平移和旋转知识点
平移旋转图形知识点总结
平移旋转图形知识点总结平移和旋转是几何学中两个重要的变换操作，它们可以改变图形的位置和方向，扩展了几何学的应用领域。
在本文中，我们将对平移和旋转的基本概念、性质和应用进行总结。
一、平移的基本概念平移是指图形在平面上沿着一定方向按照一定距离移动的变换操作。
在平移过程中，图形的大小和形状保持不变，只是位置发生改变。
平移可以用向量来描述，移动向量即为图形移动的方向和距离。
1. 平移的向量表示设图形A经过平移得到图形A'，平移向量为向量→a，表示为A→A' = →a。
向量→a的方向和长度即为平移的方向和距离。
2. 平移的性质平移操作满足以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移不改变图形的面积和周长；（3）平移不改变图形的对称性。
3. 平移的表示方法平移可以通过向量、坐标和平移矩阵等多种方式来表示和描述。
在向量表示中，平移向量→a可以作为图形平移的唯一标识。
二、平移的应用平移在几何学和其他领域中有着广泛的应用，例如地图制作、计算机图形学和物理学等。
下面我们将介绍平移在几何学中的应用场景和相关问题。
1. 平移的作用（1）简化计算：通过平移操作，可以将图形移动到方便计算的位置，简化问题的解决过程；（2）构造对称图形：利用平移可以构造出一些对称图形，如平移正方形可以构造出菱形；（3）解决坐标运算：在坐标运算中，平移可以使坐标系原点发生偏移，方便计算。
2. 平移的问题在平移问题中，常见的问题包括：给定图形A和平移向量→a，求出图形A经过平移后的位置和形状；给定平移前后的图形A和A'，求出平移向量→a。
解决这些问题需要灵活运用平移的基本性质和表示方法。
三、旋转的基本概念旋转是指图形围绕一点按照一定角度转动的变换操作。
在旋转过程中，图形的大小和形状保持不变，只是方向发生改变。
旋转可以用角度来描述，旋转角度即为图形旋转的方向和角度。
1. 旋转的角度表示设图形A经过旋转得到图形A'，旋转角度为θ，表示为A→A' = θ。
图形的平移与旋转知识点汇总
第十五章图形的平移与旋转一、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
一个图形经过平移后得到一个新图形，这个新图形与原图形是互相重合的，互相重合的点称为，互相重合的角称为，互相重合的线段称为。
注意：1.平移有两个要素：（1）沿某一方向移动；（2）移动一定的距离；2.平移的方向就是原图上的点指向它的对应点的方向；图像上每点都沿同一方向移动距离，这个距离是指对应点之间的长度；3.平移前后两图形是全等的。
平移的特征：平移不改变图形和，只改变了图形的位置；经过平移，对应点所连的线段（或 )且相等；对应线段（或）且相等，对应角。
二、1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个沿某个方向转动一定，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为，转动的角称为。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 .注意：1.旋转中心在旋转过程中保持不动；2.图形的旋转是由，和所决定的；3.作平移图与旋转图。
（确定关键点，将关键点沿一定的方向移动相同的距离，连接关键点）旋转的特征：图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的；对应点到旋转中心的距离；对应线段，对应角；图形的形状与大小都没有发生变化。
图形的变换包括、和旋转，这三种图形变换的共同点是：只改变图的，不改变图形的和。
2、旋转对称图形：在平面内，一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身，这样的图形称为旋转对称图形。
3、中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转角度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
这个点叫做对称中心。
中心对称图形是旋转角度为°的特殊旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形。
4、成中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180º，如果它能够和另一个图形重合，就称这两个图形成中心对称。
这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点，叫做关于中心的。
在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被对称中心。
西师大版-数学-三年级下册-《旋转与平移现象》知识点1 生活中的旋转现象
旋转与平移现象
知识点1 生活中的旋转现象
问题：你还见过哪些旋转现象?说说看。
讲解：拿起一架纸风车，让风车按顺时针或逆时针方向转动，观察发现风车都是绕着中间的一点转动。
像风车这样，绕着一个中心点(或一个轴)按顺时针或逆时针方向转动的现象，叫做旋转。
仔细观察图中转动的方向盘、风车、车轮、旋转座椅、开关水龙头等，用手势动作模仿这些物体是如何运动的，感知这些物体的运动都是绕着一个中心点转动的，所以这些都是旋转现象。
生活中绕一点旋转的有：钟表上转动的时针、分针，转动的电风扇的扇叶等；绕一轴转动的有：开门、关门时门板的运动等。
总结：物体绕着一个点或一个轴转动的现象叫做旋转，在旋转的过程中，图形的大小、形状不改变。
辅导要领
★结合实例及生活经验感知旋转现象，体会数学与生活的联系。
★在实际生活中，可以借助身边的物体进行旋转现象的直观感知，要指出是绕着哪个点或轴旋转的。
冰箱门和房门的转动，如图：
时针、分针和电风扇扇叶的转动，如图：
仰卧起座时上半身的运动，如图：。
七年级旋转平移知识点
七年级旋转平移知识点旋转和平移是数学中非常重要的概念。
在七年级数学中，旋转和平移也是非常重要的知识点。
本文将详细介绍七年级的旋转和平移知识点。
旋转旋转是指将一个图形沿着一个轴线或一个点进行旋转的过程。
在二维平面中，旋转一般都是以原点为中心进行的。
旋转可以分为顺时针和逆时针两种。
顺时针旋转角度为正，逆时针旋转角度为负。
旋转公式设点 $(x_1,y_1)$ 绕原点旋转 $\theta$ 角度后得到点 $(x_2,y_2)$，则有以下公式：$$\begin{cases}x_2=x_1\cos\theta+y_1\sin\theta \\y_2=-x_1\sin\theta+y_1\cos\theta其中，$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 是旋转角度 $\theta$ 的余弦和正弦值。
平移平移是指将一个图形沿着一个方向进行移动的过程。
在平面直角坐标系中，平移可以分为水平平移和竖直平移两种。
水平平移是指让图形沿$x$轴方向平移，竖直平移是指让图形沿$y$轴方向平移。
平移公式设点 $(x_1,y_1)$ 沿$x$轴平移 $a$，沿$y$轴平移 $b$，则有以下公式：$$\begin{cases}x_2=x_1+a \\y_2=y_1+b其中，$a$ 和 $b$ 分别是$x$轴和$y$轴方向上的平移距离。
练习1. 已知矩形 $ABCD$，$A(-1,1)$，$B(-1,-1)$，$C(1,-1)$，$D(1,1)$。
将矩形逆时针旋转 $90$ 度，再将矩形沿$x$轴方向平移$2$ 个单位，求矩形变换后的坐标。
解：首先，将矩形逆时针旋转 $90$ 度，得到新的矩形$A'B'C'D'$，其中$A'(-1,-1)$，$B'(1,-1)$，$C'(1,1)$，$D'(-1,1)$。
然后，将矩形沿$x$轴方向平移 $2$ 个单位，得到新的矩形$A''B''C''D''$，其中$A''(-1,-3)$，$B''(1,-3)$，$C''(1,-1)$，$D''(-1,-1)$。
八年级上第十一章平移与旋转课件
5.2 个人思考与感想
思考平移和旋转对我们生活 和学习的重要性，并分享个 人的思考和感想。
5.3 下一步学习计划
制定下一步学习计划，明确 未来在几何学习中的重点和 目标。
3. 平移与旋转的组合
3.1 平移与旋转的基本概念
了解平移和旋转相结合的基本概念，如平移中 心、旋转中心等。
3.2 平移与旋转的性质
深入研究平移与旋转的性质，包括它们的可逆 性和运算法则。
3.3 平移与旋转的表示方法
掌握如何同时使用向量和角度等工具来表示和 操作平移和旋转。
3.4 平移与旋转的相互转化
4
探索将多个平移操作合成为一个平移 操作的方法，以便更高效地进行几何
变换。
1.1 平移的概念
了解什么是平移，平移是一个物体在 平面上不改变形状和大小的情况下， 沿着一个方向移动一定距离。
1.3 平移的表示方法
学习如何用向量和坐标表示平移，从 而能够准确地描述平移的过程。
2. 旋转
2.1 旋转的概念
八年级上第十一章平移与 旋转ppt课件
在这个八年级上第十一章平移与旋转的PPT课件中，我们将学习平移和旋转 的基本概念、性质、表示方法以及它们在几何中和生活中的应用。
1. 平移
1
1.2 平移的性质
2
通过平移操作，物体的位置发生改变，
但是其他特征，如长度、角度、形状
等都保持不变。
3
1.4 平移的合成
学习如何在平移和旋转之间进行相互转化，以 及转化的方4.1 平移与旋转在几何中的应用
探索平移和旋转在几何形状的对称性、相似性和变换等方面的应用。
2
4.2 平移与旋转在生活中的应用
通过日常生活中的例子理解数学图形的平移和旋转(初中数学知识点解析)
通过日常生活中的例子理解数学图形的平移和旋转（初中数学知识点解析）数学图形的平移和旋转是初中数学中的重要知识点，它们不仅能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，还能够让我们在日常生活中更加灵活地处理事物。
在本文中，我将通过日常生活中的例子，来解析数学图形的平移和旋转。
一、数学图形的平移平移是指将一个图形在平面内保持形状和大小不变的情况下沿着一个方向移动一定的距离。
日常生活中的许多事物都可以用平移来解决。
比如我们去超市购物，商品架上的货物是按照一定的顺序排列的，而当我们购买完一些商品后，我们需要将某个商品放到另一个区域，这就需要进行平移。
或者我们在打扫房间时，家具的位置可能会影响我们打扫，这时我们也需要对家具进行平移。
数学中，我们可以通过向量来表示平移。
向量是一个方向和大小都有意义的量，它可以用坐标表示法表示。
比如，一个向量u可以表示为（x，y），其中x、y分别表示向量的横向位移和纵向位移。
举个例子，如果我们要将平面上的点（2，3）向右平移2个单位，向上平移3个单位，我们可以这样表示：（2，3）→（2+2，3+3）→（4，6）。
这就是一个向右平移2个单位，向上平移3个单位的过程。
二、数学图形的旋转旋转是指将一个图形按照一定的规律和角度绕着一个点或轴进行旋转，旋转后图形的形状和大小不变。
当我们欣赏舞蹈、运动或艺术品时，有时会看到物体或图形在旋转，这时我们就需要运用旋转的知识来理解。
数学中，我们可以用旋转矩阵来表示旋转。
旋转矩阵是一种线性变换，它可以将平面内的向量按照一定的规律进行旋转。
举个例子，如果我们要将点（2，3）绕点（0，0）逆时针旋转90度，我们可以按照旋转矩阵的公式进行计算：$$\begin{pmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta\end{pmatrix}$$ 其中，θ表示旋转的角度。
对于逆时针旋转90度的情况，我们可以令θ等于π/2，此时旋转矩阵为：$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 将点（2，3）代入旋转矩阵中，我们可以得到旋转后的点坐标为：$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix}$$ 这就是将点（2，3）绕点（0，0）逆时针旋转90度后的结果。
三年级上册平移和旋转的知识点
三年级上册平移和旋转的知识点一、平移。
1. 平移的定义。
- 物体或图形在同一平面内沿直线运动，而本身没有发生方向上的改变，这种运动现象就是平移。
例如，在水平的传送带上，物体随着传送带直线移动；或者在电梯里，人随着电梯上下直线运动等都是平移现象。
2. 平移的特点。
- 平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同。
例如，将一个正方形沿着水平方向平移一段距离后，得到的新正方形和原来的正方形边长一样，四个角也都是直角。
- 平移后的图形与原图形对应点之间的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
比如一个三角形平移后，它原来的顶点和对应平移后的顶点连线是平行且相等的。
3. 平移的方向和距离。
- 方向：平移的方向可以是水平方向（向左或向右）、垂直方向（向上或向下）或者是斜着的方向。
例如，汽车在笔直的公路上向左行驶是水平方向的平移；火箭垂直升空是垂直方向的平移；而一个物体沿着与水平方向成45度角的方向移动就是斜方向的平移。
- 距离：平移的距离是指图形上每个点平移的长度。
可以通过数方格的方法来确定平移的距离，在方格纸上，一个方格的边长可以作为一个单位长度。
例如，一个图形从方格纸的左上角平移到右上角，经过了5个方格，那么平移的距离就是5个单位长度。
二、旋转。
1. 旋转的定义。
- 物体绕着一个点或一个轴做圆周运动的现象就是旋转。
像风车绕着中心轴转动、时钟的指针绕着中心点转动等都是旋转现象。
2. 旋转的特点。
- 旋转后的图形与原图形的形状和大小不变。
例如，一个圆形的表盘不管指针怎么旋转，表盘的形状和大小都不会改变。
- 图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定的。
3. 旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 旋转中心：是物体旋转时所绕着的那个点或轴。
例如，风车的旋转中心就是风车叶片中间固定的那个点；地球的自转是以地轴为旋转中心的。
- 旋转方向：分为顺时针方向和逆时针方向。
顺时针方向是指和时钟指针转动方向相同的方向，逆时针方向则是与时钟指针转动方向相反的方向。
图形的平移和旋转知识点总结
图形的平移和旋转【图形的平移】(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．例1．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB ′=ACD ，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点． （4）连结DB ′则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形．例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点∴AF=4（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
四年级平移旋转知识点总结
四年级平移旋转知识点总结一、平移的概念及性质1. 平移是指物体沿着一条直线方向移动的变换。
在平移过程中，物体的形状和大小不发生改变。
2. 平移的性质：（1）平移可以改变物体的位置，但不能改变物体的形状和大小。
（2）平移可以同时改变物体上的所有点的位置，且平移前后的对应点之间的距离和方向保持不变。
三年级的同学们，你们学会了什么是平移吗？那么四年级的同学们，你们知道平移的特点和性质吗？接下来，我们将结合具体的例子来帮助大家更好地理解平移的概念和性质。
【例1】：瓶子平移的过程小明的妈妈喝完一瓶水后把瓶子平移到了桌子上。
在这个例子中，瓶子从一个位置平移到了另一个位置，但是瓶子的形状和大小都没有发生改变，这就是平移的特点之一。
平移的另一个特点是，无论瓶子是向左移动还是向右移动，瓶子的上、下、左、右等各个方向上的点都同时平移了相同的距离。
这就是平移的性质之一。
二、旋转的概念及性质1. 旋转是指物体绕着一个点或一条直线旋转一定的角度的变换。
在旋转过程中，物体的形状和大小不发生改变。
2. 旋转的性质：（1）旋转可以改变物体的方向，但不能改变物体的形状和大小。
（2）旋转可以同时改变物体上的所有点的位置，且旋转前后的对应点之间的距离和方向保持不变。
三年级的同学们，你们学会了什么是旋转吗？那么四年级的同学们，你们知道旋转的特点和性质吗？接下来，我们将结合具体的例子来帮助大家更好地理解旋转的概念和性质。
【例2】：风车的旋转过程小红在公园里看到了一个风车，风车被风吹动后绕着固定的中心点旋转起来。
在这个例子中，风车绕着自己的中心点进行旋转，但是风车的形状和大小都没有发生改变，这就是旋转的特点之一。
旋转的另一个特点是，无论风车是顺时针旋转还是逆时针旋转，风车的各个点都同时旋转了相同的角度。
这就是旋转的性质之一。
通过这两个例子，我们可以更好地理解平移和旋转的概念和性质。
在日常生活中，平移和旋转无处不在，比如我们搬家时家具的摆放、车辆行驶时的移动、钟表的指针旋转等等都是平移和旋转的实践。
《对称平移和旋转》知识点
《对称平移和旋转》知识点对称平移和旋转知识点
1、画图形的另一半：
找对称轴找对应点连成图形。
2、正三边形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有条对称轴，……正n变形有n条对称轴。
3、图形的平移，先画平移方向，再把关键的点平移到指定的地方，最后连接成图。
4、图形的旋转，先找点，再把关键的边旋转到指定的地方，再连线。
练习题
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形就叫图形，那条直线就是。
2、正方形有条对称轴。
3、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：
张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是现象。
升国旗时，国旗的升降运动是现象。
妈妈用拖布擦地，是现象。
自行车的车轮转了一圈又一圈是现象。
参考答案
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够
完全重合，这样的图形就叫图形，那条直线就是。
2、正方形有条对称轴。
3、这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：
张叔叔在笔直的公路上开车，方向盘的运动是现象。
升国旗时，国旗的升降运动是现象。
妈妈用拖布擦地，是现象。
自行车的车轮转了一圈又一圈是现象。
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初中平移和旋转基础知识梳理
1.图形的平移
(1） 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距
离,这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
注意:①平移是运动的一种形式,是图形变换的一种，本讲的平移是指
平面图形在同一平面内的变换．
②图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向，二是图形平移的距
离,这两个要素是图形平移的依据．
③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相
比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移
的基本性质的依据．
（2）平移的基本性质:由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一
个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大
小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相
等,对应线段平行且相等,对应角相等．
注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的
特征．
②“对应点所连的线段平行且相等"，这个基本性质既可作为平移图形
之间的性质，又可作为平移作图的依据．
（3）简单的平移作图
确定一个图形平移后的位置所需条件为:①图形原来的位置；②平移
的方向；
2。 图形的旋转
(1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定)转动的过程，称为旋转,这
一固定点叫做旋转中心。
理解旋转这一概念应注意以下两点：
①旋转和平移一样是图形的一种基本变换;
②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．
（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样
大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段、对应角都相
等，图形的形状、大小都不发生变化．
(3）简单图形的旋转作图
两种情况：①给出绕着旋转的定点,旋转方向和旋转角的大小；
②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；
②顺次连接各点得到旋转后的图形．
（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、
轴对称等图形的变换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特
例。