2018届高考数学一轮复习第十章概率第一节随机事件的概率学案文

- 1 - 第一节随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式．

知识点一 频率与概率 1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．我们把这个常数叫做随机事件A的______．记作________． 2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而______是一个确定的值，通常人们用______来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用______来作为随机事件概率的估计值． 答案 1．稳定性 概率 P(A) 2．概率 概率 频率

1．给出下列三个命题： ①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中错误的命题有________个．

解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念． 答案：3 2．(2017·长沙模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 - 2 -

[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5 43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5)的概率约是( )

A.16 B.13

C.12 D.23 解析：由条件可知，落在[27.5,43.5)的数据有11＋12＋7＋3＝33(个)，故所求概率约为3366＝12.

答案：C 知识点二 事件的关系与运算 定义 符号表示

包含关系 如果事件A____，则事件B____，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ____________ 相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 ____ 并事件 (和事件) 若某事件发生_______________，称此事件为事件A与事件B的______(或和事件) ____________

交事件 (积事件) 若某事件发生_________________发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ____________

互斥事件 若A∩B为______事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立事件 若A∩B为______事件，A∪B为________，那么称事件A与事件B互为对立事件 答案 发生 一定发生 B⊇A(或A⊆B) A＝B 当且仅当事件A发生或事件B发生 并事件 A∪B(或A＋B) 当且仅当事件A发生且事件B A∩B(或AB) 不可能 不可能 必然事件

3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( ) A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解析：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立． - 3 -

答案：B 4．(人教A必修③P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( ) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥． 答案：D 知识点三 概率的基本性质 1．概率的取值范围：____________. 2．必然事件的概率P(E)＝____. 3．不可能事件的概率P(F)＝____. 4．概率的加法公式． 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________. 5．对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝____，P(A)＝________. 答案 1．0≤P(A)≤1 2.1 3.0 4．P(A)＋P(B) 5.1 1－P(B)

5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)．

解析：∵P(A)＝152，P(B)＝1352，

∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝152＋1352＝1452＝726. 答案：726 6．(2017·太原模拟)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为________；中10环的概率约为________．

解析：中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9，所以此人射击1次， - 4 -

中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2. 答案：0.9 0.2

热点一 随机事件间的关系 【例1】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是女生． 【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件． “恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件． (2)不是互斥事件，也不是对立事件． “至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生． (3)是互斥事件且是对立事件． “至少有1名男生”，即“选出的两人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件． ∴两个事件互斥且对立. 【总结反思】 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.

下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出

现反面”，则事件M与N互为对立事件． ②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件． ③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件． ④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件． 其中真命题是( ) A．①②④ B．②④ - 5 -

C．③④ D．①②

解析：对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错．对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确．对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错．对④，事件A、B为对立事件，则在一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确． 答案：B 热点二 随机事件的频率与概率 【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值； (2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值． 【解】 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数

小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a. 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 【总结反思】 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．