不动点迭代法求解非线性方程组

不动点迭代法求解非线性方程组

摘要：一般非线性方程组可以写成()0F x =的形式，其中:n

m

F R R →是定义在区域

n D R ⊂上的向量函数。把方程组()0F x =改写成与之等价的形式：(x G x =)。因此，求

方程组()0F x =的解就转化为求函数的(G x )的不动点。本文首先介绍了多变量函数()F x 的微积分性质，接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。 关键词：多变量函数；微积分；不动点

Fixed Point Iteration Method For Solving Nonlinear Equations

Abstract ：General nonlinear equations can be written in the form of ()F x θ=, where the vector function :n m F R R →is defined on the region n D R ⊂. Transform the equations ()0F x = into its equivalent form: (x G x =).Therefore, we can get the solution of

()0F x = by finding the fixed point of (G x ).In this paper, we first introduce some knowledge

about multivariable calculus, then introduce the fixed point iteration method for solving nonlinear equations.

Key words: multi-variable function; calculus; fixed point

1 引言

一般非线性方程组及其向量表示法:含有n 个方程的n 元非线性方程组的一般形式为

11221212(,...,)0(,...,)0......(,...,)0

n n

m n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨

⎪

⎪=⎩ （1） 其中，()1,2,...,i f i n =是定义在n

D R ⊂上的n 元实值函数，且i f 中至少有一个是非线性

函数。

令12

...n x x x x ⎛⎫

⎪

⎪= ⎪

⎪⎝⎭，()()()12()...m f x f x F x f x ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭

，则方程组可以表示为()F x θ= （2） 其中:n

m

F R R →是定义在区域n D R ⊂上的向量函数。若存在*

x D ∈，使

*()F x θ=，则称*x 是方程组（1）或（2）的解。把方程组()0F x =改写成与之等价的形

式：(x G x =)

其中n n G D R R ⊂→：。若*x D ∈满足*

*

(x G x =)，则称*

x 为函数(G x )的不动点。因此

(G x )的不动点就是方程组()0F x =的解，求方程组()0F x =的解就转化为求函数的(G x )

的不动点。适当选取初始向量(0)

x

D ∈，构成迭代公式(+1)()(),

0,1,2,...k k x G x k ==迭代

公式也称为求解方程组()0F x =的简单迭代法，又称不动点迭代法。(G x )称为迭代函数。 由于F 是多变量函数，所以我们先考虑多变量函数的微积分性质。

2多变量函数的微积分性质

在之前我们已经学习过很多关于单变量函数的微积分的性质，由于解非线性方程组经常用到的是多变量函数的相关性质，因此我们考虑多变量函数的微积分性质。相对于单变量函数的微积分的性质，多变量函数的微积分性质一些是类似的，一些是不同的。相对于单变量函数的可微的定义，我们事先给出多变量函数的可微定义。

函数:,1n f R R n −−

→>的微积分性质 设函数多变量函数:,1n

f R R n −−

→>。我们首先考虑当f 是连续的函数的情况，如果f 关于n 个变量的偏导数都存在并且连续，把这n 个偏导数组成一个n 维向量，则我们把这个n 维向量称作多变量函数f 的梯度。

定义1：连续可微函数:n

f R R −−

→，如果()i

f

x x ∂∂，1,...,i n =；存在并且连续，则称函数f 在点n

x R ∈上连续可微，并且称()()()1,...,T

n f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∇=⎢⎥∂∂⎣⎦

为函数f 在点

n x R ∈的梯度。

如果函数f 在开区域n D R ⊂上每一点连续可微，则称函数f 在开区域n D R ⊂连续可微，记作()1f C D ∈。

下面我们给出关于多变量函数f 的梯度的一些性质：

引理1 设:n

f R R −−

→在开凸集n D R ⊂连续可微，则对于x D ∈以及任意一个非零扰动n

p R

∈，则函数f 在点x 在方向p 上的方向导数定义为

()()()0lim

f x p f x f x p εεε

→+-∂≡∂存在并且等于()T

f x p ∇。对于,x x p D ∀+∈，()()()1

()()x p

T

x

f x p f x f x tp pdt f x f z dz ++=+∇+≡+∇⎰⎰

，并且存在

(),z x x p ∈+使得，()()()T

f x p f x f z p +=+∇。

下面我们给我这个引理的证明过程，主要思想是把多变量函数转化为单变量函数，然后利用我们已知的单变量函数微积分的性质来证明多变量函数微积分的性质。

证明：首先在点x 到点x p +的连线上对函数f 进行参数化，转变成单变量函数g 。定义

()x t x tp =+，:,()()g R R g t f x tp →=+。由链式法则，对于01α∀≤≤，

()()()()()()()()1

n i i i f x t dx t dg

x dt x t dt ααα=∂=∂∑ ()()1n i i i f x p x α=∂=⋅∂∑ ()f x p p α=∇+。 因为

()()00()

()lim (0)t g t g f x x g p t

→-∂'==∂，所以令0α=，我们就可以得到

()()T

f x f x p p

∂=∇∂。 由单变量函数的牛顿定理我们可知，1

(1)(0)()g g g t dt '=+⎰

。根据前面对函数g 的定

义，上式也可以写成()()

1

()T

f x p f x f x tp pdt +=+∇+⎰。这就得到我们所要的证明。最

后，由单变量函数的积分中值定理

()()1

(),0,1g t dt g ξξ''=∈⎰

，根据函数g 的定义，我们