历年高考数学真题精选18 平面向量的线性运算
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（学生版）
一．选择题（共13小题）
1．（2015?新课标Ⅰ）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r
，则( )
A ．1433
AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r
B ．1433AD AB A
C =-u u u r u u u r u u u r
C ．4133A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
2．（2008?湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r
，
2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u u
r )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
3．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是( )
A ．[4，6]
B ．11]+
C ．，
D ．11]
4．（2011?上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
成立的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
5．（2010?湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r
．若存在实数m 使得
AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r
成立，则(m = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．（2009?湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ?的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B ．0
BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r
7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，
直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r
，则OC u u u r
等于( )
A ．2OA O
B -u u u r u u u r
B ．2OA OB -+u u u r u u u r
C ．2133
OA OB -u u u
r u u u r
D ．1233OA OB -+u u u
r u u u r
8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r
．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r
顺时针旋转30?后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r r
B ．1230b b b -+=r r r
C ．1230b b b +-=r r r
D ．1230b b b ++=r r r
9．（2016?上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r
、2122b x e y e =+u r u u r r
有结论：
①若12210x y x y -=，则//a b r
r ； ②若12120x x y y +=，则a b ⊥r
r ．
关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立 B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
10．（2010?四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r
)
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
11．（2018?新课标Ⅰ）在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r
)
A ．
3144
AB AC -u u u
r u u u r B ．
1344
AB AC -u u u
r u u u r C ．
3144AB AC +u u u r u u u r
D ．1344
AB AC +u u u
r u u u r 12．（2011?全国）点D ，E ，F 是ABC ?内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r
，
设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则(λ，)(μ= )
A ．4(7，2)7
B ．1(7，4)7
C ．4(7，1)7
D ．2(7，4)7
13．（2010?全国大纲版Ⅱ）ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，
若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r
，||1a =r
，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233
a b +r r
B ．2133
a b +r
r
C ．3455
a b +r
r
D ．4355
a b +r
r
二．填空题（共4小题）
14．（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OA
u u u r
与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r
的夹角为45?．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，
则m n += ．
15．（2015?北京）在ABC ?中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r
，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，
则x = ，y = ．
16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r ，
则λ= ．
17．（2013?北京）向量a r ，b r ，c r 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则
λ
μ
= ．
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十八 平面向量的线性运算（教师版）
一．选择题（共13小题）
1．（2015?新课标Ⅰ）设D 为ABC ?所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r
，则( )
A ．1433
AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r
B ．1433AD AB A
C =-u u u r u u u r u u u r
C ．4133A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
【答案】A
【解析】由4414()3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ；故选：A ．
2．（2008?湖南）设D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2DC BD =u u u r u u u r
，
2CE EA =u u u r u u u r ，2AF FB =u u u r u u u r ，则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与(BC u u u
r )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】由定比分点的向量式得：2121233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，1233
BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r
，
1233CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，以上三式相加得13
AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u u
r ，故选：A ．
3．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0)A -
，B ，(3,0)C ，动点D 满足||1CD =u u u r ，则||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是( )
A ．[4，6] B
．1
1]+ C
．
， D
．1
1]
【答案】D
【解析】Q 动点D 满足||1CD =u u u r
，(3,0)C ，∴可设(3cos D θ+，sin )([0θθ∈，2))π． 又(1,0)A -
，B ，
∴(2cos sin )OA OB OD θθ++=+u u u r u u u r u u u r
．
||OA OB OD ∴++=u u u r u u u r u u u r ，
（其中sin
?=
cos ?
1sin()1θ?-+Q 剟，∴221)88)81)θ?=-+++=，
||OA OB OD ∴++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是1]．
或||||OA OB OD OA OB OC CD ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r
，
将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即||OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的
取值范围是1]．故选：D ．
4．（2011?上海）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
成立的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】根据所给的四个向量的和是一个零向量12340MA MA MA MA +++=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r
，
则12340OA OM OA OM OA OM OA OM -+-+-+-=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r r ，即12344OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，
所以12341()4
OM OA OA OA OA =+++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ．
当1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同点确定以后，则OM u u u u r
也是确定的，
所以满足条件的M 只有一个，故选：B ．
5．（2010?湖北）已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r
．若存在实数m 使得
AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u u r
成立，则(m = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r
知，点M 为ABC ?的重心，设点D 为底边BC 的中点，
则2211()()3323AM AD AB AC AB AC ==?+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
所以有3AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r
，故3m =，故选：B ．
6．（2009?湖南）如图，D ，E ，F 分别是ABC ?的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )
A ．0AD DF CF ++=u u u r u u u r u u u r r
B ．0
BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r
C ．0A
D C
E C
F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r
【答案】A
【解析】由图可知AD DB =，CF FA ED ==
在DBE ?中，0DB BE ED ++=，即0AD CF BE ++=．故选：A ．
7．（2008?辽宁）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，
直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=u u u r u u u r
，则OC u u u r
等于( ) A ．2OA OB -u u u r u u u r
B ．2OA OB -+u u u r u u u r
C ．2133OA OB -u u u
r u u u r
D ．1233
OA OB -+u u u
r u u u r
【答案】A
【解析】Q 依题22()OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．∴2OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r
．故选：A ．
8．（2006?全国卷Ⅰ）设平面向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r
．如果向量1b r 、2b r 、3b r ，满足||2||i i b a =r r ，且i a r
顺时针旋转30?后与i b r 同向，其中1i =，2，3，则( ) A ．1230b b b -++=r r r B ．1230b b b -+=r r r
C ．1230b b b +-=r r r
D ．1230b b b ++=r r r
【答案】D
【解析】向量1a r 、2a r 、3a r 的和1230a a a ++=r r r ，向量1a r 、2a r 、3a r
顺时针旋转30?后与1b r 、2b r 、3b r 同向，且||2||i i b a =r r
，∴1230b b b ++=r r r ，故选：D ．
9．（2016?上海）设单位向量1e u r 与2e u u r 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+u r u u r r 、2122b x e y e =+u r u u r r
有结论：
①若12210x y x y -=，则//a b r r ；②若12120x x y y +=，则a b ⊥r
r ．
关于以上两个结论，正确的判断是( ) A ．①成立，②不成立
B ．①不成立，②成立
C ．①成立，②成立
D ．①不成立，②不成立
【答案】A
【解析】①假设存在实数λ使得a b λ=r r
，则11122122()x e y e x e y e λ+=+u r u u r u r u u r ，Q 向量1e u r 与2e u u r 既不
平行也不垂直，12x x λ∴=，12y y λ=，满足12210x y x y -=，因此//a b r
r ．
②若12120x x y y +=，
则111221221212211212211212()()()()a b x e y e x e y e x x y y x y x y e e x y x y e e =++=+++=+u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r r
r g g g g ，无法得到
0a b =r r g ，因此a b ⊥r r 不一定正确．故选：A ．
10．（2010?四川）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216BC =u u u r ，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则||(AM =u u u u r
)
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】由216BC =u u u r ，得||4BC =u u u r
，
Q ||||||4AB AC AB AC BC +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而||2||AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ∴||2AM =u u u u r
故选：C ．
11．（2018?新课标Ⅰ）在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r
) A ．
3144
AB AC -u u u
r u u u r B ．
1344
AB AC -u u u
r u u u r C ．
3144
AB AC +u u u
r u u u r D ．
1344
AB AC +u u u
r u u u r 【答案】A
【解析】在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB AB AC =-?+u u u r u u u r u u u r 3144
AB AC =-u u u
r u u u r ，故选：A ．
12．（2011?全国）点D ，E ，F 是ABC ?内三点，满足AD DE =u u u r u u u r ，BE EF =u u u r u u u r ，CF FD =u u u r u u u r
，设AF AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r
，则(λ，)(μ= )
A ．4(7，2)7
B ．1(7，4)7
C ．4(7，1)7
D ．2(7，4)7
【答案】B
【解析】如图可得D 是AE 中点，E 是BF 中点，F 为CD 中点，
∴11112224AF AC AD AC AE =
+=+u u u r
u u u
r u u u r u u u r u u u r ，1122AE AF AB =+u u u r u u u r u u u r ．
∴1477AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴14
,77
λμ==，故选：B ．
13．（2010?全国大纲版Ⅱ）ABC ?中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，
若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r
，||1a =r
，||2b =r ，则(CD =u u u r ) A ．1233
a b +r r
B ．2133
a b +r
r
C ．3455
a b +r
r
D ．4355
a b +r
r
【答案】B
【解析】CD Q 为角平分线，∴
1
2
BD BC AD AC ==， Q AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，∴222333
AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ，
∴22213333
CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r
r r 故选：B ．
二．填空题（共4小题）
14．（2017?江苏）如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 的模分别为1，1OA
u u u r
与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r
的夹角为45?．若(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，
则m n += ．
【答案】3
【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A ．
由OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α，且tan 7α=．cos
α∴，sin α=．17(,)55C ∴．
3cos(45)sin )5ααα+?=
-=-．4
sin(45)cos )5ααα+?+=． 34(,)55B ∴-．
Q (,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，∴1355m n =-，74055n =+，解得74n =，5
4m =． 则3m n +=．故答案为：3．
15．（2015?北京）在ABC ?中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r
，若MN xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r ，
则x = ，y = ． 【答案】11,26
-．
【解析】由已知得到111111()323226
MN MC CN AC CB AC AB AC AB AC =+=+=+-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ；
由平面向量基本定理，得到12x =
，16
y =- 16．（2013?四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r
，
则λ= ． 【答案】2．
【解析】Q 四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ， 又O 为AC 的中点，∴2AC AO =u u u r u u u r
，∴2AB AD AO +=u u u r u u u r u u u r ， Q AB AD AO λ+=u u u r u u u r u u u r
，2λ∴=．故答案为：2．
17．（2013?北京）向量a r ，b r ，c r
在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈r r r ，则
λ
μ
= ．
【答案】4．
【解析】以向量a r
、b r 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系
可得(1,1)a =-r ，(6,2)b =r ，(1,3)c =--r
Q (,)c a b R λμλμ=+∈r r r ∴1632λμλμ-=-+??-=+?，解之得2λ=-且1
2μ=-
因此，
2
41
2
λμ-==-故答案为：4
《第一节平面向量的概念及其线性运算》教案
教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.20XX年7月4日，两岸直航包机启航．若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，台北到上海的位移用向量c表示．想一想，向量a、b、c有何关系？ 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为________________________________．
2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________，三角函数线都是_____________． 知识讲解 考点1 向量的有关概念
考点2 向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的 和的运算叫做a与b的差 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb 考点3 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
例题精析 【例题1】 【题干】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0； ③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【例题2】 【题干】如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝13OB.设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是
三年高考真题分类汇编(平面向量)
三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1．（19全国1文理）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 2．（19全国2理）已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ?u u u r u u u r =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 3．（19全国2文）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ） A B ．2 C ． D ．50 4．（19全国3理）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0 ，若2=c a ，则cos ,<>=a c 23 5．（19全国3文）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>= a b 6.（19天津文理）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7．（18浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ，向量b 满足b 2?4e ·b +3=0，则|a ?b |的最小值是（ ） A 1 B C ．2 D ．2 8．（18天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ） （A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0 9．（18天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则?uu u r uur AE BE 的最小值为 （ ）
人教A版高中数学《平面向量的线性运算》教学设计
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为AB ，水速为，则两速度和：AC =+ 新授课阶段 一、向量的加法 A B C A C A B C
O A a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角形法则（“首尾相接，首尾 连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且 |a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加. 例1 已知向量a 、b ，求作向量a +b . 作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a +b a +b a a b b a ｂ ｂ ａa
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(含详细答案)
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则 的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6
4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（）
12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC 的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D． 14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．4 二．选择题（共8小题） 15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．
平面向量线性运算教案
向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】
（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
平面向量高考试题精选
平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0
(完整版)平面向量的线性运算测试题
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
高考数学真题平面向量的概念与运算【学生试卷】
高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ．31 44AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ， 1?=-a b ，则(2)?-=a a b ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】 4．(2017北京)设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0?
平面向量的线性运算教学设计
《平面向量的线性运算》复习教学设计 高中数学北师大版 西安交通大学第二附属中学 刘正伟
§5.1平面向量的线性运算 【教学目标】 知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观； 1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义； 2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件； 了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。 【教学重点、难点】 重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件； 难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。 【教具准备】 多媒体课件 【教学方法】 启发引导式；讲练结合 【教学设计】 （一）．复习导入 问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？ 学生：速度，加速度，位移，力 力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算 那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题 （二）知识要点 1.向量的线性运算
a 是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得 b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 3.【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终 点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连 接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12 (OA →＋OB →)． 3.OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，点A ，B ，C 共线 λ＋μ＝1. 题型一 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算 例2 (1)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )
平面向量的线性运算随堂练习(答案)
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
平面向量线性运算教案
适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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最新平面向量的线性运算及练习
平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法
平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案
平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???=
6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案 High school mathematics compulsory 4 "plane vector linear op eration" teaching plan
高中数学必修4《平面向量线性运算》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 教学准备 教学目标 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法; 教学重难点 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义.
教学工具 投影仪 教学过程 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义; 2、交换律和结合律;
高考数学平面向量及其应用习题及答案 百度文库
一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案
海伊教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：九年级课时数： 学员姓名：张鸿敬辅导科目：数学学科教师：高老师 课 题 平面向量的线性运算 授课时间：2013 年10月18日备课时间：2013 年10月16日 教学目 标1.通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。 3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。 5.学会分析问题和创造地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。 6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律。 重点、难 点1.向量加法的运算及其几何意义。 2.对向量加法法则定义的理解。 3.向量的减法运算及其几何意义。 4.对向量减法定义的理解。 5.实数与向量积的意义。 6.实数与向量积的运算律。 7.两个向量共线的等价条件及其运用。 8.对向量共线的等价条件的理解运用。
授课方 法 联想质疑——交流研讨——归纳总结— —实践提高 教学过程 一、情景设置（知识导入） 二、探索研究 【知识点总结与归纳】 一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行： (1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式； (2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。 二、1. 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特
平面向量高考试题精选(含详细标准答案)
— 平面向量高考试卷精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） 、 A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ | 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） （ A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜ ＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B．C．D．1 { 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A．B．C．D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A．B．C．D．0 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 ~