 3) ，uuur uuur uuur OA OB OD (2 cos , 3 sin ）．uuur uuur uuur |OA OB OD | (2cos ) 2 ( 3 sin ) 28 4cos 2 3sin8 2 7 sin(），u uu r A B所以满足条件的 M 只有一个，故选： B ．uuur uuur uuuur5 ．( 2010 ?湖 北)已 知 ABC 和点 M 满 足 MA MB MC uuur uuur uuuurAB AC mAM 成立，则 m ( ) A ．2B ．3C ． 4D ． 5【答案】 B【解析】 由u M u A ur u M uu B r u M uu C ur 0r 知，点 M 为 ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，uuuur 2 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur 则 AM AD (AB AC) (AB AC) ，3 3 2 3uuur uuur uuuur所以有 AB AC 3AM ，故 m 3 ，故选： B ．6．( 2009?湖南)如图， D ，E ，F 分别是 ABC 的边 AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )其中sin Q 1剟sin( ) 1 ， ( 7 1)2 8 2 7剟8 2 7 sin( ) 8 2 7 ( 7 1)2 ，uuur uuur | OA OB uuurOD | 的取值范围是 [ 7 1, 7 1]． uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuuruuur uuur或， ，将其起点平移到 D 点，由其与 CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即 uuur uuur uuur |OA OB OD | 的取值范围是 [ 7 1, 7 1] ．故选： D ．是 平面 上 给定 的 4 个不 同点 ， 则使 uuuur MA 1 uuuur MA 2 uuuur MA 3 uuuur MA 4 r 0 成立的点 M 的个数为 （ )A ．0B． 1C ．2D ． 4 答案】Buuuur uuuur uuuur uuuur r解析】 根据所给的四个向量的和个零向量MA 1 MA 2 MA 3 MA 4 0r，uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur r uuuur uuur uuuur uuuur uuuur则 OA 1 OM OA 2 OM OA 3 OM OA 4 OM 0 ，即 4OM OA 1 OA 2 OA 3 OA 4 ， uuuur 1 uuur uuuur uuuur uuuur 所以 OM (OA 1 OA 2 OA 3 OA 4 )．4当A 1 ， A 2 ， A 3 ， A 4 是平面上给定的 4 个不同点确定以后，则 uuuurOM 也是确定的，0r ．若存在实数 m 使 得cos4 ．（ 2011 ? 上 海 ） 设 A 1 ， A ，A 3 ， A 4uuuruuur uuur r uuur uuur uuur rA．AD DF CF 0 B．BD CF DF 0uuur uuur uuur r uuur uuur uuurC AD CE CF 0 D BD BE FC答案】A解析】由图可知AD DB ，CF FA ED在DBE 中，DB BE ED 0 ，即AD CF BE 0 ．故选： A．uuur uuur7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC CB 0 ，uuur则OC 等于（)uuur uuur uuur uuur 2 uuur 1uuur1uuur2 uuurA．2OA OB B．OA 2OB C．OA OB D．OA OB3 3 3 3 【答案】 Auuur 【解析】Q 依题uuurOBuuurBCuuurOBuuur2ACuuurOBuuur2(OCuuurOA)．uuurOCuuur2OAuuurOB．故选：A8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量a r1、a r2、a r3的和a r1 a r2 a r3 0 ．如果向量b1、b2、b3，满足| b r i | 2|a r i|，且a r i顺时针旋转30 后与b r i同向，其中i 1，2，3，则（）A ．b1 b2 b3 0B ．b1 b2 b3 0 C．b1 b2 b3 0 D ．b1 b2 b3 0【答案】 D【解析】向量a r1、a r2、a r3的和a r1a r2a r30，向量a r1、a r2、a r3顺时针旋转30后与b1、b2、r r r r r rb3 同向，且|b i | 2|a i |，b1 b2 b3 0 ，故选：D．ur uur r ur uur 9．（2016?上海）设单位向量e1 与e2 既不平行也不垂直，对非零向量a r x1e1 y1e2 、b x2 e1 y2 e2 有结论：r①若x1y2 x2y1 0，则a r //b；②若x1x2 y1y2 0，则a r 关于以上两个结论，正确的判断是（）A ．① 成立，② 不成立B．① 不成立，②成立平行也不垂直， x 1x 2 ， y 1 y 2 ，满足 x 1y 2x 2y 1 0 ，r r因此 a / /b ．②若x 1x 2 y 1y 2 0 ，r r ur uur uruurur uur ur uur则 agb (x 1e 1 y 1 e 2 )g( x 2 e 1y 2 e 2 ) x 1x 2 y 1y 2 (x 2y 1x 1y 2 )e 1 ge 2 (x 2y 1 x 1 y 2 )e 1 ge 2 ，无法得到定正确．故选： A ．答案】答案】 A答案】 BC ．① 成立， ②成立 答案】 AD ．① 不成立， ②不成立解析】 ① 假设存在实数 u r 11则rbra得使y 2 e 2 ） ，Q 向量 e 1 与e 2既不r g r10 ．（ 2010?四川设 点 M 是线 段 BC 的 中点， 点 A 在直线 BC 外uuu r 2 BC16uuur uuur uuur | AB AC | | AB uuur uuuur AC|，则|AM | ( A ．8B ．4C ．2D ．1解析】 uuur2 由 BC 16 uuur ，得 | BC| 4， uuur Q | AB uuur uuur uuur AC | | AB AC | uuur uuur |BC | 4，而 | AB uuur uuuurAC| 2|AM |uuuur | AM | 2故选：11．（ 2018?新课标Ⅰ）ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，uuu r EB3 uuur A ．3 AB 1 uuur AC 41uuur B ． AB3 uuur 3AC 43uuurC ． 3 ABuu ur ACD ． 1uuurAB 4uuu r AC解析】 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，uu ur EB uuu rABuuur uuurAE AB uuu r ADuuur 1 AB 21 uuur12(AB uuur AC)3uuurAB 4 1 uuurAC ，4 故选： A ． 12． 2011?全国）F 是 ABC 内三点，满足 uuur uuur AD DE uu ur BE uu ur EF uuu r CF uuurFDuuur 设 AF uuu r AB uuu r AC则（A ．(472 27)1 B ．(174 74)C ． 4 (74，7)D ． 2 (72 447)解析】 如图可得 D 是 AE 中点， E 是 BF 中点， F 为 CD 中点，(x 2e 1y 1uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur1uuur 1 uuur 1 uuurAF ACAD AC1AE AE 1 AF AB22 2 422 uuur 1 uuur 4 uuur 1 4AF ABAC，故B777 7uuur r uuur rABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分 ACB ，若 CB a ，CA b ，r r uuur |a r| 1，|b| 2，则 CD ( ) 1 r 2rB．2 r 1 r 3r 4r 4 r3 r A ． ab ab C ． ab D ． a b 33335555答案】B解析】 Q CD 为角平分线，BD BC 1，AD AC2uuur uuur uuur r Q AB CB CA a二．填空题（共 4 小题）uuur uuur uuur uuur 14．（ 2017?江苏）如图，在同一个平面内， 向量 OA ，OB ，OC 的模分别为 1，1， 2，OA与u O uu C r 的夹角为 ，且 tan 7 ， O uu B ur 与 u O uu C r 的夹角为 45 ．若 u O u C ur mO uu A ur nO uu B ur（m,n R ） ，解析】 如图所示，建立直角坐标系． A （1,0） ．13．（2010?全国大纲版Ⅱ）u uuru u urb2 ra 2rr32a r 13br故选： B ．ruuur uuur 由 OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan7．coscos( 45 )B( 5,5)．2(cos(cos 2 uuur OC sin sin( 45uuuruuur mOA nOB( m,n R)，1 ， sin 522(sin 2 3 5n ，7 52cosC(15,75)．解得则m 15．（2015?北京） n 3 ．故答案为： 3．在 ABC 中，点 M ， N 满足 uuuurAM uuuur 2MC uuu rBNuuur NC ，若 uuu ur MNuuur xAB uuur yAC ，则x 答案】解析】 由已知得到uuu ur MN uuu ur MC uu ur CN1 uuur AC 31uuurCB 21 uuur 1AC 32 uuur (AB uuur AC)uuu r ABuuur AC ；由平面向量基本定理，得到 16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O uuu r AB uuur ADuuur AO ，答案】 2． 解析】 Q 四边形 ABCD 为平行四边形， 对角线 AC 与 BD 交于点 O ， uuu r AB uuu r ADuuur AC ，又O 为 AC 的中点，uuur uuur uuur uuur AC 2AO ， AB AD uuur 2AO ， uuur uuur uuurQ AB ADAO 2 ．故答案为： 2 ． 17．（2013?北京）向量a r ，b ，c r在正方形网格中的位置如图所示， 若 c r b( ,R)，答案】4．解析】以向量a r、b r的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系2因此，21 4 故答案为：42ra得可3)Q c r a r b (16R) 3126，解之得 2 且26。
高考数学 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 高考真题
专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
高考数学专题之平面向量及算法
一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数
的公式．图 1 是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了 a 个酒缸，短边放置
了 b 个酒缸，共放置了 n 层．某同学根据图 1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框
图，如图 2，那么在 和 两个空白框中，可以分别填入( )
6．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a
＋b|＝( )
A. 6
B． 5
C．2
D． 3
8．(2019·湖南省湘东六校联考)若向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a·(a－b)＝32，则向量 a，
B．6 D．8
[专题过关检测]
一、选择题
1．(2019·蓉城名校第一次联考)已知向量 e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1， 3)，e1，e2 的夹角为 60°，则(e1＋e2)·e2＝( )
35 A. 5
B．2 55
C．5
D． 5
2．(2019·武昌区调研考试)已知向量 a＝(2,1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－
1 A.3
B．34
4 C.7
D．171
5．(2019·广州市调研测试)已知△ABC 的边 BC 上有一点 D 满足―B→D ＝
4―D→C ，则―AD→可表示为( )
A．―A→D ＝14―A→B ＋34―A→C
B．―A→D ＝34―A→B ＋14―A→C
C．―A→D ＝45―A→B ＋15―A→C
平面向量的线性运算及练习试题
平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a 。
历年高考数学真题精选18 平面向量的线性运算
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十八 平面向量的线性运算（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．45．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．56．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC 等于( ) A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=9．（2016•上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：①若12210x y x y -=，则//a b ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )A ．8B ．4C ．2D ．111．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)713．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ．16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ．17．（2013•北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ= ．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则( ) A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由4414()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+；故选：A ．2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =，2CE EA =，2AF FB =，则AD BE CF ++与(BC )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +==++，1233BE BC BA =+，1233CF CA CB =+，以上三式相加得13AD BE CF BC ++=-，故选：A ．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]【答案】D【解析】动点D 满足||1CD =，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π．又(1,0)A -，B ，∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+．||(2OA OB OD ∴++=，（其中sinϕ=cos ϕ1sin()1θϕ-+，∴22(71)8827sin()827(71)θϕ=-+++=+，||OA OB OD ∴++的取值范围是1]．或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++，OA OB OC ++=，将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++的取值范围是1]．故选：D ．4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=，则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=，即12344OM OA OA OA OA =+++， 所以12341()4OM OA OA OA OA =+++．当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM 也是确定的， 所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．5．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=．若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由0MA MB MC ++=知，点M 为ABC ∆的重心，设点D 为底边BC 的中点， 则2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 所以有3AB AC AM +=，故3m =，故选：B ．6．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=B ．0BD CF DF -+=C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=【答案】A【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==在DBE ∆中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC 等于( ) A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A【解析】依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-．∴2OC OA OB =-．故选：A ．8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=．如果向量1b 、2b 、3b ，满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+=C ．1230b b b +-=D ．1230b b b ++=【答案】D【解析】向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=，向量1a 、2a 、3a 顺时针旋转30︒后与1b 、2b 、3b 同向，且||2||i i b a =，∴1230b b b ++=，故选：D ．9．（2016•上海）设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+、2122b x e y e =+有结论：①若12210x y x y -=，则//a b ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥． 关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】A【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=，则11122122()x e y e x e y e λ+=+，向量1e 与2e 既不平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b ． ②若12120x x y y +=，则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+，无法得到0a b =，因此a b ⊥不一定正确．故选：A ．10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =，||||AB AC AB AC +=-，则||(AM = )A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由216BC =，得||4BC =，||||||4AB AC AB AC BC +=-==，而||2||AB AC AM +=∴||2AM =故选：C ． 11．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 12EB AB AE AB AD =-=-11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选：A ． 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =，BE EF =，CF FD =，设AF AB AC λμ=+，则(λ，)(μ= ) A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)7【答案】B【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，∴11112224AF AC AD AC AE =+=+，1122AE AF AB =+． ∴1477AF AB AC =+，∴14,77λμ==，故选：B ．13．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，||1a =，||2b =，则(CD = ) A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +【答案】B【解析】CD 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， AB CB CA a b =-=-，∴222333AD AB a b ==-， ∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+故选：B ． 二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则m n += ．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．由OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=．cosα∴，sin α=．17(,)55C ∴．3cos(45)sin )5ααα+︒=-=-．4sin(45)cos )5ααα+︒+=． 34(,)55B ∴-．(,)OC mOA nOB m n R =+∈，∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，54m =． 则3m n +=．故答案为：3．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN xAB y AC =+，则x = ，y = ． 【答案】11,26-．【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-；由平面向量基本定理，得到12x =，16y =- 16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=，则λ= ． 【答案】2．【解析】四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =，∴2AB AD AO +=， AB AD AO λ+=，2λ∴=．故答案为：2．17．（2013•北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈，则λμ= ．【答案】4．【解析】以向量a 、b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得(1,1)a =-，(6,2)b =，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-因此，2412λμ-==-故答案为：4。
专题09 平面向量(解析版)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)
专题09平面向量考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：平面向量线性运算2022年新高考全国I 卷数学真题平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．考点2：数量积运算2022年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题考点3：求模问题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年北京高考数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：求夹角问题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国II 卷数学真题考点5：平行垂直问题2024年上海夏季高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题考点6：平面向量取值与范围问题2024年天津高考数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题2022年新高考天津数学高考真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算1．（2022年新高考全国I 卷数学真题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 【答案】B【解析】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ ．故选：B ．考点2：数量积运算2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= ．【答案】11【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5【答案】B【解析】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uu ur uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：5,2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos 25255DE CE DC DEC DE CE +-∠==⋅⨯⨯，所以3cos 5535EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【解析】∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.5．（2024年北京高考数学真题）设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-=，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.考点3：求模问题6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量a ，b满足3a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ．3【解析】法一：因为2a b a b +=- ，即()()222a ba b +=-，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，整理得220a a b -⋅= ，又因为3a b -= ()23a b -= ，则22223a a b b b -⋅+==r r r r r ，所以3b = 法二：设c a b =-r rr ，则3,2,22c a b c b a b c b =+=+-=+r r r r r r r r r ，由题意可得：()()2222c b c b +=+r r r r ，则22224444c c b b c c b b +⋅+=+⋅+r r r r r r r r ，整理得：22c b =r r ，即3b c ==r r 37．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B ．22C ．32D ．1【答案】B【解析】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，从而22=b .故选：B.8．（2023年北京高考数学真题）已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -r r （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为()()()2,12,44,3a b -=--=- ，所以()22435-=+-a b .故选：D考点4：求夹角问题10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量()()3,1,2,2a b ==，则cos ,a b a b +-= （）A ．117B ．1717C 55D 255【答案】B【解析】因为(3,1),(2,2)a b ==，所以()()5,3,1,1a b a b +=-=- ，则225334,112a b a b +=+-=+= ()()()51312a b a b +⋅-=⨯+⨯-= ，所以()()17cos ,342a b a b a b a b a b a b+⋅-+-==⨯+-.故选：B.11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量,,a b c 满足1,2a b c === 0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】因为0a b c ++=,所以a b c +=-r r r ,即2222a b a b c ++⋅= ,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,AB 边上的高2222OD AD =所以22222CD CO OD =+=,1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-2421510=⨯-=.故选:D.12．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+ a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A ．6-B ．5-C ．5D ．6【答案】C【解析】()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c =,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C考点5：平行垂直问题13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b，256k ∴=⨯，解得15k =．故答案为：15．14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ，则m =．【答案】34-/0.75-【解析】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-.故答案为：34-.16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-【答案】D【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//a b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“13x =-”是“//a b ”的充分条件【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥时，则0a b ⋅= ，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得13x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当13x =-时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为．【答案】43518-【解析】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅ 取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF 中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅的最大值为（）A ．122+B ．1222+C ．12+D ．22+【答案】A【解析】如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭222sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-122224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1.当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭ 12cos 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭22222ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+122224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅有最大值122.综上可得，PA PD ⋅的最大值为122.故选：A.20．（2022年新高考北京数学高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=-- ，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在ABC 中，,CA a CB b == ，D 是AC 中点，2CB BE = ，试用,a b表示DE 为，若AB DE ⊥ ，则ACB ∠的最大值为【答案】3122b a - 6π【解析】方法一：31=22DE CE CD b a -=- ，,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-= ，2234b a a b +=⋅ 222333cos 244a b a b b a ACB a b a b a b⋅+⇒∠==≥= 3a b = 时取等号，而0πACB <∠<，所以(0,]6ACB π∠∈．故答案为：3122b a - ；6π．方法二：如图所示，建立坐标系：(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y ，3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=-- ，23()(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+ 22(1)4x y ⇒++=，所以点A 的轨迹是以(1,0)M -为圆心，以2r =为半径的圆，当且仅当CA 与M 相切时，C ∠最大，此时21sin ,426r C C CM π===∠=．故答案为：3122b a - ；6π．22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是．【答案】[122,16]+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726222222(0,1),,,(1,0),,,(0,1),,,(1,0)222222A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,82222A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤ ，所以221cos 4512x y +≤+≤ ，故222128PA PA PA +++ 的取值范围是[1222,16]+.故答案为：[1222,16]+．23．（2023年天津高考数学真题）在ABC 中，160BC A =∠= ，，11,22AD AB CE CD == ，记,AB a AC b == ，用,a b 表示AE = ；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为．【答案】1142a b + 1324【解析】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，两式相加，可得到2AE AD AC =+ ，即122AE a b =+ ，则1142AE a b =+ ；空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，即32AF a b =+ ，即2133AF a b =+ .于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ .记,AB x AC y ==，则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭=⎝⎭⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅ 有最大值1324.故答案为：1142a b + ；1324.。
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习1．设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小．2．(合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →＋CB →＝0,则向量OC →等于( C )A ．23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →,CB →＝OB →－OC →,所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0,所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(济宁模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点,∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN→)＝m 2AM →＋n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1,∴m ＋n ＝2.4．(河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC→,F 为AE 的中点,则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB→＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.5．(长春模拟)在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD→＝13AB →＋12AC →,则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16B ．13C ．12 D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上,从而有S△ABD＝12S △ABC ,又S △ACD ＝13S △ABC ,所以S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ,所以S △BCDS △ABD＝13.故选B ．6．(太原模拟)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →＝23AB →＋λ·AC →,则|AP →|的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ,使得AD→＝23AB →,过D 作DH ∥AC ,交BC 于H .∵AP→＝23AB →＋λAC →,且点P 是△ABC 内一点(含边界),∴点P 在线段DH 上． 当P 在D 点时,|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时,|AP →|取得最大值,此时B ,P ,C 三点共线, ∵AP→＝23AB →＋λAC →,∴λ＝13, ∴AP→＝13AC →＋23AB →,∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC→＝529,∴|AP →|＝2133.故|AP→|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m＝3__.解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点, 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点, 同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM→＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB→＋AC →＝3AM →,则m ＝3.8．(郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为－94.解析：由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2, 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2,又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中,A ＝90°,B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋μAB→,则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,∴AB →＝2DC →,∵点E 在线段CD 上,∴DE→＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →,又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →,∴2μλ＝1,即μ＝λ2,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(太原质检)设G 为△ABC 的重心,且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心,∴GA→＋GB →＋GC →＝0,GA →＝－(GB →＋GC →), 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→,GC →不共线,∴sin B －sin A ＝0,sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知,b ＝a ＝c , ∴△ABC 是等边三角形,则B ＝60°.11．如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO→.解：由D ,O ,C 三点共线,可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数), 同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),①又BO→＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,②所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ,b 不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO→＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP→,则点P 是△ABC 的( A ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →,得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0,即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0,所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点,则AB →·2PD →＝0,故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →,所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →,所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ,同理可得BC →·PE→＝0, 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点, 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示,在△ABC 中,AD ＝DB ,点F 在线段CD 上,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →, 因为C ,F ,D 三点共线,所以2x ＋y ＝1,即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2,则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2,令f ′(x )＝0,得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时,f ′(x )＜0, 当x ＞2－1且x ≠1时,f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时,f (x )取得极小值,亦为最小值,最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(河北百校联盟联考)已知在△ABC 中,点D 满足2BD→＋CD →＝0,过点D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点M ,N ,AM→＝λAB →,AN →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为3＋223.解析：连接AD ．因为2BD→＋CD →＝0,所以BD →＝13BC →,AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ,M ,N 三点共线,所以存在x ∈R , 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →,则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB→＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,所以xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ时等号成立,所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ,则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0,则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是①③④__.解析：①恒成立,②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉, (λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ＜0时,λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立,③a ＝λb ,则sin 〈a ,b 〉＝0, 故a ⊗b ＝0恒成立,④a ＝λb ,且λ＞0,则a ＋b ＝(1＋λ)b ,(a ＋b )⊗c ＝|(1＋λ)||b |·|c |sin 〈b ,c 〉,(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝|λb |·|c |sin 〈b ,c 〉＋|b |·|c |sin 〈b ,c 〉＝|1＋λ||b |·|c |sin 〈b ,c 〉, 故(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )恒成立．。
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历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（学生版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r，则( )A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r，2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u ur )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是( )A ．[4，6]B ．11]+C ．，D ．11]4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．45．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r．若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．56．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r，则OC u u u r等于( )A ．2OA OB -u u u r u u u rB ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u ur u u u rD ．1233OA OB -+u u ur u u u r8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r顺时针旋转30︒后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r rB ．1230b b b -+=r r rC ．1230b b b +-=r r rD ．1230b b b ++=r r r9．（2016•上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r、2122b x e y e =+u r u u r r有结论：①若12210x y x y -=，则//a b rr ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥rr ．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r)A ．8B ．4C ．2D ．111．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r)A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r 12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r，设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ，)(μ= )A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)713．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，||1a =r，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233a b +r rB ．2133a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +rr二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n += ．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则x = ，y = ．16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r ，则λ= ．17．（2013•北京）向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则λμ= ．历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）一．选择题（共13小题）1．（2015•新课标Ⅰ）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r，则( )A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r【答案】A【解析】由4414()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；故选：A ．2．（2008•湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r，2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u ur )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1233BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r，1233CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，以上三式相加得13AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u ur ，故选：A ．3．（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是( )A ．[4，6] B．11]+ C．， D．11]【答案】D【解析】Q 动点D 满足||1CD =u u u r，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π． 又(1,0)A -，B ，∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+u u u r u u u r u u u r．||OA OB OD ∴++=u u u r u u u r u u u r ，（其中sinϕ=cos ϕ1sin()1θϕ-+Q 剟，∴221)88)81)θϕ=-+++=，||OA OB OD ∴++u u u r u u u r u u u r的取值范围是1]．或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r，将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是1]．故选：D ．4．（2011•上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r，则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r ，即12344OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，所以12341()4OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ．当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM u u u u r也是确定的，所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．5．（2010•湖北）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r．若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r成立，则(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r知，点M 为ABC ∆的重心，设点D 为底边BC 的中点，则2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==⨯+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以有3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，故3m =，故选：B ．6．（2009•湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r【答案】A【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==在DBE ∆中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．7．（2008•辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r，则OC u u u r等于( ) A ．2OA OB -u u u r u u u rB ．2OA OB -+u u u r u u u rC ．2133OA OB -u u ur u u u rD ．1233OA OB -+u u ur u u u r【答案】A【解析】Q 依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．∴2OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r．故选：A ．8．（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r顺时针旋转30︒后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r r B ．1230b b b -+=r r rC ．1230b b b +-=r r rD ．1230b b b ++=r r r【答案】D【解析】向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r ，向量1a r 、2a r 、3a r顺时针旋转30︒后与1b r 、2b r 、3b r 同向，且||2||i i b a =r r，∴1230b b b ++=r r r ，故选：D ．9．（2016•上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r 、2122b x e y e =+u r u u r r有结论：①若12210x y x y -=，则//a b r r ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥rr ．关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】A【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=r r，则11122122()x e y e x e y e λ+=+u r u u r u r u u r ，Q 向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b rr ．②若12120x x y y +=，则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r rr g g g g ，无法得到0a b =r r g ，因此a b ⊥r r 不一定正确．故选：A ．10．（2010•四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r)A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】由216BC =u u u r ，得||4BC =u u u r，Q ||||||4AB AC AB AC BC +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而||2||AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ∴||2AM =u u u u r故选：C ．11．（2018•新课标Ⅰ）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r 3144AB AC =-u u ur u u u r ，故选：A ．12．（2011•全国）点D ，E ，F 是ABC ∆内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r，设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则(λ，)(μ= )A ．4(7，2)7B ．1(7，4)7C ．4(7，1)7D ．2(7，4)7【答案】B【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，∴11112224AF AC AD AC AE =+=+u u u ru u ur u u u r u u u r u u u r ，1122AE AF AB =+u u u r u u u r u u u r ．∴1477AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴14,77λμ==，故选：B ．13．（2010•全国大纲版Ⅱ）ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r，||1a =r，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233a b +r rB ．2133a b +rrC ．3455a b +rrD ．4355a b +rr【答案】B【解析】CD Q 为角平分线，∴12BD BC AD AC ==， Q AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，∴22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r rr r 故选：B ．二．填空题（共4小题）14．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OAu u u r与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r的夹角为45︒．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n += ．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．由OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=．cosα∴，sin α=．17(,)55C ∴．3cos(45)sin )5ααα+︒=-=-．4sin(45)cos )5ααα+︒+=． 34(,)55B ∴-．Q (,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，54m =． 则3m n +=．故答案为：3．15．（2015•北京）在ABC ∆中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，则x = ，y = ． 【答案】11,26-．【解析】由已知得到111111()323226MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ；由平面向量基本定理，得到12x =，16y =- 16．（2013•四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，则λ= ． 【答案】2．【解析】Q 四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =u u u r u u u r，∴2AB AD AO +=u u u r u u u r u u u r ， Q AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r，2λ∴=．故答案为：2．17．（2013•北京）向量a r ，b r ，c r在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则λμ= ．【答案】4．【解析】以向量a r、b r 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =-r ，(6,2)b =r ，(1,3)c =--rQ (,)c a b R λμλμ=+∈r r r ∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-因此，2412λμ-==-故答案为：4。