空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

简单组合体的构成形式： .
⑵棱柱:有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱
柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图
投影:中心投影 平行投影
（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. (2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图）。

观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'
'
'x O
y ∠,使'''x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘
轴，且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘
轴，且长度变为原来的一半；
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面
⑷体积公式：
h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=3
1
锥体
； ()13V h S S =+下
台体上
⑸球的表面积和体积：
323
4
4R V R S ππ==球球，。

一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
,,A l B l
l A B ααα∈∈⎧⇒⊂⎨
∈∈⎩
公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
若A ，B ，C 不共线，则A ，B
，C 确定平面α
若A
l ∉,则点A 和l 确定平面α
推论2：过两条相交直线有且只有一个平面
若m
n A =，则,m n 确定平面α
推论3:过两条平行直线有且只有一个平面
若m n ，则,m n 确定平面α
公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且
公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据;（2）证明点共线、线共点等.
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c
⇒ 5
,121
2a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝
,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝
作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

,
,,a b a b A a b =异面
(1)没有任何公共点的两条直线平行 (2）有一个公共点的两条直线相交
（3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系：
a α⊂ a α
a
A α=
m
n
α
P
· α
L β
b b
a
b '
a
'
方向相反则∠1+∠2＝180°
方向相同则∠1＝∠2
21
2
a '
b '
(1)
α
a
(2)
α
a
8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
////a b a a b ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行;
③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；
a a a
b b α
βαβ⊂⇒=⎫
⎪⎬⎪⎭
④平行线的传递性：,a
b c b a c ⇒
⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行；
a a
b b αβ
αγβγ=⇒=⎫
⎪⎬⎪⎭
⑥垂直于同一平面的两直线平行；
a a
b b αα⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；
（上面的③）
10、面面平行:（即两平面无任何公共点）
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫
⎪
=⇒⎬⎪⎭
(2）两平面平行的性质：
性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；
a a
b b αβ
αγβγ=⇒=⎫⎪
⎬⎪⎭
性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行；
αγαββγ⇒⎫
⎬⎭
性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等；
,,A C AC BD B D AB CD αβ
αβ∈⇒=∈⎫⎪⎪
⎬⎪
⎪⎭
性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫
⎬⎬⎭⎭
或
11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直. ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
,l m
l n
l m n A m n αα⊥⎫⎪⊥⎪
⇒⊥⎬=
⎪
⎪⊂⎭
⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行.
a a
b b αα⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行 l l ααββ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭
12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
m l l l m αβ
αββ
α⊥=⇒⊥⊂⊥⎫
⎪⎪
⎬⎪
⎪⎭
⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。

l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫
⎬⎭
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法:
①利用勾股定理证明两相交直线垂直;
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；
④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂")
空间角及空间距离的计算
1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，
通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，
2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。

如图:PA
是平面α的一条
斜线，A 为斜足,O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

3。

二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--,二面角的大小指的是二面角的平面角的
大小。

二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。

(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算"） 5。

点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。

如图：O 为P 在平面α上的射影，
线段OP 的长度为点P 到平面α的距离求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。

如图在三棱锥V ABC -
----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。

且则为二面角
a
斜影线αP
O
A
,PO OA PA a PA a a OA ααα⊥⇒⇒⊥⊂⊥⇒⎫⎬⎭
图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。

a b ''︒︒如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90]
中有：S ABC
A SBC
B SA
C C SAB V V V V ----===。