高等数学方明亮版课件1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

高等数学-函数的连续性课件.ppt

(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在处没有定义
2、函数在时极限不存在
函数值不等
3、函数在处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量从它的一个初值变到终值终值与初
值的差就叫做变量u的增量记作
即
注：
不表示某个变量与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点的某一个邻域内是有定义的
当自变量在这邻域内从变到时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。

连续函数的运算及初等函数的连续性

例、讨论函数y = sin 1的连续性
x
lijuan
解：y = sin 1由y = sin u,u = 1 复合而成
x
x
y = sin u当u ∈ (−∞, +∞)连续
u = 1 当x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)内连续 x
∴ y = sin 1 在(−∞, 0) ∪ (0, +∞)内是连续的（去掉不连续点） x
14
lijuan
定理3与4的比较：
定理3、（1）lim x → x0
g(x)
=
u0存在，
（2）y = f (u)在u = u0处连续
定理4、（1）lim x → x0
g(x)
=
g ( x0
)连续，
（2）lim u →u0
f (u) =
f
(u0 )连续
15
四、初等函数的连续性 lijuan
1、基本初等函数在其定义域内是连续的，因此，初等函数在其定义区间内连续
证明：∵
lim
x→ x0
g(x)=
g(x0 )
= u0,
lim
u →u0
f (u) =
f
(u0 )
⎫ ⎬
⇐
连续
⎭
连续
= ∴ lim x → x0
f [g(x)] u = g (x)
=
lim f (u)
u →u0
f (u0 )
= f [lim g(x)] x → x0
= f [g(x0 )]
⇒∴连续
13
定理5、设函数u = g(x)当x → x0时极限存在且等于u0，
即：lim x→ x0
g(x) = u0，而函数y

1-9高等数学A连续函数的运算与初等函数的连续性( 修改9月17)

0, 0, 使当 u u0 时, 恒有 f (u) f (u0 ) 成立.
又
lim
x x0
g(
x)

u0
,
对于 0, 0, 使当0 x x0 时,
连续函数的运算与初等函数的连续性
恒有 g( x) u0 u u0 成立.
次序.
例1 求 lim ln(1 x) .
x0
x
1
利用lnu的连续性
1
解: 原式 limln(1 x)x ln[lim(1 x)x ] ln e 1.
x0
x0
同理 lim log a (1 x) 1
x0
x
ln a
连续函数的运算与初等函数的连续性
例2
求 lim x3
x
arccos 1
23
分子有理化
分离无穷小量
交换次序：用arccosu的连续性
连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数u g( x)在点 x x0连续, 且 g( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [g( x)]在点 x x0也连续.
将上两步综合起来:
0, 0, 使当0 x x0 时, f (u) f (u0 ) f [g( x)] f (u0 ) 成立.
lim x x0
f [g( x)]
f (u0 )

f [ lim g( x)]. x x0
【注意】本节定理3是§5定理6（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来的极限存在加强为连续.

第九节连续函数的运算和初等函数的连续性总结

2.定理3是定理6的特殊情况.
2019/1/8 1-9 连续函数的运算 7
ln(1 x ) . 例求 lim x 0 x
ln( 1 x) 解：原式 lim x 0
1 x
1 x
ln u在u e连续.
ln[ lim (1 x ) ] x 0
ln e 1.
2 x) 书P69最下面一段话。例8 求 lim(1 x 0
3 sin x
解:
原式
2 x
2019/1/8
1-9 连续函数的运算
17
内容小结
基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续
初等函数在定义区间内连续
说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其
左、右连续性.
2019/1/8 1-9 连续函数的运算 18
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
2019/1/8
1-9 连续函数的运算
2
例1 . 设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
根据连续函数运算法则 , 可知连续 .
2019/1/8 1-9 连续函数的运算
也在
说明: 若 lim u( x ) 0, lim v( x ) , 则有
x x0 x x0
x x0
lim 1 u( x )

v( x)

e
e
x x0
lim v( x ) u( x )
2019/1/8
1-9 连续函数的运算

高等数学方明亮版18-函数的连续性与间断点省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件

一天气温是连续地改变着，表达函数连续性
2024/2/19
2
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二、函数连续性（Continuit从初值 x1 变到终值 x2 ，终值与初值的差 x2 x1 叫做变量 x 的增量，记作 x ，即 x x2 x1 ．
显然，增量 x 可以是正的，也可以是负的．
第二类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中最少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
2024/2/19
12
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比如:
(1) y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
y
y tan x
o
x
2
(2) y sin 1 x
左右极限最少有一个不存在
2024/2/19
16
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课后练习
习题 1-8 2（偶数题） 5 6
思索与练习
1.
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
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17
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18
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3. 讨论以下函数连续性，若有间断点，判断其类别．
(1 x2n )x
f (x) lim n 1 x2n
习题1－9 3（2）
x, | x | 1

高等数学：连续函数的运算

《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
初等函数连续性的应用
【1】求初等函数在其有定义的点处的极限时，根据连续性，此时只需直接求初等函数在该
点的函数值。这是因为，只要是求极限，函数在该点的空心邻域内也一定有定义，就是该点一
定是定义区间内的点，故函数在该点必然连续，即
lim
xx0
f (x)
f (x0（)
《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
【例3】
求极限
lim
xa
arc
s
in(loga
x)(a
1)
解：因为函数 arcsin(log a x)(a 1) 是初等函数，且该函数在x=a处有定义，所以有
lim
xa
arcsin(loga
x)
arcsin(loga
a)
arcsin1
2
【例4】求函数
y
简证：因为φ(x)在点 x0 连续，所以有
lim
xx0
(
x)
(
x0
)
而函数 y f (u) 在点 u0 连续，再由定理2 ，有
lim
xx0
f [(x)]
f [lim (x)] xx0
f [(x0 )]
即复合函数 f [(x)] 在点 x0 处也连续。
连续函数经复合运算后仍然连续
《高等数学》 1.9.1 连续函数的运算
x0
定义区间）。
【2】求间断点。高等数学的主要研究对象是初等函数和分段函数。对于初等函数，有定义的点处要么是连续的，要么是孤立点不讨论连续或间断。因而，初等函数的间断点一定是其无定义的点。对于分段函数，其在每一个区间段内都是初等函数，即分段函数在每一个区间段内均连续，故其间断点只可能是无定义的点及其分段点。

高等数学连续函数的运算法则

在0点的邻域内没有定义. 函数在区间[1,＋∞)上连续 2. 初等函数求极限的方法代入法.
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
x 1
( x0 定义区间 )
例如 lim sin e x 1 sin e1 1 sin e 1.
15
例3 求极限 lim ( x 2 x x 2 x )
x=f -1(y) y=f(x) y=f -1(x)
1 2 3 4 5
定理2
若函数y=f(x)在
区间 Ix上单调增加且连续,
则它的反函数x=f -1(y)在
对应区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}
上单调增加且连续.
5
因为y=sinx在 [ , ]上单调增加且连续 2 2
故y=arcsinx在[-1,1]上单调增加且连续
e
lim v ( x )lim ln u ( x )
e
b ln[lim u( x )]
e
b ln a
e
ln a b
ab
☺幂指函数求极限的方法：当底数的极限为正，且指数的极限为常数时，幂指函数求极限等于对其底数和指数分别取极限。
17
例4 求极限 lim(1 2 x )
x 0Biblioteka 3 sin x0 0, 0, 当0<|x-x0|<δ时， | f ( g ( x )) f ( u0 ) |
lim f ( g( x )) f ( u0 )
x x0
8
☺当外层函数连续，内层函数极限存在，且 U ( x0 ) D f g 时，“极限号”可以“穿过”外层“函数号例1 证明当x→0时，ln(1+x)~x , e 1 ~ x 证： lim ln(1 x ) x 0 x

连续函数运算法则和初等函数连续性

指数函数和对数函数的连续性
指数函数
$f(x) = a^x$，其中 $a > 0, a neq 1$。对于任意 $x_0$，有 $f(x_0) = a^{x_0}$，因此，指数函数在定义域内是连续的。
VS
对数函数
$f(x) = log_a x$，其中 $a > 0, a neq 1$。对于任意 $x_0 > 0$，有 $f(x_0) = log_a x_0$，因此，对数函数在定义域内也是连续的。
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续函数的性质
局部性质
如果函数在某点连续，则在该点附近具有局部性质，如局部有界性、局部单调性等。
整体性质
如果函数在区间上连续，则在整个区间上具有整体性质，如整体有界性、整体单调性等。
连续函数的图像
01
连续函数的图像是连续的曲线或折线，没有间断点。
应用
可以用来证明一些不等式和求解方程的近似解。
开区间上连续函数的不动点定理
不动点定理
应用
如果函数在闭区间上连续，且在该区间内存在一个不动点，即函数值等于该点的函数值，则在该区间内至少存在一个不动点。
可以用来证明一些数学问题，如解方程的近似解和求解优化问题等。
感谢您的观看
THANKS
05
初等函数在开区间上的连续性
开区间上连续函数的性质
极限性质
如果函数在某点的极限存在，则该点是函数的连续点。
局部性质
如果函数在某点的左右极限相等，则该点是函数的连续点。
增减性
如果函数在某区间内单调增加或单调减少，则该区间内函数是连续的。
开区间上连续函数的介值定理

§1-9j

10
定理1.9.2 (复合函数的连续性定理复合函数的连续性) 复合函数的连续性处连续, 设函数 u = g ( x ) 在点 x = x0 处连续函数 y = f (u ) 在点 u = u0 处连续则处连续, 函数 y = f ( g( x )) 在点 x = x0 处连续
g ( x0 ) = u0
x→ x0
lim = 0 x x f ( x ) = f ( x0 ) →
0
某邻域内有定义, 定义1.9.3 设函数 y = f (x ) 在点 x0 某邻域内有定义定义若 lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
(2)
则称函数 y = f (x ) 在点 x0 处连续. 连续
12
2,初等函数的连续性 , 基本初等函数在其定义域内都是连续的; 基本初等函数在其定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的例1.求 lim ln sin x 求 π
x→ 2
解 lim ln sin x = ln sin π
x→ 2
π
2
=0
函数值在-1与之间变动无限多次之间变动无限多次, 因 x → 0 时, 函数值在与1之间变动无限多次
1 震荡间断点. 震荡间断点称 x = 0 为函数 f ( x ) = sin 的震荡间断点 x 2 x 1 在 x = 1处无定义从而间断例6. 函数 f ( x ) = 无定义, 从而间断. x 1 x +1 x2 1 = lim =2 但 lim f ( x) = lim x →1 x →1 x 1 x→1 1
解 f (0) = 1,
= lim ( x 2 + x + 1) = 1, lim f ( x ) x →0 x →0 lim f ( x ) = lim (sin x + 1) = 1, +