动点轨迹是圆的总结
高中数学“隐圆”问题的类型与解释
㊀㊀ʌ编者按ɔ 隐圆 问题是近年来高考及各级各类模拟考试数学卷考查的热点之一.对此,已有的一些研究大多比较零散.本期«专题研究»栏目呈现两篇以此为主题的文章,一篇侧重问题类型的全面解读,一篇侧重解题方法的深入分析,以期给大家呈现比较系统的认识.高中数学 隐圆 问题的类型与解释汪㊀生１,余建国２(１．江苏省南京市第十四中学,２１００３１;２．江苏省南京市大厂高级中学,２１００４４)摘㊀要: 隐圆 (满足一定条件的动点轨迹是圆或圆弧)问题的常见类型有 到两定点距离之比为定值 到两定点距离的平方和为定值对两定点的张角为定值 到两定点向量的数量积为定值 到两定直线距离的平方和为定值 .从代数和几何两个角度解释,分别指向圆的标准方程和圆的原始定义(或基本性质).由此得到教学启示:一方面,要引导学生发散思考㊁联系比较,进行多元表征,提升认知结构的清晰度以及思维的灵活性;另一方面,要引导学生集中分析㊁整合抽象,挖掘数学本质,提升认知结构的概括度以及思维的深刻性.关键词: 隐圆 问题㊀多元表征㊀数学本质㊀㊀ 隐圆 (满足一定条件 非原始定义和标准方程 的动点轨迹是圆或圆弧)问题是近年来高考及各级各类模拟考试数学卷考查的热点之一.例如:１．(２０１３年江苏高考数学卷)如下页图１,已知点A(０,３),直线l:y＝２x－４,设圆C 的半径为１,圆心在直线l上.若圆C上存在点M,使M A＝２M O,求圆心C的横坐标a的取值范围.２．(２０１４年北京高考数学卷)已知圆C:图１(x－３)２＋(y－４)２＝１和两点A(－m,０)㊁B (m,０)(m＞０),若圆C上存在点P,使得øA P B＝９０ʎ,则m的取值范围是㊀㊀㊀㊀.３．(２０１７年江苏高考数学卷)在平面直角坐标系x O y中,A(－１２,０)㊁B(０,６),点P在圆O:x２＋y２＝５０上,若P Aң P Bңɤ２０,则点P 的横坐标的取值范围是㊀㊀㊀㊀.４．(２０１３年安庆市迎江区模拟)已知三角形A B C中,A B＝２,A C２＋B C２＝１０,则三角形A B C面积的最大值为㊀㊀㊀㊀.５．(２０１８年如皋市二模)在平面直角坐标系x O y中,已知点A(m,０)㊁B(m＋４,０),若圆C:x２＋(y－３m)２＝８上存在点P,使得øA P B ＝４５ʎ,则实数m的取值范围是㊀㊀㊀㊀.６．(２０１７年 南通密卷 )已知点A(２,３)㊁B(６,３),点P在直线３x－４y＋３＝０上,若满足等式A Pң B Pң＋２λ＝０的点P有两个,则实数λ的取值范围是㊀㊀㊀㊀.本文试图总结 隐圆 问题的常见类型(进行多元表征),并从代数和几何两个角度进行解释(挖掘数学本质),进而获得一些教学的启示.一㊁ 隐圆 问题的常见类型及其解释 隐圆 问题可以分为距离型㊁角度型㊁向量型等.设A(x１,y１)㊁B(x２,y２)为两个定点(O为A B的中点),l１:A x＋B y＋c１＝０㊁l２: B x－A y＋c２＝０为两条相互垂直的定直线,P (x,y)为一个动点,则以下几种条件可以使点P的轨迹是圆或圆弧:(一)到两定点距离之比为定值:P A P B＝λ(λ＞０且λʂ１)代数解释:由P AP B＝(x－x１)２＋(y－y１)２(x－x２)２＋(y－y２)２＝λ,整理得x２＋y２＋２(x１－λ２x２)λ２－１x＋２(y１－λ２y２)λ２－１y＋λ２(x２２＋y２２)－(x２１＋y２１)λ２－１＝０,得x＋x１－λ２x２λ２－１æèçöø÷２＋y＋y１－λ２y２λ２－１æèçöø÷２＝λ２[(x１－x２)２＋(y１－y２)２](λ２－１)２,符合圆的标准方程形式.几何解释:根据三角形内角平分线定理 三角形内角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例 ,如图２,在әA B P中,若内角øA P B的平分线交A B于点M,则AM B M＝P A P B.根据三角形外角平分线定理 三角形不等的两边形成的外角的平分线外分其对边所成的两条线段与相应内角的两边对应成比例 ,如图２,在әA B P中,若外角øB P E的平分线交A B的延长线于点N,则A NB N＝P AP B.图２因此,当A㊁B为两个定点且P A P B＝λ(λ＞０且λʂ１)为定值时,әA B P的过点P的内㊁外角平分线与A B及其延长线的交点M㊁N确定.又由内㊁外角平分线可知øM P N＝９００,因此(利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半或直径所对的圆周角是直角可知),点P 轨迹是以MN 为直径的圆.(二)到两定点距离的平方和为定值:P A ２＋P B ２＝λλ＞１２A B ２æèçöø÷代数解释:由P A ２＋P B ２＝(x －x １)２＋(y －y １)２＋(x －x ２)２＋(y －y ２)＝λ,整理得x －x １＋x ２２æèçöø÷２＋y －y １＋y ２２æèçöø÷２＝λ２－(x １－x ２)２＋(y １－y ２)２４＞０,符合圆的标准方程形式.几何解释:根据三角形中线定理(或平行四边形四边㊁对角线平方和定理)苏教版教材中利用余弦定理证明过,有１２A B ２＋２P O２＝P A ２＋P B ２,故P O ２＝P A ２＋P B ２－１２A B２２＝λ２－A B ２４＞０,因此点P 轨迹是以O 为圆心㊁λ２－A B ２４为半径的圆.(三)对两定点的张角为定值:øA P B ＝θ(０＜θ＜π)代数解释:øA P B 无法直接用点A ㊁B ㊁P的坐标表示,必须转化为其三角函数值,常用的公式有:直线的夹角公式t a n øA P B ＝k P A －k P B１＋k P A k P B㊁向量的夹角公式c o s øA P B ＝P A ң P B ң|P A ң||P B ң|㊁余弦定理c o s øA P B ＝P A ２＋P B ２－A B ２２P A P B .由于利用直线的斜率公式和两点间的距离公式,将点A ㊁B ㊁P 的坐标代入后转化得到圆的标准方程形式的一般化字母运算过程比较复杂,这里省略,而以特殊情况øA P B ＝９０ʎ(此时,使用直线的夹角公式只需分母为０,使用向量的夹角公式或余弦定理只需分子为０)为例进行展示:由１＋k P A k P B ＝１＋y －y １x －x １ y －y ２x －x ２＝０,整理得x －x １＋x ２２æèçöø÷２＋y －y １＋y ２２æèçöø÷２＝(x １－x ２)２＋(y １－y ２)２４,符合圆的标准方程形式.由P A ң P B ң＝(x －x １,y －y １) (x －x ２,y －y ２)＝x ２－(x １＋x ２)x ＋y ２－(y １＋y ２)y ＋x １x ２＋y １y ２＝０,整理得x －x １＋x ２２æèçöø÷２＋y－y １＋y ２２æèçöø÷２＝(x １－x ２)２＋(y １－y ２)２４,符合圆的标准方程形式.由P A ２＋P B ２－A B ２＝(x －x １)２＋(y －y １)２＋(x －x ２)２＋(y －y ２)２－(x １－x ２)２－(y １－y ２)２＝０,整理得x －x １＋x ２２æèçöø÷２＋y－y １＋y ２２æèçöø÷２＝(x １－x ２)２＋(y １－y ２)２４,符合圆的标准方程形式.几何解释:根据圆周角定理 同弧所对的圆周角相等,等于它所对的圆心角的一半 及其逆命题(可以借助 圆外角 圆内角 与圆周角的大小关系,通过反证法证明),可得点P 的轨迹是两段以A B 为弦㊁A B s i n θ为直径A B ２|t a n θ|为弦心距æèçöø÷㊁(π－θ)为圆周角的圆弧( ８形圆,如图３).图３显然,当øA P B ＝９０ʎ时(利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半或直径所对的圆周角是直角可知),上述两段圆弧分别是以A B 为直径的半圆,合起来是一个整圆.(四)到两定点向量的数量积为定值:P A ң P B ң＝λλ＞－１４A B ２æèçöø÷由类型(三)的代数解释中直线夹角公式的特殊情况,可以想到连线斜率之积为定值,即k P A k P B ＝λ的情况.不难发现,当λ＜０且λʂ－１时,点P 的轨迹是椭圆;当λ＞０时,点P 的轨迹是双曲线 此即所谓的椭圆和双曲线的 第三定义 .当然,还可以继续研究连线斜率之和㊁差㊁比为定值的情况,这里不赘述.由类型(三)的代数解释中的向量夹角公式和余弦定理,可以想到距离之积为定值,即P A P B ＝λ(λ＞０)的情况.实际上,此时点P 的轨迹是卡西尼卵形线至此,距离之和㊁差㊁积㊁商为定值的情况全部研究过了.由类型(三)的代数解释中的向量夹角公式和余弦定理,还可以想到向量数量积为定值,即P A ң P B ң＝λλ＞－１４AB ２æèçöø÷的情况,并发现就是距离平方和减去定值后为定值,即P A ２＋P B ２－A B ２＝λλ＞－１４A B ２æèçöø÷的情况.由类型(二)可知,此时点P 的轨迹是圆.下面,对此从向量的角度再做一番解释(也进一步体会向量的夹角公式 数量积运算 与余弦定理的等价性):代数解释:由P A ң P B ң＝x ２－(x １＋x ２)x ＋y ２－(y １＋y ２)y ＋x １x ２＋y １y ２＝λ,整理得x －x １＋x ２２æèçöø÷２＋y－y １＋y ２２æèçöø÷２＝λ＋(x １－x ２)２＋(y １－y ２)２４＞０,符合圆的标准方程形式.几何解释:根据向量极化恒等式 与三角形中线定理(或平行四边形四边㊁对角线平方和定理),有P A ң P B ң＝P O ң２－１４A B ң２,故P O ң２＝P A ң P B ң＋１４A B ң２＝λ＋１４A B ң２＞０,因此点P 轨迹是以O 为圆心㊁λ＋１４A B ң２为半径的圆.(五)到两定直线距离的平方和为定值:d ２１＋d ２２＝λ(λ＞０)代数解释:由d ２１＋d ２２＝A x ＋B y ＋c １A ２＋B２æèçöø÷２＋B x －A y ＋c ２A ２＋B２æèçöø÷２＝λ,整理得x ＋A c １＋B c ２A ２＋B ２æèçöø÷２＋y ＋B c １－A c ２A ２＋B ２æèçöø÷２＝λ,符合圆的标准方程形式.几何解释:如图４,设直线l １与l ２的交点为M ,过点P 向直线l １作垂线,垂足为D ;向直线l ２作垂线,垂足为E ,则E MD P 为矩形,故d ２１＋d ２２＝PD ２＋PE ２＝P M ２＝λ,故P M ＝λ,所以点P 的轨迹是以M 为圆心㊁λ为半径的圆.图４此外,还有很多更复杂的 隐圆 问题类型,如 到一个确定的等边三角形三边距离的平方和为定值 等,这里不再一一列举.可见, 隐圆 问题的表征是非常多元的,但是无论哪种表征,其代数本质都是圆的标准方程,其几何本质都是圆的原始定义(或基本性质).二㊁教学启示数学知识有很强的关联性和高度的统一性.因此,在教学中,我们一方面,要引导学生发散思考㊁联系比较,进行多元表征,不拘泥于眼前的 树木 ,而关注到背后的 森林 ,从而提升认知结构的清晰度以及思维的灵活性;另一方面,要引导学生集中分析㊁整合抽象,挖掘数学本质,包括识别内容属性和掌握思想方法,从而提升认知结构的概括度以及思维的深刻性,最终促进学习迁移(举一反三).(一)进行多元表征数学知识的表征方式多种多样,比如符号表征㊁语言表征㊁图形表征㊁操作表征㊁情境表征等 当然,最重要的还是几何表征与代数表征.数学知识的联系和转化更是丰富多彩的.希尔伯特说过:数学宝藏是无穷无尽的,一个问题一旦解决,无数新的问题就会起而代之.G．波利亚说过:如果不变化问题,我们几乎不能有什么进展.因此,数学教学要求 变 ,引导学生 向四周看一看 ,寻找不同的表征形式,建立多元表征体系,把零散的内容(甚至看起来不太相关的内容)衔接起来㊁组织起来.例如,对两直线垂直,用斜率表征㊁用向量表征㊁用勾股定理表征.又如,对a＋１aȡ２(a＞０)这一基本形式进行代数换元和几何转化,获得更多的结论,命制不同的问题.(二)挖掘数学本质虽然数学知识的表征方式多种多样,但是,数学知识的本质往往是统一的.多元表征是基础,统一本质是深入.在不同的表征方式中寻找内在的关联和线索,挖掘共同的本质属性,是 变中不变 哲学思想的体现.面对数学问题的 汪洋大海 ,有时再多变化的表征,也只是 冰山一角 ,而只有挖掘出不变的本质,才能 一览众山小 ,更好地实现问题的联系和转化.因此,数学教学要求 通 ,引导学生 向前面走一走 ,寻找深层的数学本质,建立统一本质认识,把根本的属性挖掘出来㊁提炼出来.例如,对于 f(x)是定义在R上的以３为周期的奇函数,且f(２)＝０,设方程f(x)＝０在区间(０,６)内根的个数为m,求m的最小值 这一问题,要深刻认识到函数周期性和奇偶性的本质,即解析定义和图像特征,才能顺利解决.参考文献:[１]周涛．关注几何性质,透析命题视角 以 阿波罗尼斯圆 为例[J]．教学月刊(中学版),２０１３(１)．[２]刘密贵．登高远望好风景,圆角关系一线牵 «与圆有关的角»教学与思考[J]．教育研究与评论(课堂观察),２０１９(３)．[３]任念兵．基于核心概念的高中 数学欣赏 教学再探 以«欣赏向量»为例谈 数学欣赏 的结构层次[J]．教育研究与评论(中学教育教学),２０１６(１２)．[４]皮连生．教育心理学(第四版)[M]．上海:上海教育出版社,２０１１．。
专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .
【原创】圆的一般方程与点的轨迹
概念
圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特殊地，当 a＝b＝0 时，方程为 x2＋y2＝r2， 表示以原点为圆心、半径为 r 的圆．
概念
(1)圆的一般方程的概念： 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的 圆的圆心为(－D2 ，－E2)，半径长为12 D2＋E2－4F.
注：
应用待定系数法求圆的方程时： (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或
半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法求出常数 D、E、F.
例1
求过三点 O(0,0) 、 M1 (1,1) 、 M 2 (4,2) 的圆的方程，并求出圆的
设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线 且|PA|＝1，求 P 点的轨迹方程．
思考
已知△ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3， 求顶点 C 的轨迹方程．
半径长和圆心坐标。
例2
方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆，求实数 m 的取值范围。
例3
已知一动点与两个定点 O(0,0) 、 A(3,0) 距离之比为 1 ， 2
求动点的轨迹方程。
例4
长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动，
求线段 AB 中点 M 的轨迹。
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型(解析版)
2020中考常见最值问题总结归纳微专题一：单线段最值+单动点型WORKINGPLAN微专题一：单线段最值+单动点型类型一：动点轨迹--直线型考法指导动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。
【典例精析】例题1．（2020·全国初三单元测试）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】【详解】 ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上，连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +====故答案为：【针对训练】1．（2018·湖北中考真题）如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A．4 B．2 C ．1 D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E，MH ⊥AB 于H，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=2，∠A=∠B=45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴∴PE+QF=2，CQ+BQ，=2BC=2 ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12，PE+QF，=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C，2．（2017·江苏中考真题）如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______，【答案】【详解】解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，，ABC′=90°，，EE′=AC故答案为：3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∵A=∵B=60°，由旋转的性质得：∵ACB=∵DCE=60°，CD=CE，∵∵ACD=∵BCE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF∵EB交EB延长线于点F．∵∵ACD∵∵BCE，∵∵CBE=∵A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∵ACB=∵CBE=60°，∵AC∵EF，∵AF∵BE，∵AF∵AC，在Rt∵ACF中，，∵CD=CF=类型二：动点轨迹--圆或圆弧型考法指导动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
(word完整版)初中数学圆知识点总结,推荐文档
A图5圆的总结一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点外切（图2） 相交（图3） 内切（图4） 内含（图5） 无交点DBB ABA四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆知识点总结及归纳
第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
动点运动轨迹是圆或圆弧最值应用举例(一)
动点运动轨迹是圆弧的几何最值问题应用举例方法：利用三点共线即三角形三边的关系求最值例1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝2．点P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB，则线段BP 长的最小值是．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠BCP＝90°，∵∠PAC＝∠PCB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P 在以AC 为直径的⊙O 上，连接OB 交⊙O 于点P，此时PB 最小，在Rt△CBO 中，∵∠OCB＝90°，BC＝2，OC＝1.5，∴OB＝＝2.5，∴PB＝OB﹣OP＝2.5﹣1.5＝1．∴PB 最小值为1．例2、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P 为一动点，且PA⊥PC，连接BP，则BP 的最大值为．解：∵PA⊥PC，∴∠APC＝90°，∴点P 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点为O，以AC 为直径画⊙O，则当PB 经过点O 时，BP 最大，∵BC＝3，OC＝AC＝2，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BP 的最大值为+2，例3、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P 是AB 边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE 的长度最小值为．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵∠ABE＝∠BCE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴点E 在以BC 为直径的半圆上移动，如图，设BC 的中点为O，作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形AFGB，则点D 的对应点是F，连接FO 交AB 于P，交半圆O 于E，则线段EF 的长即为PD+PE 的长度最小值，∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OF＝＝3，∴EF＝3﹣3，故PD+PE 的长度最小值为﹣3，例4、（2018•兰州）如图，M、N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC 交BN 于点E，连接DE 交AM 于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是．解：如图，在正方形ABCD 中，AD＝BC＝CD，∠ADC＝∠BCD，∠DCE＝∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BC N中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM＝∠CBN，在△DC E 和△BCE 中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE＝∠CBE∴∠DAM＝∠CDE，∵∠ADF+∠CDE＝∠ADC＝90°，∴∠DAM+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，取AD 的中点O，连接OF、OC，则AD＝3，在Rt△ODC 中＝3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C 三点共线时，CF 的长度最小，最小值＝OC﹣OF＝3 ﹣3．(2)2 + 423例 5 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=4，AB=6，在线段AB 上有一点M，且BM=2.在线段AC 上有一动点N，连接MN，BN.将∆BMN 沿BN 翻折得到∆BM 'N .连接AM '、CM '. 则2CM '+2AM '的3最小值为.2解：在BM 上截取BQ= ，3BQ=BM '=2, ∠QBM '=∠M 'BA ，∴∆BQM ' ∆∠BM 'A.BM '∴QM '=BA 3BQ=1, ∴QM '=1M 'A,M 'A BM ' 3 3∴2CM '+2AM '= 2(CM '+1AM ') = 2(CM '+QM ')3 3当Q、M '、C 三点共线时，CM '+QM '=QC 有最小值为：QC= ==2 37 .3∴ 2CM '+2AM '的最小值为4 37.3 3例6、如图，在Rt△ABC 中，Q 为AC 上的动点，P 为Rt△ABC 内一动点，且满足∠APB＝120°，若D 为BC 的中点，则PQ+DQ 的最小值是解：如图以AB 为边，向左边作等边△ABE，作△ABE 的外接圆⊙O，连接OB，则点P 在⊙O 上．在Rt△ABC 中，∴AB＝4，则易知OB＝4，OB⊥BC，作点D 关于AC 的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC 于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′＝＝，∴PD′≥﹣4，∴PQ+DQ 的最小值为﹣4，BQ2 +BC 2QE练习1、（2019•双流区模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，点 E 是 AB 边上一动点，连接 CE ，过点 B 作 BG ⊥CE 于点 G ，点 P 是 AB 边上另一动点，连接 PD ，PG ，则 PD +PG 的最小值为．解：如图，取点 D 关于直线 AB 的对称点 D ′．以 BC 中点 O 为圆心，OB 为半径画半圆． 连接 OD ′交 AB 于点 P ，交半圆 O 于点 G ，连 BG ．连 CG 并延长交 AB 于点 E ． 由以上作图可知，BG ⊥EC 于 G ．PD +PG ＝PD ′+PG ＝D ′G 由两点之间线段最短可知，此时 PD +PG 最小．∵D ′C ′＝AB ＝3，OC ′＝6，∴D ′O ＝＝3，∴D ′G ＝DO ﹣OG ＝3﹣2，∴PD +PG 的最小值为﹣2，2、（2018 春•姜堰区期中）如图，点 M 、N 分别是正方形 ABCD 的边 CD 、CB 上的动点，满足 DM ＝CN ， AM 与 DN 相交于点 E ，连接 CE ，若正方形的边长为 2，则线段 CE 的最小值是．DM CNOAB解法一：取 AD 中点 O ，连接 OE ，OC∵ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠DCB ＝90°且 DM ＝CN ，∴△ADM ≌△DCN ∴∠CDN ＝∠DAM ，∵∠CDN +∠ADN ＝90°，∴∠DAM +∠ADN ＝90°，∴∠AED ＝90° ∴点 E 是以 AD 为直径的圆上一点，∵正方形 ABCD 的边长为 2，O 是 AD 中点∴CD ＝2，OD ＝1＝OE ，∴OC ＝＝，∵EC ≥OC ﹣OE ＝﹣1，∴EC 的最小值﹣1解法二：如图，取 AD 中点 O ，连接 OE ，OC ，当 O 、E 、C 三点在一条直线上时，DH 长度最小， 线段 DH 长度的最小值是： ﹣1．3、（2019•梁子湖区模拟）如图，M，N 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点，满足BM＝CN，连结AC交DN 于点P，连结AM 交BP 于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ 的最小值是．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°在△ABM 和△DCN 中，，∴△ABM≌△DCN，∴∠BAM＝∠CDN，在△CPB 和△CPD 中，，∴△CPD≌△CPB，∴∠CDP＝∠CBP＝∠BAM，∵∠CBP+∠ABP＝90°，∴∠BAM+∠ABP＝90°，∴∠AQB＝90°，∴点Q 在以AB 为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接OC 交⊙O 于点Q′，此时CQ′最小，∴CQ′＝OC﹣OQ′＝﹣＝．4、如图，在Rt△ABC 中，Q 为AC 上的动点，P 为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB＝120°，若D 为BC 的中点，则PQ+DQ 的最小值是解：如图以AB 为边，向左边作等边△ABE，作△ABE 的外接圆⊙O，连接OB，则点P 在⊙O 上．在Rt△ABC 中，∴AB＝8，则易知OB＝8，OB⊥BC，作点D 关于AC 的对称点D′，连接OD′，OP，PD′，PD′交AC 于Q，则PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OB2 +BD'282 + (6 3)2OD'=== 2 43.∴PD′≥2 -8 ，∴PQ+DQ 的最小值为2 - 8.5、（2019 秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC 上的两个动点，且DE＝4，P 是DE 的中点，连接PA，PB，则PB 的最小值为．解：如图，在BC 上截取，连接PF，CP，AF，∵DE＝4，P 是DE 的中点DE＝2，∵，＝∴，且，∴PF＝BP，∵PA+PB＝PA+PF，∴当点A，点P，点F 共线时PB 的最小值为AF，∴AF＝＝6、（重庆八中定时练习七18 题）如图，正方形ABCD 中，M、N 是AB 上的两个动点且AM＝BN，连接MD 交对角线AC 于点E，连接BE 交CN 于点F．若AB=2，则线段AF 长度的最小值为7、（2020 ft西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P 是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD 的最小值．43 43阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M，使得0M：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM 即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD 上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D 为△ABC 内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出BD 的最小值．解（1）在OD 上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD 取最小值时，PC+MP 有最小值，即C，P，M 三点共线时有最小值，利用勾股定理．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB 上取一点M，使得CD＝，∴的最小值为．。
高考数学知识点：动点的轨迹方程_知识点总结
高考数学知识点：动点的轨迹方程_知识点总结高考数学知识点：动点的轨迹方程动点的轨迹方程：在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。
求动点的轨迹方程的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。
1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,高考生物，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。
定义法的关键是条件的转化??转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y 的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
要特别注意消参前后保持范围的等价性。
多参问题中，根据方程的观点，引入n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
5、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
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动点轨迹是圆的总结
高考数学知识点：动点的轨迹方程动点的轨迹方程：
在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。
求动点的轨迹方程的基本方法：
直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。
1、直接法：
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹
方程，这种方法称之为直接法；
用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，*五个步骤，最后的*可以省略，但要注意“挖”与“补”。
求轨迹方程一般
只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2、定义法：
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程,高考生物，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。
定义法的关键是条件的转化??转化成某一基本轨迹的定义条件；
3、相关点法：
动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点p（x，y）却随另一动点q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入q的轨迹方程，然而整理得p的轨迹方程，代入法也称相关点法。
一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
4、参数法：
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所
求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
要特别注意消参前后保持范围的等价*。
多参问题中，
根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。
5、交轨法：
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
求轨迹方程的步骤：
(l)建系，设点建立适当的坐标系，设曲线上任意一点的坐标为m （x，y）；
(2)写*写出符合条件p的点m的*p(m)；
(3)列式用坐标表示p(m)，列出方程f(x，y)=0；
(4)化简化方程f(x，y)=0为最简形式；
(5)**以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点，。