循环平稳过程

内部
循环平稳过程研究
报告
XXXX-XXXX-XXXX-XXXX
V1.0
天津市智能信号与图像处理重点实验室
2013年4月21日
修订历史记录
日期版本文档负责人修改内容
编制
姓名签字日期电话张慧敏
审查
姓名签字日期电话
审核
姓名签字日期电话
批准
姓名签字日期电话刘海涛
文档评审负责人：
参加评审人员：
目录
1引言 (4)
1.1 编写目的 (4)
1.2 术语定义 (4)
1.3 参考资料 (4)
1.4 文档组织 (4)
2循环平稳过程理论 (5)
2.1 循环平稳过程定义 (5)
2.2 循环自相关函数 (7)
2.3 循环谱 (8)
2.4 例子 (11)
3总结 (13)
1 引言
1.1 编写目的
本报告详细给出了循环平稳过程的一些基本概念，循环自相关、循环谱的定义以及它们之间的关系。

撰写本报告的目的是：了解和掌握循环平稳过程的基本理论和模型，为以后循环平稳信号处理方法的使用奠定基础。

1.2 术语定义
本文档使用以下关键术语和缩略语。

英文缩写英文全称中文名称
1.3 参考资料
[1] DR, WILLIAM, A, GARDNER. INTRODUCTION TO RANDOM PROCESS with
applications to signals and systems[M]. CALIFORNIA:R.R.Donnelley&sons Company, 1989.
323-415
1.4 文档组织
报告第二章给出了循环平稳过程的基本定义；第三章分析了循环自相关函数和循环谱基本理论，第四章介绍了谱相关的基本理论，形象直观的了解循环平稳特性。

2 循环平稳过程理论
在通信、遥测、雷达和声呐系统中，一些人工信号是一类特殊的非平稳信号，它们的非平稳特性表现为周期平稳。

以雷达回波为例，若天线指向不变，则地杂波的回波等于照射区域所有散射体的子回波之和，虽然有随机起伏，但整体是平稳的。

若天线随时间匀速转动，在一个扫描周期内，地杂波的回波则是非平稳的，但是每经过一个扫描周期后，天线指向原处，回波的非平稳表现为周期平稳。

此时平稳过程模型将不再使用于这种信号，因此，这里引入了循环平稳过程模型。

2.1 循环平稳过程定义
一个随机过程()X t ，如果它的均值和自相关具有周期性（周期为T ），即满足：
()()X X m t T m t += （1） ()(),,X X R t T u T R t u ++= （2）
那么这个随机过程叫做广义的循环平稳过程。

()X t 的自相关函数，即式子（2）可以写成另一种形式：
,,222
2X X R t T t T R t t τττ
τ⎛⎫⎛⎫++-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）
其中，,22X R t t τ
τ⎛
⎫
+
- ⎪⎝
⎭
是一个关于两个独立变量t 和τ的函数，且对于任何一个τ值，,2
2X R t t τ
τ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是关于t 周期为T 的函数。

因此，对其傅里叶级数展开得到：
()2,2
2j t X X R t t R e α
παατττ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∑ （4）
其中，傅里叶系数X R α可以表示为：
()
/22/21,22T j t X X T R R t t e dt T α
πατττ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭
⎰ （5） 其中，α可以取1/T 的任意整数倍。

这种模型对于只有一种周期的情况是适用的。

对于有多个周期的情况，上述模型必须一般化，即α可以取所有频率的任意整数倍。

所以（5）式可以修改为：
()
/2
2/21lim
,2
2Z j t X X Z Z R R t t e dt Z απατ
ττ--→∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰ （6）
上述过程就叫做广义渐近循环平稳过程，同样,22X R t t τ
τ⎛
⎫
+- ⎪⎝
⎭
叫做渐近周期自相关函数。

把上述模型扩展到更一般化，如果一个非平稳过程()X t 存在一个周期性的频率α，使得（6）式中定义的傅里叶系数不等于0，那么该非平稳过程叫做呈循环平稳过程。

2.2 循环自相关函数
对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取α为0，那么它就变成了时间平均自相关，即：
()()
0X X R R for αττα== （7）
带入时间平均的定义，可以得到：
()/2
/2
/2/21
1
lim ,lim ,22Z Z X X Z Z Z Z R t t dt R t t dt Z
Z
τ
ττ--→∞→∞⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
⎰⎰ （8） 上式表明，()
,0X
R for ατα=，随着时间的平移是不变的。

那就是说，如果
()()0Y t X t t +，那么
()()
0Y X R R for αα
ττα== （9）
然而，对于（6）中定义的傅里叶系数，如果取0α≠，则它是时变的，并且是循环变化的：
()()0
20j t Y X R R e for πααα
ττα=≠ （10）
其中，()X R ατ叫做循环自相关函数，α叫做循环频率参数。

所有使得()0X R ατ≠的α
的值组成的集合叫做循环频率集。

2.3 循环谱
假设()U t 和()V t 表示()X t 的频移量，即：
()()j t U t X t e πα- （11） ()
()j t V t X t e πα （12）
()U t 的时间平均自相关可以表示为：
()*
/2
/2*/222/2
*221
lim 221lim 221lim 22Z U Z Z j t j t Z Z Z j t j t Z R E U t U t dt Z
E X t e X t e dt Z E X t e X t e Z ττπαπαττπαπατττττττ-→∞⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-→∞⎛⎫⎛⎫
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞⎧⎫⎪⎪
⎛⎫⎛⎫+-⎨⎬
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫
=+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()/2/2*
/2
/21lim 22Z Z Z j Z Z j X
dt E X t X t e dt Z R e πατπατ
τττ---→∞-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=+-⎨⎬
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
=⎰⎰ （13）
同理，()V t 的时间平均自相关可以表示为：
()()j V X R R e πατττ= （14）
()U t 和()V t 的时间平均互相关可以表示为：
()
*
/2
/2*/2
22/2*/2
2/21lim 221lim 221lim 22Z UV Z Z j t j t Z Z Z Z j t Z Z R E U t V t dt Z E X t e X t e dt Z E X t X t e dt Z
ττπαπαπατττττττ-→∞⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-→∞--→∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫=+-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭⎰⎰⎰()
X R ατ= （15）
（15）式表明，一个随机过程()X t 的循环自相关函数就是其频移量互相关函数的时间平均。

也就是说，如果一个随机过程的频移量之间存在相关性，那么该随机过程就是广义循环平稳过程。

换句话说，如果一个随机过程是平稳的，那么它的频移量之间不存在任何相关性。

式子（11）和（12）中()U t 和()V t 的时间平均频谱可以表示为：
()2U
X S f S f α⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ （16）
()2V
X S f S f α⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭ （17）
()U t 和()V t 互相关谱的时间平均依据（15）可以表示为：
()()()()22j f j f UV
UV X X S f R e d R e d S f πτα
πταττττ
∞
∞
---∞
-∞
==⎰
⎰ （18）
其中()X S f α
就叫做循环谱或者循环谱密度。

()U t 和()V t 的时间平均相干函数定义
为：
()
()
()()()
()()()1/2
1/2
/2/2UV
UV U V f
X X X
X S f f S f S f S f f S f S f αρραα⎡⎤⎣⎦
=
⎡+-⎤⎣⎦
（19） 可以看到，()X f α
ρ描述的是()X t 在频率/2f α+和/2f α-处频谱相干性的强弱，因此，()X f α
ρ也叫做()X t 的谱自相干函数。

如果随机信号()X t 的谱相干函数幅度满足
()1X f αρ=，
则该过程在谱频率f 、循环频率α处是完全相干的；反之，如果()0X f α
ρ= 则该过程在谱频率f 、循环频率α处是完全不相干的。

瞬时概率谱密度(),X S t f 是瞬时概率自相关函数的傅里叶变换，即：
()
2,,22j f X X S t f R t t e d πττ
ττ∞
--∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭
⎰ （20） 带入公式（4）和公式（18）可以的到：
()
()()()22222,j t j f X X j f j t X j t X S t f R e e d R e
d e S f e
απαπτ
ααπτ
παα
απαα
ττ
ττ∞
--∞
∞
--∞
==∑⎰∑⎰∑ （21） 将式子（4）和式子（21）写在一起即：
()2,2
2j t X X R t u R e απαατττ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∑ （22）
()()2,j t X X S t f S f e α
παα
=∑ （23）
通过上述的两个式子可以得出，平稳过程与循环平稳过程的本质区别就是循环平稳过
程表示出谱相关的特性，并且这种谱相关特性是通过循环谱{}
X S α
或者是循环自相关函数
{}X
R α来描述的。

2.4 例子
考虑一个调幅的正弦信号
()()()()()0022011
cos 222
j f t j f t X t Y t f t Y t e Y t e πππ-==+ （24）
其中()Y t 是零均值的平稳过程，乘以正弦波信号后，可以看到()Y t 的频谱频移到0f f +和0f f -处，所以在循环频率02f α=处有明显的谱相关。

首先计算其自相关函数：
*
*
00*
00,2222cos 2cos 22222cos 2cos 2222X R t t E X t X t E Y t f t Y t f t E Y t Y t f t f t τ
τττττττππτττππ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--⎨⎬
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩
⎭()()()()00002cos 2cos 2221
cos 2cos 42
Y Y R f t f t R f f t ττττππτπτπ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦=+⎡⎤⎣⎦
（25）
将上式带入（6）中，并且代入02f α=可得：
()()()()()()()00/2200/2/2480/211lim
cos 2cos 42
1111lim cos 22221
4
Z j t
X Y Z Z Z j f t j f t Y Z Z Y R R f f t e dt Z R f e e dt Z R απαππττπτπτπττ--→∞---→∞=+⎡⎤⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦=⎰⎰ （26） 上式中使用了这样一个极限：
()/2
/2/2
/2
/2/2
sin /211lim lim lim lim 0/2
Z j t j Z j Z Z j t
Z Z Z Z Z Z Z e e e e dt Z
Z j Zj Z ωωωωωω
ωω--→∞→∞→∞→∞--=⋅===⎰ （27）
对（26）式子两边做傅里叶变换，则可以得到
()()01
24
X Y S f S f f αα=
= （28） 分别求()X t 和()2
X
t 的均值：
(){}()(){}(){}()00cos 2cos 20E X t E Y t f t E Y t f t ππ=== （29）
(){}()()()()220011
1cos 401cos 422
Y E X t E Y t f t R f t ππ⎧⎫=+=+⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎣⎦
⎩⎭ （30） 从式子（29）和（30）可以得到这样一个结论：一个循环平稳过程虽然均值不包含周期分量，但经过平方之后就会产生周期分量，即有谱线的产生。

3 总结
报告详细的阐述了循环平稳过程的基本理论，介绍了循环自相关、循环谱的基本理论。